河南省许昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交C. 相离D. 平行
2. 方程的解是( )
A. B.
C. ，D. ，
3. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
7. 在“双减”政策的指导下，我省中学生每天课后书面作业时长显著减少．2021年学生平均课后书面作业时长为160分钟，2023年学生平均课后书面作业时长为90分钟，设平均每年作业时长的年下降率为，则可列方程为（ ）
A B. C. D.
8. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 点在它的图象上B. 它的图象在第二、四象限
C. 当时，y随x的增大而增大D. 当时，
9. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向下平移个单位
D. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
10. 如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
A. 2.5B. 3C. 4D. 无法确定
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：_____．
12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是__．
13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为______．
14. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为______．
15. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．
17. 设一元二次方程．在下面的三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，．
18. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
（1）求波长关于频率f函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
19. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）年月日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______；
（2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的商品进行直播销售．如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元、日销售量增加件．设每件降价元，日利润为元．
（1）用含的式子表示日销量______；
（2）求与的函数关系式；
（3）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求函数最大值与最小值的差；
（3）点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围．
23. 【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．
【概念应用】
（1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
【证明定理】
证明：如图3，在上截取，连接，，和．
是的中点，
……
（2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
【灵活运用】
（3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长．
频率f（）
10
15
50
波长（m）
30
20
6