第14讲 圆（易错点梳理+微练习）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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易错点梳理
易错点01 在弧、弦、圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件
只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立。
易错点02 忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解
忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。
易错点03 忽视弦的位置的不同情况而漏解
在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类讨论。
易错点04 混淆三角形的外心和内心
三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形3条角平分线的交点；三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.。
例题分析
考向01 与圆有关的性质
例题1：（2021·山东临清·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
例题2：（2021·山东陵城·九年级期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2B．20cm2C．10cm2D．5cm2
考向02 与圆有关的位置关系
例题3：下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题4：（2021·山东·德州市第九中学九年级期中）如图，在Rt△AOB中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
考向03 正多边形与圆
例题5：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在正六边形中，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例题6：（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
考向04 弧长与扇形面积的计算
例题7：（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10πB．9πC．8πD．6π
例题8：（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
微练习
一、单选题
1．（2021·天津滨海新·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若，则的度数是（ ）
A．15°B．25°C．30°D．75°
2．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（ ）
A．变大B．变小
C．先变大再变小D．保持不变
3．（2021·广东·广州市第七中学九年级期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·江苏玄武·九年级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
5．（2021·江西兴国·九年级期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，﹣2）D．（2，2）
6．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A．△AOE的内心与外心都是点GB．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点D．EF＝AF
7．（2021·山东巨野·九年级期中）如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·河北古冶·九年级期中）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题
9．（2021·福建福清·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，下列四个结论正确的有_____．（填序号）
①点B与点C的距离是3；②CE＝BE；③CE长的最大值2.4；④BE的长的最小值是2﹣2．
10．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，，，点B、C在⊙O上，边、分别交⊙O于D、E两点，点B是弧的中点，求的度数．
11．（2021·江苏灌南·九年级期中）在RtABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为_____．
12．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值为________．
13．（2021·山东青岛·中考真题）如图，正方形内接于⊙O，，分别与⊙O相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．
14．（2021·江苏新吴·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________．
三、解答题
15．如图，是的直径，点C在⊙O上，D为⊙O外一点，且，．
（1）求证：直线为⊙O的切线．
（2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径．
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
16．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
17．（2021·湖北新洲·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为BE的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC//AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
18．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
19．（2021·江苏新吴·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外）……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②△ABC面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明＞30°；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长为AB＝2，BC＝4，点P在直线CD的左侧，且∠DPC＝60°．
①线段PB长的最小值为 ；
②若＝，则线段PD长为 ．
20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）在⊙O中，CD为弦，OP为⊙O的半径，OP交CD于点H，若弧PC＝弧PD．
（1）如图1：求证：CD⊥OP；
（2）如图2：直径AB∥CD，弦BE⊥OD于F．求证：BE＝2OH；
（3）如图3：在（2）的条件下，连接EC，过C作CN⊥CE交⊙O于N，交AB于M，若PH＝AM，OF＝4，求线段CN的长．
已知线段BC＝4，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？