(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习2.7《对数与对数函数》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM﹣lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( )
(2)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝lgaeq \f(1＋x,1－x)与函数y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)是同一个函数．( )
(4)函数y＝lg2x与y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象重合．( )
教材改编题
1．函数y＝lga(x﹣2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
2．计算：(lg29)·(lg34)＝ .
3．若函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
题型一 对数式的运算
例1 (1)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100
(2)计算：lg535＋ SKIPIF 1 < 0 ﹣lg5eq \f(1,50)﹣lg514＝ .
教师备选
计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝ .
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1
(1)已知a>b>1，若lgab＋lgba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则a＋b＝ .
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b﹣1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为 ．
教师备选
已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x﹣2，g(x)＝ln x＋x﹣2的零点，则 SKIPIF 1 < 0 ＋ln x2的值为( )
A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2 C．2 D．4
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝lgax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为( )
(2)设x1，x2，x3均为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ln x1， SKIPIF 1 < 0 ＝ln(x2＋1)， SKIPIF 1 < 0 ＝lg x3，则( )
A．x1题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式、对数式大小
例3 (1)设a＝lg3e，b＝e1.5，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A．b(2)设a＝lg63，b＝lg126，c＝lg2412，则( )
A．b命题点2 解对数方程不等式
例4 若lga(a＋1)0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
命题点3 对数性质的应用
例5 设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减
教师备选
1．已知a＝lg23，b＝2lg53，c＝ SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
2．若f(x)＝lg(x2﹣2ax＋1＋a)在区间(﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)若实数a，b，c满足lga2A．a(2)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgax，x≥2，,－lgax－4，0(3)已知f(x)＝1＋lg3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max﹣g(x)min＝ .
课时精练
1．设a＝eq \f(1,2)，b＝lg7eq \r(5)，c＝lg87，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．lg2x B.eq \f(1,2x) C． SKIPIF 1 < 0 D．2x﹣2
3．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10 lg eq \f(I,I0)(单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10﹣12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是( )
A．(﹣∞，10﹣7) B．[10﹣12，10﹣5) C．[10﹣12，10﹣7) D．(﹣∞，10﹣5)
4．设函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 若f(a)>f(﹣a)，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣1,0)∪(0,1) B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,0)∪(1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)
5. (多选)函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1 B．01
6．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)﹣x，则( )
A．f(ln 2)＝ln eq \f(5,2) B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2
7．lg3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 的值等于 ．
8．函数f(x)＝lg2eq \r(x)· SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
9．设f(x)＝lg2(ax﹣bx)，且f(1)＝1，f(2)＝lg212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
10．已知函数f(x)＝lga(x＋1)﹣lga(1﹣x)，a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
11．设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋b12．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝lg4z，则( )
A．z>x>y B．z>y>x C．x>y，x>z D．z>x，z>y
13．函数f(x)＝|lg3x|，若正实数m，n(mA.eq \f(8,3) B.eq \f(80,9) C.eq \f(15,4) D.eq \f(255,16)
14．若函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－ax＋\f(1,2)))有最小值，则实数a的取值范围是 ．
15．已知lga(a＋1)0且a≠1)，则a的取值范围是 ．
16．已知函数f(x)＝lg2(2x＋k)(k∈R)．
(1)当k＝﹣4时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x﹣2m有实根，求实数m的取值范围．
y＝lgax
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数