2023-2024学年山东省潍坊市潍城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市潍城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠EFC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．已知，则代数式的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
5．某中学足球队25名队员的年龄如表：关于这25名队员的年龄，下列说法错误的是（ ）
A．众数是15B．平均数是14.5
C．中位数是15D．方差是0.64
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a+b＝0，则a2＝b2B．若a﹣b＝0，则a2＝b2
C．若|a|﹣|b|＝0，则a2＝b2D．若a＞b，则|a|＞|b|
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分。每个小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）
（多选）7．如图，在直角坐标系中，以点O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3）C．（3，3）D．（2，3）
（多选）8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，连接EF．则下列结论一定正确的有（ ）
A．DE＝AFB．∠DEF＝∠DFE
C．EF垂直平分ADD．AD平分∠EDF
（多选）9．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，取BD的中点E，连接AE；任取一点P，使点P和点D分别在边AC的两侧，以点D为圆心，DP的长为半径作弧，与边AC相交于点G和H，分别以点G和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，作直线MN，交AC于点F．若AB＝CD，且AB≠BD，则下列结论正确的有（ ）
A．AE⊥BCB．AF＝CFC．∠1＝∠2D．∠B＝2∠C
（多选）10．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论正确的有（ ）
A．DE＝EFB．CE＝CFC．AC⊥CGD．BC＝CG
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果）
11．如果3a＝5b，那么＝ ．
12．若实数m，n满足|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．已知a＞0，，S2＝﹣S1﹣1，，，…即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1，则S2024＝ ．
四、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解方程：
（1）＝；
（2）＝﹣1．
16．先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
17．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE＝∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在边BC上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边AB，AC上，且始终有DB＝DE，DC＝DF，连接BF，CE，设BF与CE交于点G．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若∠BAC＝50°，随着点D的运动，∠EGF的大小是否为定值？如果是定值，请求出∠EGF的度数；如果不是定值，请说明理由．
19．张老师任教的八年级1、2班每班都有45人，为了加强部分同学的运算能力，从每班抽取运算能力薄弱的25名同学进行专项训练，经过一段时间后，进行了一次过关测试，测试成绩分别记为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．现将两个班参与专项训练的同学的测试成绩整理并绘制成如图所示的不完整的统计图表．
（1）把1班测试成绩条形统计图补充完整；
（2）写出表中a，b，c的值；
（3）从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量对两个班级的专项训练情况进行比较，并做出评价．
20．如图，点P为矩形ABCD的边CD上一点，连接AP，将△ADP沿AP所在的直线翻折得到△AEP，射线PE交AB的延长线于点F，连接AC，BD．
（1）求证：AF＝PF；
（2）当AF＝AC时，判断四边形BFPD的形状，并说明理由．
21．“绿色环保，健康出行”，新能源汽车在汽车市场占比越来越大．通过对某品牌的插电混动新能源汽车的调研，了解到该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为a元的情况下续航里程之比为5：1，经计算单纯耗电相比单纯耗油每公里节约0.6元．
（1）分别求出单纯耗电和单纯耗油每公里的费用；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的用户可享受低谷时段优惠电价，每度约为0.4元．该品牌新能源车充电30度可续航200公里，试计算低谷时段充电时每公里所需电费．若每年行驶里程为12000公里且一直在低谷时段充电，请计算单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用．
22．已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．
【探究】：
（1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α，β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；
【挑战】：
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
参考答案
一、单选题（共6小题，每小题4，共24分。每小题的四个选项中只有一项正确）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
3．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠EFC的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠EDF、∠BAC的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出∠BGF的度数，再根据三角形外角的性质求出∠AFG的度数，最后根据平角的定义即可求出∠EFC的度数．
解：如图，
∵∠EFD＝90°，
∴∠DEF+∠EDF＝90°，
∵∠DEF＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BGF＝∠EDF＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵∠BGF是△AGF的一个外角，
∴∠BGF＝∠AFG+∠GAF，
即45°＝∠AFG+30°，
∴∠AFG＝15°，
∵∠EFD＝90°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFG﹣∠EFD＝180°﹣15°﹣90°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
4．已知，则代数式的值为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【分析】根据求出y﹣x＝2xy，x﹣y＝﹣2xy，变形后代入，即可求出答案．
解：∵，
∴y﹣x＝2xy，
∴x﹣y＝﹣2xy，
∴
＝
＝
＝
＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减，能求出y﹣x＝2xy是解此题的关键．
5．某中学足球队25名队员的年龄如表：关于这25名队员的年龄，下列说法错误的是（ ）
A．众数是15B．平均数是14.5
C．中位数是15D．方差是0.64
【分析】根据众数、加权平均数、中位数和方差的定义逐一计算可得．
解：这25名队员的年龄的众数是15，
平均数是＝14.6，
中位数为15，
方差为×[（13﹣14.6）2×2+（14﹣14.6）2×9+（15﹣14.6）2×11+（16﹣14.6）2×3]＝0.64，
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查众数、加权平均数、中位数和方差的定义，熟练掌握众数、加权平均数、中位数和方差的定义是解题的关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a+b＝0，则a2＝b2B．若a﹣b＝0，则a2＝b2
C．若|a|﹣|b|＝0，则a2＝b2D．若a＞b，则|a|＞|b|
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
解：A．逆命题为若a2＝b2，则a+b＝0，是假命题，不符合题意；
B．逆命题为若a2＝b2，则a﹣b＝0，是假命题，不符合题意；
C．逆命题为若a2＝b2，则|a|﹣|b|＝0，是真命题，符合题意；
D．逆命题为若|a|＞|b|，则a＞b，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，熟练写出原命题的逆命题进行判断是解题的关键．
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分。每个小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）
（多选）7．如图，在直角坐标系中，以点O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3）C．（3，3）D．（2，3）
【分析】分两种情况讨论，由平行四边形的性质列出等式可求解．
解：∵O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2），
∴OB＝2，
当OB为边时，第四个点的坐标为（﹣2，1），（﹣2，﹣3）；
当OB为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），
∴0+0＝﹣2+x，0+2＝﹣1+y，
∴x＝2，y＝3，
∴第四个点的坐标为（2，3），
故选：ABD．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
（多选）8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，连接EF．则下列结论一定正确的有（ ）
A．DE＝AFB．∠DEF＝∠DFE
C．EF垂直平分ADD．AD平分∠EDF
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF，由“HL”可证Rt△ADE和Rt△ADF，可得Rt△ADE和Rt△ADF，即可求解．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，故选项B正确，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，
∴AD平分∠EDF，故选项D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（多选）9．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，取BD的中点E，连接AE；任取一点P，使点P和点D分别在边AC的两侧，以点D为圆心，DP的长为半径作弧，与边AC相交于点G和H，分别以点G和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，作直线MN，交AC于点F．若AB＝CD，且AB≠BD，则下列结论正确的有（ ）
A．AE⊥BCB．AF＝CFC．∠1＝∠2D．∠B＝2∠C
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：由作图知，AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵点E是BD的中点，
∴AE⊥BC，故A正确；
由作图知MN垂直平分AC，
∴AF＝CF，故B正确，AD＝CD，
∴∠2＝∠C，
∵∠ADB＝∠C+∠2，
∴∠B＝2∠C，故D正确，
无法证明∠1＝∠2，故C错误，
故选：ABD．
【点评】本题考查了作图−基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
（多选）10．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论正确的有（ ）
A．DE＝EFB．CE＝CFC．AC⊥CGD．BC＝CG
【分析】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故A正确；推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故C正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，从而得出CD不一定等于CG，即BC不一定等于CG，故B，D错误．
解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故A正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故C正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故B错误；
∴不能得出△DCE与△GCF全等，CD不一定等于CG，即BC不一定等于CG，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果）
11．如果3a＝5b，那么＝ ．
【分析】根据3a＝5b，得到，将代入求解即可．
解：∵3a＝5b，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键．
12．若实数m，n满足|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 17 ．
【分析】根据偶次方，算术平方根的非负性可得：m﹣7＝0，3﹣n＝0，从而可得：m＝7，n＝3，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；从而进行计算即可解答．
解：∵|m﹣7|+|3﹣n|2＝0，
∴m﹣7＝0，3﹣n＝0，
解得：m＝7，n＝3，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，
∴△ABC的周长＝7+7+3＝17；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，
∵3+3＝6＜7，
∴不能组成三角形；
综上所述：△ABC的周长是17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 OE＝OF（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】由平行四边形的性质得出OD＝OB，由全等三角形的判定可得出结论．
解：添加OE＝OF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）．
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．已知a＞0，，S2＝﹣S1﹣1，，，…即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1，则S2024＝ ．
【分析】用含a的代数式依次表示出S1，S2，S3，…，发现规律即可解决问题．
解：由题知，
因为，
所以，
，
，
，
S6＝a+1﹣1＝a，
，
…，
由此可见，Si（i为正整数）的表达式每6个一循环，
又因为2024÷6＝337余2，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现Si（i为正整数）的表达式每6个一循环是解题的关键．
四、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解方程：
（1）＝；
（2）＝﹣1．
【分析】（1）方程两边都乘4（6+x）得出4x＝6+x，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出﹣x2＝x﹣2﹣（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）＝，
方程两边都乘4（6+x），得4x＝6+x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，4（6+x）≠0，
所以x＝2是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝2；
（2）＝﹣1，
＝﹣1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得﹣x2＝x﹣2﹣（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x＝﹣2是增根，
即原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
16．先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
解：
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE＝∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【分析】上面证明过程不正确，因为没有正确理解全等三角形的判定方法，SAS指的是两边一角且角为这两边的夹角，所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法．
解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC中，
∵BE＝CE
∴∠EBC＝∠ECB
又∵∠ABE＝∠ACE
∴∠ABC＝∠ACB
∴AB＝AC．
在△AEB和△AEC中，
，
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE＝∠CAE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在边BC上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边AB，AC上，且始终有DB＝DE，DC＝DF，连接BF，CE，设BF与CE交于点G．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若∠BAC＝50°，随着点D的运动，∠EGF的大小是否为定值？如果是定值，请求出∠EGF的度数；如果不是定值，请说明理由．
【分析】（1）设∠ABC＝α，根据等腰三角形得∠ABC＝∠ACB＝α，再根据DB＝DE，DC＝DF，得∠DEB＝∠ABC＝α，∠DFC＝∠ACB＝α，进而得∠BDE＝180°﹣2α，∠CDF＝180°﹣2α，则∠BDE＝∠CDF，由此可得∠BDF＝∠EDC，进而可依据“SAS”判定△BDF和△EDC全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；
（2）设∠DBF＝β，∠DCE＝θ，由（1）可知△BDF≌△EDC，根据全等三角形的性质得∠DEC＝∠DBF＝β，∠DFB＝∠DCE＝θ，再由AB＝AC，∠BAC＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝α＝65°，进而得∠BDE＝180°﹣2α＝50°，∠CDF＝180°﹣2α＝50°，∠EDF＝80°，则∠BDF＝130°，由此可得β+θ＝50°，然后由三角形的外角定理得∠AEC＝65°+θ，∠AFB＝65°+β，则∠AEC+∠AFB＝130°+β+θ＝180°，最后在四边形AEGF中，利用四边形的内角和等于180°可求出∠EGF的度数．
【解答】（1）证明：设∠ABC＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵DB＝DE，DC＝DF，
∴∠DEB＝∠ABC＝α，∠DFC＝∠ACB＝α，
∴∠BDE＝180°﹣（∠DEB+∠ABC）＝180°﹣2α，∠CDF＝180°﹣（∠DFC+∠ACB）＝180°﹣2α，
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDE+∠EDF＝∠CDF+∠EDF，
即∠BDF＝∠EDC，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴BF＝CE；
（2）若∠BAC＝50°，随着点D的运动，∠EGF的大小为定值．
设∠DBF＝β，∠DCE＝θ，
由（1）可知：△BDF≌△EDC，
∴∠DEC＝∠DBF＝β，∠DFB＝∠DCE＝θ，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣50°）＝65°，
即∠ABC＝∠ACB＝α＝65°，
由（1）可知：∠BDE＝180°﹣2α＝50°，∠CDF＝180°﹣2α＝50°，
∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝50°+80°＝130°，
∴∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝180°﹣130°＝50°，
即β+θ＝50°，
∵∠AEC＝∠ABC+∠DCE＝65°+θ，∠AFB＝∠ACB+∠DBF＝65°+β，
∴∠AEC+∠AFB＝65°+θ+65°+β＝130°+β+θ＝180°，
在四边形AEGF中，∠AEC+∠AFB+∠BAC+∠EGF＝360°，
∴180°+50°+∠EGF＝360°，
∴∠EGF＝130°．
即随着点D的运动，∠EGF＝130°为定值．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，灵活运用三角形内角和定理，三角形外角定理进行相关角度的计算是解决问题的关键．
19．张老师任教的八年级1、2班每班都有45人，为了加强部分同学的运算能力，从每班抽取运算能力薄弱的25名同学进行专项训练，经过一段时间后，进行了一次过关测试，测试成绩分别记为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．现将两个班参与专项训练的同学的测试成绩整理并绘制成如图所示的不完整的统计图表．
（1）把1班测试成绩条形统计图补充完整；
（2）写出表中a，b，c的值；
（3）从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量对两个班级的专项训练情况进行比较，并做出评价．
【分析】（1）根据总人数为25人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出1班的平均分与中位数得到a与b的值，求出2得众数得到c的值即可；
（3）分情况讨论，分别根据1班和2班的平均数和众数、1班和2班的中位数和方差进行分析，即可得出合理的答案．
解：（1）1班中C级的有25﹣8﹣10﹣3＝4（人），补图如下：
（2）根据题意得：
a＝（8×100+10×90+4×80+3×70）÷25＝86；
把2班25人成绩从小到大排列，排在中间的数为80，故中位数为b＝80，
1班出现最多的分数是90，故众数a＝90，
则a＝86，b＝80，c＝90；
（3）①从平均数和众数的角度，2班的平均数和众数大于1班，故2班成绩好于1班；
②从中位数和方差的角度，1班的中位数大于2班，方差小于2班，故1班成绩好于2班．
【点评】本题考查了众数、方差、中位数、平均数和统计图，理解众数、方差、中位数、平均数的意义是正确求解的前提．
20．如图，点P为矩形ABCD的边CD上一点，连接AP，将△ADP沿AP所在的直线翻折得到△AEP，射线PE交AB的延长线于点F，连接AC，BD．
（1）求证：AF＝PF；
（2）当AF＝AC时，判断四边形BFPD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得AB∥CD，则∠FAP＝∠DPA，由翻折得∠FPA＝∠DPA，则∠FAP＝∠FPA，所以AF＝PF；
（2）作FG⊥DC交DC的延长线于点G，则四边形AFGD是矩形，所以GD＝AF，由AF＝AC＝BD，AF＝PF，得PF＝BD，可根据“HL”证明Rt△GPF≌Rt△ABD，得GP＝AB，由GD﹣GP＝AF﹣AB，得PD＝BF，而PD∥BF，所以四边形BFPD是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAP＝∠DPA，
由翻折得∠FPA＝∠DPA，
∴∠FAP＝∠FPA，
∴AF＝PF．
（2）解：四边形BFPD是平行四边形，
理由：作FG⊥DC交DC的延长线于点G，
∵AF＝AC，BD＝AC，
∴AF＝BD，
∵AF＝PF，
∴PF＝BD，
∵∠G＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形AFGD是矩形，
∴GF＝AD，GD＝AF，
在Rt△GPF和Rt△ABD中，
，
∴Rt△GPF≌Rt△ABD（HL），
∴GP＝AB，
∴GD﹣GP＝AF﹣AB，
∴PD＝BF，
∵PD∥BF，
∴四边形BFPD是平行四边形．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，推导出∠FAP＝∠FPA，进而证明AF＝PF是解题的关键．
21．“绿色环保，健康出行”，新能源汽车在汽车市场占比越来越大．通过对某品牌的插电混动新能源汽车的调研，了解到该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为a元的情况下续航里程之比为5：1，经计算单纯耗电相比单纯耗油每公里节约0.6元．
（1）分别求出单纯耗电和单纯耗油每公里的费用；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的用户可享受低谷时段优惠电价，每度约为0.4元．该品牌新能源车充电30度可续航200公里，试计算低谷时段充电时每公里所需电费．若每年行驶里程为12000公里且一直在低谷时段充电，请计算单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用．
【分析】（1）设单纯耗电每公里的费用为x元，则单纯耗油每公里的费用为（x+0.6）元，根据该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为a元的情况下续航里程之比为5：1，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出单纯耗电每公里的费用，再将其代入（x+0.6）中，即可求出单纯耗油每公里的费用；
（2）利用低谷时段充电时每公里所需电费＝充电30度所需电费÷续航，可求出低谷时段充电时每公里所需电费，再利用单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用＝（单纯耗油每公里的费用﹣低谷时段充电时每公里所需电费）×每年行驶里程，即可求出结论．
解：（1）设单纯耗电每公里的费用为x元，则单纯耗油每公里的费用为（x+0.6）元，
根据题意得：＝5×，
解得：x＝0.15，
经检验，x＝0.15是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.6＝0.15+0.6＝0.75（元）．
答：单纯耗电每公里的费用为0.15元，则单纯耗油每公里的费用为0.75元；
（2）根据题意得：0.4×30÷200＝0.06（元），
（0.75﹣0.06）×12000＝8280（元）．
答：低谷时段充电时每公里所需电费0.06元，单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用为8280元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
22．已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．
【探究】：
（1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α，β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；
【挑战】：
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
【分析】（1）利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．
（2）通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB；
（3）利用平行项线的性质和角平分线的性质进行分析求解即可．
解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣110°＝130°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝（180°﹣130°）
＝25°；
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
2
9
11
3
班级
平均数
中位数
众数
方差
1班
a
90
c
95.36
2班
86.8
b
100
141.76
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
2
9
11
3
班级
平均数
中位数
众数
方差
1班
a
90
c
95.36
2班
86.8
b
100
141.76