河南省许昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省许昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．如图是记录的月出美景，图中月亮与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
（第1题图）
A．相切B．相交C．相离D．平行
2．方程的解为（ ）
A．B．
C．，D．，
3．如图，将绕点按逆时针方向旋转50°后得到，若，则的度数是（ ）
（第3题图）
A．20°B．30°C．40°D．50°
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
（第5题图）
A．点B．点C．点D．点
6．如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（ ）
（第6题图）
A．B．C．D．
7．在“双减”政策的指导下，某地中学生每天课后书面作业时长显著减少．2021年学生平均课后书面作业时长为160分钟，2023年学生平均课后书面作业时长为90分钟，设平均每年课后书面作业时长的年均下降率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上B．它的图象在二、四象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，
9．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
10．如图，在反比例函数（）的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
（第10题图）
A．2.5B．3C．4D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称又是轴对称的图形：______．
12．已知是一元二次方程的一个根，则______．
13．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积为______．
（第13题图）
14．扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为______．
（第14题图）
15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降______米时，水面宽8米．
（第15题图）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）已知：如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转90°所得的．
17．（9分）设一元二次方程．在下面的三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；（3），．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（9分）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
（1）求波长关于频率的函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
19．（9分）二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______；
（2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
20．（9分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
图1 图2
21．（10分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为100元的商品进行直播销售．如果按每件240元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元、日销售量增加2件．设每件降价元，日利润为元．
（1）用含的式子表示日销量______；
（2）求与的函数关系式；
（3）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求函数最大值与最小值的差；
（3）点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围．
23．（11分）【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．
图1 图2
【概念应用】
（1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
【证明定理】
证明：如图3，在上截取，连接，，和．
是的中点，
……
图3 图4
（2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
【灵活运用】
（3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长．
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．圆（答案不唯一） 12．3 13．65 14．50 15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解：（1）如图所示，即为所求，
其中点的坐标为．
（2）如图所示，即为所求．
17．解：使这个方程有两个不相等的实数根
，即
②③即可
当选②解方程时：，
，
18．（1）解：设波长关于频率的函数解析式为（），
把点代入上式中得：，
解得：，；
（2）当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
19．（1）
（2）把写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片分别记为、、，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有3种．
两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为：．
20．解：如图，过点作于，交于点．
图2
，
在中，，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．
21．（1）
（2）
（3）由（2）可知
，
当时，有最大值28800．
当时，售价为（元），
售价定为220元时，利润最大为28800元．
22．（1）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于，
设二次函数的解析式为，代入得：
，解得，
二次函数的解析式为；
（2），
当时，函数有最小值；
当时，，当时，，
当时，函数有最大值为0，
当时，函数最大值与最小值的差为
（3）或
23．（1）3
（2）（辅助线作对）
在和中
，，，
，．
，，．
（3）
频率
10
15
50
波长
30
20
6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
A
A
C
D
C
C