浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了已知平面向量，若，则，已知命题，直线交曲线于点，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题，
2．答题前，请在答题卷的规定处用，黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考证号．
3．试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若（为虚数单位），则（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或3 D．或3
5．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．直线交曲线于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若对任意实数，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线为异面直线，平面平面，则下列线面关系可能成立的是（ ）
A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面
11．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．数列为等比数列 B．
C．当且仅当时，取得最大值 D．
12．双曲线上一动点为双曲线的左、右焦点，点为的内切圆圆心，连接交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点在的内切圆上
B．
C．
D．当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含的项的系数为____________．
14．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是____________．
15．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标．卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是____________．
16．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，直线分别交于，则的最小值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知锐角的内角，所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求的周长的取值范围．
18．（12分）
已知数列的前项和为．若为等差数列，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
19．（12分）
临近新年，某水果店购入三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱．现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查．
（1）应从三种水果各抽多少箱？
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测．
①用表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量的分布列和数学期望；
②设为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件发生的概率．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，．
（1）求证：；
（2）若平面平面，在线段（包含端点）上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知椭圆与圆交于两点，直线过该圆圆心，且斜率为，点分别为椭圆的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求的值．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个解，求证：．
2023学年第一学期期末教学质量调测
高三数学试题参考答案
一、选择题
1-4CBCA 5-8DBBC
二、选择题
9．ACD 10．AD 11．AB 12．AB
三、填空题
17．（1）由已知得，，
，
为锐角三角形，．
（2）由正弦定理得，
则
，
因为得，得
所以，得．
18．（1）由已知得，设公差为，则，
求得，
当时，，
符合上式，
（2）由（1）知，令，得，
当时，则
当时，则
；
19．（1）根据分层抽样，水果需要抽取，
B水果需要抽取
（2）
所以
20．（1）取的中点，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，由，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，因为平面平面且交线为，
所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则
，
设，则
设平面的法向量为，
，则有，取
设平面的法向量为
则有，所以，
若平面平面，则，求得，
所以．
21．（1）由已知得，中点为，设
，
由得，，
（2）由（1）得椭圆的方程为：．
设，直线的方程为，
，
过作轴的垂线交分别于点
易知直线，得
同理直线，得
得，
由（※）知，，
得．
22．（1）由题意知的定义域为．
对已知函数求导可得
令，得，若，则，若．
所以函数在单调递减，函数在单调递增
（2）由题意知的一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设，要证，
即证，因，所以，因为，所以，
即证：
即：
设，则．
设，则，所以，
而，所以，
所以所以在单调递增，即，
令，则
所以在单调递减，故0
1
2
3
4