广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（原卷+解析）

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（满分：120分 时间：120分钟）
一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则﹣60元表示（ ）
A. 支出40元B. 收入40元C. 支出60元D. 收入60元
【答案】C
【解析】
【分析】根据此题中正数和负数的意义分析即可．
【详解】解：因为收入元记作元，
所以收入记为“”，则支出就记为“”
因此，元表示支出元．
故选：C
【点睛】本题考查了正负数的意义，需要理解记忆，是中考常考题目．
2. 下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查轴对称图形和中心对称图形的概念：一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据概念直接判断．
【详解】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 是中心对称图形，是轴对称图形，故符合题意；
C. 不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
D. 不是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆心可判断出这个几何体应该是圆锥，
故选：D．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体．
4. 卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：B．
5. 反比例函数的图像位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限
C 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，因此，
∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第二、四象限. 故选D.
考点：反比例函数的性质.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 了解广西全区中小学生体质情况适合采用全面调查
B. 要反映我市一周内每天的最低气温的变化情况宜采用扇形统计图
C. 抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
D. 方差越小，数据的波动越小
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽样调查与普查，统计图的选择，事件的分类，方差的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 了解广西全区中小学生体质情况适合采用抽样调查，故该选项不正确，不符合题意；
B. 要反映我市一周内每天的最低气温的变化情况宜采用折线统计图，故该选项不正确，不符合题意；
C. 抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
D. 方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查与普查，统计图的选择，事件的分类，方差的意义，掌握以上知识是解题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
8. 如图的直径弦，连接，，若，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据垂直的条件可计算出，再根据圆周角定理得到，然后利用得到即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边对等角，直角三角形两锐角互余．掌握圆周角定理是解题的关键．
9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ）
A. 16B. 20C. 32D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k.
【详解】解：∵BD//x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）.
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，.
∴E为BD中点，∠DAB=90°.
∴E（x，4）
∵∠DAB=90°，
∴AD2+AB2=BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10，
∴E（5，4）.
又∵反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点E，
∴k=5×4=20；故选B.
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键.
12. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：25
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
又S△DOE：S△COA=1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选B．
二．填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13. 使分式有意义的x的取值范围是_________．
【答案】x≠1
【解析】
【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1.
故答案为：x≠1．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法即可求解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式法进行因式分解．掌握相关方法即可．
15. 如图，在中，，则的长为 _______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，即，求，根据求即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16. 如图，是正方形，边长为2，以B为圆心，以为半径画弧，则阴影面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】，然后根据扇形和正方形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵是正方形，边长为2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式：，其中为扇形的圆心角的度数，为圆的半径)，或为扇形的弧长，为半径．也考查了正方形的面积．
17. 如图，某科技兴趣小组在操场上活动，此时无人机在离地面的点处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度________．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，结果保留整数）
【答案】15
【解析】
【分析】过点D作于点E，过点C作于点F，由锐角三角形函数的定义得到，接着求出，再求出，即可解决问题．
【详解】如图：
过点D作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，
由题意得：，，
在中，
四边形是矩形
在中，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用中仰角、俯角问题，正确做出辅助线构造直角三角形是解题关键．
18. 观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：
如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值.
【详解】由，得

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键.
三．解答题（共8小题，共72分）
19. 计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．先算乘方，再算乘法，最后算加减．
【详解】解：
．
20 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）按下列要求作图：
①将向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到；
②将绕点逆时针旋转90°，得到；
（2）在（1）②中，求点在旋转过程中所经过的路径长．
【答案】（1）①答案见详解；②答案见详解
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形平移变换和旋转变换的作图，图形平移和旋转的性质，弧长的计算，利用平移和旋转的性质作出正确的图形是解答本题的关键．
（1）①利用点平移的坐标规律，分别写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点连线即得；
②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点、、的对应点、、，连线即得；
（2）由图形的旋转过程可知，旋转中心为点，旋转角为，即点的所经过的路径是一段弧，利用弧长公式计算即可得到答案．
【小问1详解】
①如图所示，就是平移后的三角形；
②如图所示，就是旋转后的三角形；
【小问2详解】
如图，在旋转过程中，点所经过的路径是以点为圆心，长为半径的一段弧，的长为．
22. “校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）
【解析】
【分析】(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m的值；
(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；
(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；
(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)接受问卷调查的学生共有(人)，，
故答案为60，10；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数，
故答案为96°；
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：(人)，
故答案为1020；
(4)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
23. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径为
【解析】
【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．
【详解】解：（1）连接OA，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE=∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4=90°．
∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．
又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴，
∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD=．
∴⊙O半径为．
24. 2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．设该款吉祥物每件降价m元（m为正整数），当m为多少时，月销售利润能达到8400元？
（3）在（2）的条件下，设该款吉祥物每月销售利润为w元，当m为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】24. 该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为
25. 当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
26. 当或时，月销售利润最大，最大利润是9240元
【解析】
【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；
（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可；
（3）根据利润单件利润销售量列出w关于x二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键；一元二次方程的应用在于找到等量关系列出方程.
【小问1详解】
解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【小问3详解】
解：由题意得，
，
∵，
∴当时，w随m增大而增大，当时，w随m增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当或时，w最大，最大为，
∴当或时，月销售利润最大，最大利润是9240元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为，点B坐标为，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若将直线绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴于点D，使，求直线函数解析式；
（3）在（2）条件下若将线段平移（点A，C的对应点M，N），若点M落在抛物线上且点N落在直线上，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点P作轴于点E，设点，则，，根据，可得，求出点P的坐标，即可求解；
（3）设点，点，根据平移的性质可得四边形或是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点P作轴于点E，
设点，则，，
当时，，
∴点，
∵点A坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或3（舍去），
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：设点，点，
根据平移的性质得：四边形或是平行四边形，
当四边形是平行四边形时，
，解得：或，
∴此时点M的坐标为或；
当四边形是平行四边形时，
，解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
综上所述点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边形的性质，图形的平移，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键．
26. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

（1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：．
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．
【答案】（1）证明见解答过程
（2）和的数量关系为：；理由见解答过程
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，则，由得到，则，即可证明结论；
（3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：和的数量关系为：；
理由如下：
在等腰中，，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，如图3所示：

∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴正方形的边长．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关