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2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中是中心对称图形，而不是轴对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形
2.若aA. a+3b−3C. |a|<|b|D. −3a<−3b
3.若分式x−2x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x≠2C. x=1D. x=2
4.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为( )
A. 5B. 6C. 6.5D. 12
6.一次函数y=2x+1的图象向上平移2个单位，得到新的一次函数表达式是( )
A. y=2x−1B. y=2x+3C. y=2x−2D. y=2x−3
7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=12，BD=16，则菱形的高AE为( )
A. 9.6B. 4.8C. 10D. 5
9.若关于x的不等式组x≥ax<6有3个整数解，则a的值取值范围是( )
A. 210.在综合与实践课上，美丽老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展教学活动.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接CE、CF，分别将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点B、D的对应点分别为点G、H，若BE=1，且C、H、G三点共线，则DF的长度是( )
A. 2B. 115C. 95D. 65
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将x2+5x+c因式分解得(x+1)(x+4)，则c的值为______．
12.如图，AB=AC，点B、C、D在一条直线上，且CD=CE，若∠A=20°，则∠D的度数是______°.
13.如图，正六边形ABCDEF的边长为3，则对角线BE的长为______．
14.关于x的方程ax+1x−2=−1的解是正数，则a的取值范围是______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AB上不与A和B重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值是______．
16.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2AD=2AE=4，点O在边BC上满足OC=3OB，将△ADE绕着点A顺时针旋转，连接CE，记CE的中点为P，则OP的最大值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)ma2−2ma+m；
(2)9(x−y)2−(x+y)2．
18.(本小题8分)
计算：
(1)解不等式：2x−1>3x−12；
(2)解方程：x−2x−3x−2=1．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(mm−2−2mm2−4)÷mm+2，其中m= 5．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，请你利用尺规在BC边上找一点P，使得BP=2PC.(不写作法，保留作图痕迹)
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．
22.(本小题8分)
如图，△ABD和△BCD分别是等腰直角三角形和等边三角形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连接EF、FG、GH、HE．
(1)填空：若GF=3 2，则AD的长度是______．
(2)判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
23.(本小题8分)
利用分式方程解应用题：某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公园决定两经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，如何选择A，B款汽车的进货方案，使得总费用最少？
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴的负半轴于点A，y轴正半轴于点B点，且OA=2，OB=2 3，点C在x轴正半轴上，满足AC=2AB．
(1)求点C的坐标；
(2)若点D是y轴上的一点，在坐标平面内是否存在点E，使得以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
(1)如图1，△ABC为边长为2的等边三角形，D是AB边上一点且CD平分△ABC的面积，则线段CD的长度为______；
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°，点M在AD上，且AM=6，点N在BC上，若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为______；
(3)如图3，凸四边形ABCD为某空地的示意图，经测量∠ABC=90°，AB=320米，BC=240米，DA=DC=100 5米，点E在AB边上满足∠ADE=∠CDE.为了美化环境，现规划在空地内种植花卉，并从点D修一条笔直的观光小路DF(点F在AB上)，请问是否存在DF，使得DF平分该空地的面积？若存在，请求出EF的长度；若不存在，请说明理由.(小路DF的宽度不计)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项正确；
C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合常见图形的形状求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵a∴a+3−3b，
∴选项A正确，符合题意，选项B、D错误，不符合题意，
当a=−5，b=0时，满足a|b|，
∴选项C错误，不符合题意．
故选：A．
不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案．
本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：当分母x−1≠0，即x≠1时，分式x−2x−1有意义．
故选：A．
分式有意义：分母不为零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°(x−2)=360°×3．
∴x=8．
∴这个多边形的边数为8．
故选：D．
设这个多边形的边数为x，根据多边形的边数与内角和的关系以及任意多边形的外角和等于360度，得180°(x−2)=360°×3，从而解决此题．
本题主要考查多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，
∴斜边= 52+122=13，
∴第三边上的中线长为12×13=6.5．
故选：C．
根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：把一次函数y=2x+1，向上平移2个单位长度，得到图象解析式是y=2x+1+2=2x+3，
故选：B．
求直线y=kx+b(k≠0)平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线定义、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到AD=CD，进而得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°．
故选B
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据菱形的性质得到BO=12BD=8，OC=12AC=6，AC⊥BD，根据勾股定理得到BC= BO2+OC2= 82+62=10，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键
【解答】
解：在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
∴BO=12BD=8，OC=12AC=6，AC⊥BD，
∴BC= BO2+OC2= 82+62=10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC⋅AE，
∴AE=AC⋅BD2BC=12×1620=9.6，
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：∵关于x的不等式组x≥ax<6有且只有3个整数解，
∴3个整数解为3，4，5，
∴2故选：A．
先根据题意找出整数解，再得出选项即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，求出不等式组的整数解是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：延长CG交AB于点M，连接FM，
，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠B=90°，
依据翻折的性质可知，
BE=GE=1，BC=GC=4，∠EGC=∠B=90°，CD=CH=3，DF=HF，∠D=∠CHF=90°，
设EM=y，DF=x，
∵S△BCM=S△BCE+S△ECM，
∴12BC⋅BM=12BC⋅BE+12CM⋅EG，
即12×4(1+y)=12×4×1+12(4+GM)×1，
解得GM=4y−4，
在Rt△EGM中，GE2+GM2=ME2，
∴12+(4y−4)2=y2，
解得y1=1715，y2=1(不符合题意，舍去)，
∴GM=4×1715−4=815，AM=AB−BE−EM=1315，
∴HM=CG+GM−CH=2315，
在Rt△AFM中，FM2=AF2+AM2=(4−x)2+(1315)2，
在Rt△HFM中，FM2=HF2+HM2=x2+(2315)2，
∴(4−x)2+(1315)2=x2+(2315)2，
解得x=95，
即DF=95．
故选：C．
延长CG交AB于点M，连接FM，设EM=y，DF=x，利用矩形的性质，折叠的性质以及等面积法(S△BCM=S△BCE+S△ECM)可求GM=4y−4，在Rt△EGM中，利用勾股定理可求EM=y=1715，分别在Rt△AFM和Rt△HFM中，利用勾股定理，可得出AF2+AM2=FM2=HF2+HM2，然后代入数值解方程即可．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出GM=4y−4是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：(x+1)(x+4)
=x2+4x+x+4
=x2+5x+4
=x2+5x+c，
∴c=4．
故答案为：4．
把(x+1)(x+4)展开再根据对应项系数相等即可求解．
本题考查了整式乘法与因式分解，理解合并同类项之后相同的项系数相同是解题的关键．
12.【答案】40
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=20°，
∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=80°，
∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
又∠ACB=∠D+∠CED，
∴∠D=∠CED=12∠ACB=40°．
故答案为：40．
利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠ACB=80°，利用等边对等角得出∠D=∠CED，再结合三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及外交的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：设正六边形ABCDEF对角线的交点为O，
∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=EF=3，∠FAB=(6−2)×180°6=120°，
∵正六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴∠FAD=∠BAD=12∠FAB=60°，
同理：∠ABO=60°，
∴∠AOB=60°=∠ABO=∠OAB，
∴△ABO是等边三角形，
∴BO=AB=3，
同理：△EFO是等边三角形，
∴EO=EF=3，
∴BE=BO+EO=6．
故答案为：6．
利用多边形内角和公式和正多边形的性质求出∠FAB=120°，利用正多边形的轴对称性求出∠BAO=60°，同理求出∠ABO=60°，可证△ABO是等边三角形，得出BO=AB=3，同理证明△EFO是等边三角形，得出EO=EF=3，即可求解．
本题考查了正六边形，等边三角形的判定与性质等，证明△ABO、△EFO是等边三角形是解题的关键．
14.【答案】a>−1且a≠−12
【解析】解：ax+1x−2=−1，
解得x=1a+1，
∵ax+1x−2=−1的解是正数，
∴x>0且x≠2，
即1a+1>0且1a+1≠2，
解得a>−1且a≠−12．
故答案为：a>−1且a≠−12．
根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．
本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围．
15.【答案】485
【解析】解：设AC与BD相交于点O，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，
∴∠ABC=90°，AO=CO=12AC，BC=AD=8，BO=12BD，AC=BD= 62+82=10，
∴S△AOB=12S△ABC=12×6×8=24，AO=BO=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，S△AOB=S△AOP+S△BOP，
∴24=12×5PE+12×5PF，
∴PE+PF=485．
故答案为：485．
连接OP，利用勾股定理求出AC，BD，利用矩形的对角线相等且互相平分以及三角形中线的性质求出△AOB的面积，然后根据S△AOB=S△AOP+S△BOP列方程求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
16.【答案】 10+1
【解析】解：取AC中点Q，连接PQ，OQ，过点Q作QH⊥BC于点H，
∵点P是CE的中点，AE=2，
∴PQ=12AE=1，
∵OQ+PQ≥OP，
∴当O、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值为OQ+PQ，
∵∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴∠ACB=45°，CQ=12AC=2，BC= AB2+AC2=4 2，
又QH⊥BC，
∴∠HQC=45°=∠QCH，
∴QH=CH，
由勾股定理得CQ2=QH2+CH2，即22=2CH^2，
∴CH=QH= 2，
∵OC=3OB，BC=BO+CO=4 2，
∴CO=3 2，
∴OH=OC−HC=2 2，
∴OQ= OH2+QH2= 10，
∴OQ+PQ= 10+1，
∴OP取最大值为 10+1．
故答案为： 10+1．
取AC中点Q，连接PQ，OQ，过点Q作QH⊥BC于点H，利用三角形中位线定理可求PQ=1，根据OQ+PQ≥OP判出断当O、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值为OQ+PQ，利用等腰三角形的判定和勾股定理可求QH=CH= 2，在Rt△OQH中利用勾股定理可求OQ= 10，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出当O、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值是解题的关键．
17.【答案】解：(1)ma2−2ma+m
=m(a2−2a+1)
=m(a−1)2；
(2)9(x−y)2−(x+y)2
=[3(x−y)]2−(x+y)2
=[3(x−y)+(x+y)][3(x−y)−(x+y)]
=(4x−2y)(2x−4y)
=4(2x−y)(x−2y)．
【解析】(1)首先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
(2)原式利用平方差公式分解即可．
本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母，得4x−2>3x−1，
移项，得4x−3x>−1+2，
合并同类项，得x>1；
(2)方程两边同乘以x(x−2)，得(x−2)2−3x=x(x−2)，
解得x=45，
检验：当x=45时，x(x−2)=−2425≠0，
∴原分式方程的解为：x=45．
【解析】(1)按照去分母，去括号，移项合并同类项，即可求解；
(2)先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解分式方程时要验根．掌握不等式的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(mm−2−2mm2−4)÷mm+2
=[m(m+2)(m+2)(m−2)−2m(m+2)(m−2)]÷mm+2
=m2(m+2)(m−2)×m+2m
=mm−2，
当m= 5时，
原式=mm−2= 5 5−2=5+2 53．
【解析】先根据分式的运算法则将原式化简，再把m= 5代入求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则，正确对原式进行化简是解题的关键．
20.【答案】解：如图，点P即为所求，
理由：由作图知：MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠B，
∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∴∠PAB=30°，
∴∠CAP=∠PAB=30°，
∴AP=2CP，
又∵AP=BP，
∴BP=2PC．
【解析】作AB的垂直平分线交BC与点P，连接AP即可．
本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB//DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
22.【答案】6
【解析】解：(1)∵点G、F分别是CD、BC边上的中点，
∴BD=2GF=6 2，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB，AD2+AB2=BD2，
∴2AD2=72，
解得：AD=6，
故答案为：6；
(2)四边形EFGH的形状为矩形，理由如下；
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴HE//BD，GF//BD，
∴HE//GF，
又∵HE=12BD,GF=12BD，
∴HE=GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
连接AC交BD于O，如图，
由已知，AD=AB，CD=CB，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD，
∵HE//BD，
∴AC⊥HE，
∵HG//AC，
∴HG⊥HE，
∴∠GHE=90°
∴四边形EFGH是矩形．
(1)根据三角形中位线求出BD=6 2，再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求解；
(2)先根据条件结合三角形的中位线，证明出四边形EFGH为平行四边形，再添加辅助线证明一个角为直角即可．
本题考查的是中点四边形，矩形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的中位线，解题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价(x+1)万元，
由题意得：100x+1=90x，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，且符合题意，
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
(2)设A款汽车购进y辆，则B款汽车购进(15−y)辆，
由题意得：7.5y+6(15−y)≤1057.5y+6(15−y)≥99，
解得：6≤y≤10，
∵y为正整数，
∴y的值为6、7、8、9、10，
∴共有5种进货方案：
①A款汽车购进6辆，B款汽车购进9辆，总费用=7.5×6+6×9=99(万元)；
②A款汽车购进7辆，B款汽车购进8辆，总费用=7.5×7+6×8=100.5(万元)；
③A款汽车购进8辆，B款汽车购进7辆，总费用=7.5×8+6×7=102(万元)；
④A款汽车购进9辆，B款汽车购进6辆，总费用=7.5×9+6×6=103.5(万元)；
⑤A款汽车购进10辆，B款汽车购进5辆，总费用=7.5×10+6×5=105(万元)；
∵99<100.5<102<103.5<105，
∴A款汽车购进6辆，B款汽车购进9辆，使得总费用最少，
答：A款汽车购进6辆，B款汽车购进9辆，使得总费用最少．
【解析】(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设A款汽车购进y辆，则B款汽车购进(15−y)辆，根据公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】解：(1)∵OA=2，OB=2 3，∠AOB=90°，
∴AB= OA2+OB2= 22+(2 3)2=4，
∴AC=2AB=8，
∴OC=AC−OA=6，
∴点C坐标为(6,0)；
(2)在坐标平面内存在点E，使得以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，理由如下：
以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，根据AB与BD在菱形中的关系有三种情况：
I.当四边形ABDE为菱形时，AE//BD，AB=BD=AE=4，如图1：
∴点E坐标为(−2,4)，或(−2,−4)；
II.当四边形AEBD为菱形时，AE//BD，AD=BD=AE，如图2：
∵OA2+OD2=AD2，
∴22+(2 3−BD)2=BD2，
解得：BD=43 3，
∴点E坐标为(−2,43 3)；
III.当四边形ABED为菱形时，AB=BE=ED=AD，如图3：
∴点E是点A关于BD的对称点，
∴点E坐标为(2,0)，
综上所述：在坐标平面内存在点E，使得以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，E坐标为(−2,4)，或(−2,−4)或(−2,43 3)或(2,0)．
【解析】(1)由勾股定理可计算AB=4，进而可得AC=2AB=8，由此即可解题；
(2)分三种情况讨论，分别画出草图，然后求解即可．
本题是一次函数综合题，考查勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.【答案】 3 76
【解析】解：(1)如图1，
∵CD平分△ABC的面积，
∴AD=BD，
∵△ABC为边长为2的等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴AD=1，
∴CD= AC2−AD2= 3；
(2)取AC中点O，连接MO并延长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，如图2，
∵∠B=60°，
∴∠BAG=30°，
∴BG=12AB=3，
∴AG= AB2−BG2=3 3，
∵MN平分四边形ABCD的面积，
∴MN经过平分四边形ABCD的中心O，
∵平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠AMO=∠CNO，∠MAO=∠NCO，
又∵AO=CO，
∴△AOM≌△CON(AAS)，
∴AM=CN，
又∵AM=6，
∴CN=6，
又∵BC=8，
∴BN=2，
∵AG⊥BC，MH⊥BC，
∴AG//MH，
又∵AM//GH，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴GH=AM=6，MH=AG=3 3，
∴NH=BG+GH−BN=7，
∴MN= NH2+MH2= 76；
(3)连接AC，CE，过D作DH⊥AB于H，设DE交AC于点O，如图3，
∵∠ABC=90°，AB=320，BC=240，
∴AC= AB2+BC2=400，
∵DA=DC=100 5，∠ADE=∠CDE，
∴DO⊥AC，AO=CO=12AC=200米，
∴DO= AD2−AO2=100米，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC
=12×320×240+12×400×100
=58400(平方米)，
∵DF平分四边形ABCD的面积，
∴S△ADF=12S四边形ABCD=29200(平方米)，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
设AE=x米，则CE=x米，BE=(320−x)米，
在Rt△CBE中，CE2=BE2+BC2，
∴x2=(320−x)2+2402，
解得x=250，即AE=250米，
∴OE= AE2−AO2=150米，
∴S△ADE=12AE⋅DH=12DE⋅AO，即12×250DH=12×(100+150)×200，
∴DH=200米，
∵S△ADF=12AF⋅DH=29200(平方米)，
∴AF=292米，
∴EF=292−250=42米，
∴当F在BE上，且EF=42米时，DF平分该空地的面积．
(1)先判断CD是中线，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；
(2)取AC中点O，连接MO并长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，
利用含30°的直角三角形性质求出BG=3，利用勾股定理求出AG=3 3，证明△AOM≌△CON可求CN=AM=6，BN=2，证明四边形AGHM是平行四边形，可求MH=3 3，NH=7，然后利用勾股定理求解即可；
(3)连接AC，CE，过D作DH⊥AB于H，设DE交AC于点O，利用勾股定理求出AC=400，利用三线合一的性质求出AO=CO=200，DE⊥AC，利用勾股定理求出DO=100，则可求S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=58400，S△ADF=12S四边形ABCD=29200，证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，设AE=x，则CE=x，BE=320−x，在Rt△CBE利用勾股定理求出AE=x=250，利用勾股定理求出OE=150，在△ADE中利用等面积法求出DH=200，最后根据三角形面积公式求出AF=292，即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
1.下列图形中是中心对称图形，而不是轴对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形
2.若a
3.若分式x−2x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x≠2C. x=1D. x=2
4.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为( )
A. 5B. 6C. 6.5D. 12
6.一次函数y=2x+1的图象向上平移2个单位，得到新的一次函数表达式是( )
A. y=2x−1B. y=2x+3C. y=2x−2D. y=2x−3
7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=12，BD=16，则菱形的高AE为( )
A. 9.6B. 4.8C. 10D. 5
9.若关于x的不等式组x≥ax<6有3个整数解，则a的值取值范围是( )
A. 2
A. 2B. 115C. 95D. 65
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将x2+5x+c因式分解得(x+1)(x+4)，则c的值为______．
12.如图，AB=AC，点B、C、D在一条直线上，且CD=CE，若∠A=20°，则∠D的度数是______°.
13.如图，正六边形ABCDEF的边长为3，则对角线BE的长为______．
14.关于x的方程ax+1x−2=−1的解是正数，则a的取值范围是______．
15.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AB上不与A和B重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值是______．
16.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2AD=2AE=4，点O在边BC上满足OC=3OB，将△ADE绕着点A顺时针旋转，连接CE，记CE的中点为P，则OP的最大值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)ma2−2ma+m；
(2)9(x−y)2−(x+y)2．
18.(本小题8分)
计算：
(1)解不等式：2x−1>3x−12；
(2)解方程：x−2x−3x−2=1．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(mm−2−2mm2−4)÷mm+2，其中m= 5．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，请你利用尺规在BC边上找一点P，使得BP=2PC.(不写作法，保留作图痕迹)
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE．
22.(本小题8分)
如图，△ABD和△BCD分别是等腰直角三角形和等边三角形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连接EF、FG、GH、HE．
(1)填空：若GF=3 2，则AD的长度是______．
(2)判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
23.(本小题8分)
利用分式方程解应用题：某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公园决定两经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，如何选择A，B款汽车的进货方案，使得总费用最少？
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴的负半轴于点A，y轴正半轴于点B点，且OA=2，OB=2 3，点C在x轴正半轴上，满足AC=2AB．
(1)求点C的坐标；
(2)若点D是y轴上的一点，在坐标平面内是否存在点E，使得以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
(1)如图1，△ABC为边长为2的等边三角形，D是AB边上一点且CD平分△ABC的面积，则线段CD的长度为______；
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°，点M在AD上，且AM=6，点N在BC上，若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为______；
(3)如图3，凸四边形ABCD为某空地的示意图，经测量∠ABC=90°，AB=320米，BC=240米，DA=DC=100 5米，点E在AB边上满足∠ADE=∠CDE.为了美化环境，现规划在空地内种植花卉，并从点D修一条笔直的观光小路DF(点F在AB上)，请问是否存在DF，使得DF平分该空地的面积？若存在，请求出EF的长度；若不存在，请说明理由.(小路DF的宽度不计)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项正确；
C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合常见图形的形状求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
2.【答案】A
【解析】解：∵a
∴选项A正确，符合题意，选项B、D错误，不符合题意，
当a=−5，b=0时，满足a
∴选项C错误，不符合题意．
故选：A．
不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案．
本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：当分母x−1≠0，即x≠1时，分式x−2x−1有意义．
故选：A．
分式有意义：分母不为零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边数为x．
由题意得，180°(x−2)=360°×3．
∴x=8．
∴这个多边形的边数为8．
故选：D．
设这个多边形的边数为x，根据多边形的边数与内角和的关系以及任意多边形的外角和等于360度，得180°(x−2)=360°×3，从而解决此题．
本题主要考查多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的边数与内角和的关系、任意多边形的外角和等于360度是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12，
∴斜边= 52+122=13，
∴第三边上的中线长为12×13=6.5．
故选：C．
根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：把一次函数y=2x+1，向上平移2个单位长度，得到图象解析式是y=2x+1+2=2x+3，
故选：B．
求直线y=kx+b(k≠0)平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线定义、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到AD=CD，进而得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°．
故选B
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据菱形的性质得到BO=12BD=8，OC=12AC=6，AC⊥BD，根据勾股定理得到BC= BO2+OC2= 82+62=10，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键
【解答】
解：在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
∴BO=12BD=8，OC=12AC=6，AC⊥BD，
∴BC= BO2+OC2= 82+62=10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC⋅AE，
∴AE=AC⋅BD2BC=12×1620=9.6，
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：∵关于x的不等式组x≥ax<6有且只有3个整数解，
∴3个整数解为3，4，5，
∴2
先根据题意找出整数解，再得出选项即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，求出不等式组的整数解是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：延长CG交AB于点M，连接FM，
，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠B=90°，
依据翻折的性质可知，
BE=GE=1，BC=GC=4，∠EGC=∠B=90°，CD=CH=3，DF=HF，∠D=∠CHF=90°，
设EM=y，DF=x，
∵S△BCM=S△BCE+S△ECM，
∴12BC⋅BM=12BC⋅BE+12CM⋅EG，
即12×4(1+y)=12×4×1+12(4+GM)×1，
解得GM=4y−4，
在Rt△EGM中，GE2+GM2=ME2，
∴12+(4y−4)2=y2，
解得y1=1715，y2=1(不符合题意，舍去)，
∴GM=4×1715−4=815，AM=AB−BE−EM=1315，
∴HM=CG+GM−CH=2315，
在Rt△AFM中，FM2=AF2+AM2=(4−x)2+(1315)2，
在Rt△HFM中，FM2=HF2+HM2=x2+(2315)2，
∴(4−x)2+(1315)2=x2+(2315)2，
解得x=95，
即DF=95．
故选：C．
延长CG交AB于点M，连接FM，设EM=y，DF=x，利用矩形的性质，折叠的性质以及等面积法(S△BCM=S△BCE+S△ECM)可求GM=4y−4，在Rt△EGM中，利用勾股定理可求EM=y=1715，分别在Rt△AFM和Rt△HFM中，利用勾股定理，可得出AF2+AM2=FM2=HF2+HM2，然后代入数值解方程即可．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出GM=4y−4是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：(x+1)(x+4)
=x2+4x+x+4
=x2+5x+4
=x2+5x+c，
∴c=4．
故答案为：4．
把(x+1)(x+4)展开再根据对应项系数相等即可求解．
本题考查了整式乘法与因式分解，理解合并同类项之后相同的项系数相同是解题的关键．
12.【答案】40
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=20°，
∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=80°，
∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
又∠ACB=∠D+∠CED，
∴∠D=∠CED=12∠ACB=40°．
故答案为：40．
利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠ACB=80°，利用等边对等角得出∠D=∠CED，再结合三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及外交的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：设正六边形ABCDEF对角线的交点为O，
∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=EF=3，∠FAB=(6−2)×180°6=120°，
∵正六边形ABCDEF是轴对称图形，
∴∠FAD=∠BAD=12∠FAB=60°，
同理：∠ABO=60°，
∴∠AOB=60°=∠ABO=∠OAB，
∴△ABO是等边三角形，
∴BO=AB=3，
同理：△EFO是等边三角形，
∴EO=EF=3，
∴BE=BO+EO=6．
故答案为：6．
利用多边形内角和公式和正多边形的性质求出∠FAB=120°，利用正多边形的轴对称性求出∠BAO=60°，同理求出∠ABO=60°，可证△ABO是等边三角形，得出BO=AB=3，同理证明△EFO是等边三角形，得出EO=EF=3，即可求解．
本题考查了正六边形，等边三角形的判定与性质等，证明△ABO、△EFO是等边三角形是解题的关键．
14.【答案】a>−1且a≠−12
【解析】解：ax+1x−2=−1，
解得x=1a+1，
∵ax+1x−2=−1的解是正数，
∴x>0且x≠2，
即1a+1>0且1a+1≠2，
解得a>−1且a≠−12．
故答案为：a>−1且a≠−12．
根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．
本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围．
15.【答案】485
【解析】解：设AC与BD相交于点O，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，
∴∠ABC=90°，AO=CO=12AC，BC=AD=8，BO=12BD，AC=BD= 62+82=10，
∴S△AOB=12S△ABC=12×6×8=24，AO=BO=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，S△AOB=S△AOP+S△BOP，
∴24=12×5PE+12×5PF，
∴PE+PF=485．
故答案为：485．
连接OP，利用勾股定理求出AC，BD，利用矩形的对角线相等且互相平分以及三角形中线的性质求出△AOB的面积，然后根据S△AOB=S△AOP+S△BOP列方程求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
16.【答案】 10+1
【解析】解：取AC中点Q，连接PQ，OQ，过点Q作QH⊥BC于点H，
∵点P是CE的中点，AE=2，
∴PQ=12AE=1，
∵OQ+PQ≥OP，
∴当O、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值为OQ+PQ，
∵∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴∠ACB=45°，CQ=12AC=2，BC= AB2+AC2=4 2，
又QH⊥BC，
∴∠HQC=45°=∠QCH，
∴QH=CH，
由勾股定理得CQ2=QH2+CH2，即22=2CH^2，
∴CH=QH= 2，
∵OC=3OB，BC=BO+CO=4 2，
∴CO=3 2，
∴OH=OC−HC=2 2，
∴OQ= OH2+QH2= 10，
∴OQ+PQ= 10+1，
∴OP取最大值为 10+1．
故答案为： 10+1．
取AC中点Q，连接PQ，OQ，过点Q作QH⊥BC于点H，利用三角形中位线定理可求PQ=1，根据OQ+PQ≥OP判出断当O、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值为OQ+PQ，利用等腰三角形的判定和勾股定理可求QH=CH= 2，在Rt△OQH中利用勾股定理可求OQ= 10，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，判断出当O、Q、P三点共线，且P在OQ的延长线上时，OP取最大值是解题的关键．
17.【答案】解：(1)ma2−2ma+m
=m(a2−2a+1)
=m(a−1)2；
(2)9(x−y)2−(x+y)2
=[3(x−y)]2−(x+y)2
=[3(x−y)+(x+y)][3(x−y)−(x+y)]
=(4x−2y)(2x−4y)
=4(2x−y)(x−2y)．
【解析】(1)首先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
(2)原式利用平方差公式分解即可．
本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母，得4x−2>3x−1，
移项，得4x−3x>−1+2，
合并同类项，得x>1；
(2)方程两边同乘以x(x−2)，得(x−2)2−3x=x(x−2)，
解得x=45，
检验：当x=45时，x(x−2)=−2425≠0，
∴原分式方程的解为：x=45．
【解析】(1)按照去分母，去括号，移项合并同类项，即可求解；
(2)先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解分式方程时要验根．掌握不等式的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(mm−2−2mm2−4)÷mm+2
=[m(m+2)(m+2)(m−2)−2m(m+2)(m−2)]÷mm+2
=m2(m+2)(m−2)×m+2m
=mm−2，
当m= 5时，
原式=mm−2= 5 5−2=5+2 53．
【解析】先根据分式的运算法则将原式化简，再把m= 5代入求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值以及分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则，正确对原式进行化简是解题的关键．
20.【答案】解：如图，点P即为所求，
理由：由作图知：MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠PAB=∠B，
∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∴∠PAB=30°，
∴∠CAP=∠PAB=30°，
∴AP=2CP，
又∵AP=BP，
∴BP=2PC．
【解析】作AB的垂直平分线交BC与点P，连接AP即可．
本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
【解析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用．
根据等边对等角的性质求出∠DEC=∠C，在由∠B=∠C得∠DEC=∠B，所以AB//DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
22.【答案】6
【解析】解：(1)∵点G、F分别是CD、BC边上的中点，
∴BD=2GF=6 2，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB，AD2+AB2=BD2，
∴2AD2=72，
解得：AD=6，
故答案为：6；
(2)四边形EFGH的形状为矩形，理由如下；
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴HE//BD，GF//BD，
∴HE//GF，
又∵HE=12BD,GF=12BD，
∴HE=GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
连接AC交BD于O，如图，
由已知，AD=AB，CD=CB，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD，
∵HE//BD，
∴AC⊥HE，
∵HG//AC，
∴HG⊥HE，
∴∠GHE=90°
∴四边形EFGH是矩形．
(1)根据三角形中位线求出BD=6 2，再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求解；
(2)先根据条件结合三角形的中位线，证明出四边形EFGH为平行四边形，再添加辅助线证明一个角为直角即可．
本题考查的是中点四边形，矩形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的中位线，解题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价(x+1)万元，
由题意得：100x+1=90x，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，且符合题意，
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
(2)设A款汽车购进y辆，则B款汽车购进(15−y)辆，
由题意得：7.5y+6(15−y)≤1057.5y+6(15−y)≥99，
解得：6≤y≤10，
∵y为正整数，
∴y的值为6、7、8、9、10，
∴共有5种进货方案：
①A款汽车购进6辆，B款汽车购进9辆，总费用=7.5×6+6×9=99(万元)；
②A款汽车购进7辆，B款汽车购进8辆，总费用=7.5×7+6×8=100.5(万元)；
③A款汽车购进8辆，B款汽车购进7辆，总费用=7.5×8+6×7=102(万元)；
④A款汽车购进9辆，B款汽车购进6辆，总费用=7.5×9+6×6=103.5(万元)；
⑤A款汽车购进10辆，B款汽车购进5辆，总费用=7.5×10+6×5=105(万元)；
∵99<100.5<102<103.5<105，
∴A款汽车购进6辆，B款汽车购进9辆，使得总费用最少，
答：A款汽车购进6辆，B款汽车购进9辆，使得总费用最少．
【解析】(1)设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设A款汽车购进y辆，则B款汽车购进(15−y)辆，根据公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】解：(1)∵OA=2，OB=2 3，∠AOB=90°，
∴AB= OA2+OB2= 22+(2 3)2=4，
∴AC=2AB=8，
∴OC=AC−OA=6，
∴点C坐标为(6,0)；
(2)在坐标平面内存在点E，使得以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，理由如下：
以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，根据AB与BD在菱形中的关系有三种情况：
I.当四边形ABDE为菱形时，AE//BD，AB=BD=AE=4，如图1：
∴点E坐标为(−2,4)，或(−2,−4)；
II.当四边形AEBD为菱形时，AE//BD，AD=BD=AE，如图2：
∵OA2+OD2=AD2，
∴22+(2 3−BD)2=BD2，
解得：BD=43 3，
∴点E坐标为(−2,43 3)；
III.当四边形ABED为菱形时，AB=BE=ED=AD，如图3：
∴点E是点A关于BD的对称点，
∴点E坐标为(2,0)，
综上所述：在坐标平面内存在点E，使得以A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，E坐标为(−2,4)，或(−2,−4)或(−2,43 3)或(2,0)．
【解析】(1)由勾股定理可计算AB=4，进而可得AC=2AB=8，由此即可解题；
(2)分三种情况讨论，分别画出草图，然后求解即可．
本题是一次函数综合题，考查勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.【答案】 3 76
【解析】解：(1)如图1，
∵CD平分△ABC的面积，
∴AD=BD，
∵△ABC为边长为2的等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴AD=1，
∴CD= AC2−AD2= 3；
(2)取AC中点O，连接MO并延长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，如图2，
∵∠B=60°，
∴∠BAG=30°，
∴BG=12AB=3，
∴AG= AB2−BG2=3 3，
∵MN平分四边形ABCD的面积，
∴MN经过平分四边形ABCD的中心O，
∵平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠AMO=∠CNO，∠MAO=∠NCO，
又∵AO=CO，
∴△AOM≌△CON(AAS)，
∴AM=CN，
又∵AM=6，
∴CN=6，
又∵BC=8，
∴BN=2，
∵AG⊥BC，MH⊥BC，
∴AG//MH，
又∵AM//GH，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴GH=AM=6，MH=AG=3 3，
∴NH=BG+GH−BN=7，
∴MN= NH2+MH2= 76；
(3)连接AC，CE，过D作DH⊥AB于H，设DE交AC于点O，如图3，
∵∠ABC=90°，AB=320，BC=240，
∴AC= AB2+BC2=400，
∵DA=DC=100 5，∠ADE=∠CDE，
∴DO⊥AC，AO=CO=12AC=200米，
∴DO= AD2−AO2=100米，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC
=12×320×240+12×400×100
=58400(平方米)，
∵DF平分四边形ABCD的面积，
∴S△ADF=12S四边形ABCD=29200(平方米)，
∵AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
设AE=x米，则CE=x米，BE=(320−x)米，
在Rt△CBE中，CE2=BE2+BC2，
∴x2=(320−x)2+2402，
解得x=250，即AE=250米，
∴OE= AE2−AO2=150米，
∴S△ADE=12AE⋅DH=12DE⋅AO，即12×250DH=12×(100+150)×200，
∴DH=200米，
∵S△ADF=12AF⋅DH=29200(平方米)，
∴AF=292米，
∴EF=292−250=42米，
∴当F在BE上，且EF=42米时，DF平分该空地的面积．
(1)先判断CD是中线，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可；
(2)取AC中点O，连接MO并长交BC于点N，过A作AG⊥BC于点G，过M作MH⊥BC于点H，
利用含30°的直角三角形性质求出BG=3，利用勾股定理求出AG=3 3，证明△AOM≌△CON可求CN=AM=6，BN=2，证明四边形AGHM是平行四边形，可求MH=3 3，NH=7，然后利用勾股定理求解即可；
(3)连接AC，CE，过D作DH⊥AB于H，设DE交AC于点O，利用勾股定理求出AC=400，利用三线合一的性质求出AO=CO=200，DE⊥AC，利用勾股定理求出DO=100，则可求S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=58400，S△ADF=12S四边形ABCD=29200，证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，设AE=x，则CE=x，BE=320−x，在Rt△CBE利用勾股定理求出AE=x=250，利用勾股定理求出OE=150，在△ADE中利用等面积法求出DH=200，最后根据三角形面积公式求出AF=292，即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
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