河南省郑州市金水区一八初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市金水区一八初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
2. 反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的值增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. k＜2B. k≤2C. k＞2D. k≥2
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得出k﹣2＜0，求出即可．
【详解】∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3. 如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，从而可得出现红球的概率，再利用概率公式求解红球的数量即可得到答案．
【详解】解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，
所以出现红球的概率是
则袋中红球的数量为：
所以袋中红色球的数目为个，
故选：
【点睛】本题考查的是利用频率来估计概率，再利用概率求解目标球的数量，掌握利用频率估计概率是解题的关键．
4. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查抛物线平移，涉及抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案，熟记函数图像的平移法则是解决问题的关键．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为，
故选：A．
5. 当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是（ ）
A. 当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B. 图像位于第一、三象限
C. 压强随受力面积的增大而减小
D. 图像不可能与坐标轴相交
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
【详解】A．当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题；
B．结合实际意义可知，即函数图像位于第一象限，故本选项符合题；
C．压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题；
D．根据题意可知，，又，由此可得，故图像不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质等知识，解题关键是掌握并灵活运用相关性质．
6. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．
【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8. 如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，
由勾股定理，得
FC=，
EC2=，EC2=，
∴=，
令DE=x，则EF=x+8，
∴，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．
9. 二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
则下列结论：①；②当函数值时，对应x的取值范围是；③顶点坐标为；④若点，在抛物线上，则．其中所有正确结论的序号为（ ）．
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】由待定系数法求出函数解析式为，即判断①，求出抛物线与x轴的交点，根据函数图象即可判断②，把函数解析式化为顶点式，即可判断③，分别求出和的函数值，即可判断④．
【详解】解：把点，，代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴，故①正确；
当时，，解得
∴抛物线与轴的交点为，
的图象如下：
由图象可知，当函数值时，对应x的取值范围是，故②错误；
∵，
∴顶点坐标为；故③正确；
∵当时，，
当时，，
∴点，在抛物线上，则．故④错误；
综上可知，所有正确结论的序号为①③，
故选：A
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为BC上的动点（点E不与点C重合），将沿直线EF翻折，使点C落在点P处，结论①：当时，的长为；结论②：点P到AB的距离的最小值是，则关于上述两个结论，下列说法正确的是（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①和②都正确D. ①和②都错误
【答案】C
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求解可求得；延长交于M，当时，点P到的距离最小，证明，利用相似三角形的性质求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
如图，延长交于M，当时，点P到的距离最小．
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P到边距离的最小值是．故②正确；
综上，①和②都正确．
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解第②题的关键是正确找到点P位置．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 如果x：y＝1：2，那么＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据合比性质即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查合比性质，熟记合比性质（若，则 ）的公式是解题关键．
12. 如图，的内接四边形中，， 则的度数为____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】由圆的内接四边形的对角互补直接可得答案．
【详解】解：∵的内接四边形中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补”是解本题的关键．
13. 如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义．根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键．
14. 如图，是正方形内的一点，将绕点逆时针方向旋转后与重合，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可得： 再利用勾股定理可得答案．
【详解】解： 正方形，

旋转角：


故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
15. 已知两个直角三角形的三边长为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则的值为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据勾股定理求出两个三角形的第三边长，且要注意对直角三角形的边进行分类讨论，利用相似三角形的判定定理即可得出结果．
【详解】解：①当3，4为直角边时，m为斜边，
，
当8为斜边，6，n为直角边，
，
∴；
②当3，m为直角边时，4为斜边，
，
当n为斜边，6，8为直角边，
，
∴；
③当3，4为直角边时，m为斜边，
，
当n为斜边，6，8为直角边，
，
此时：，两个三角形相似，不符合题意（舍去），
综上可得：的值为或，
故答案为：或．
【点睛】题目主要考查利用勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定，理解题意，对直角三角形的边分类讨论是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的运算法则，求一个数的算术平方根，有理数的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
（1）采用因式分解法解此方程，即可解得；
（2）首先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂，算术平方根，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求得结果．
【详解】解：，
，
或，
，；
原式
．
17. 某市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．某市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人， ，并补全条形统计图；
（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）
【答案】（1）200，35，见解析；（2）去B地旅游的居民约有420人；（3）到A，C两个景区的概率为.
【解析】
【分析】(1)先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到A，C两个景区的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是(人)，
则，即，
C景区人数(人)，
补全条形图如下：
故答案为200，35；
(2)估计去B地旅游的居民约有(人)；
(3)画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，
所以选到A，C两个景区的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图等知识，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】的长为
【解析】
【分析】根据题意得出，在，中，分别求出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
中，，
∴（），
在中，，
∴（），
∴（），
即的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
19. 如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数的图象在第二象限内的部分交于点C，垂直于x轴，垂足为D，其中．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）求这两个函数的关系式；
（3）若点P在x轴上，且，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1），；
（2），；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据，求解即可；
（2）将，代入直线方程求解即可，求得点坐标，代入反比例函数，求解即可；
（3）设，根据列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，分别为轴的正半轴，
∴，；
【小问2详解】
解：将，代入中，可得
，解得，即，
∵轴
∴，
∴，
∴，解得，，
由题意可得：，即
∴，
将代入可得，，解得，
即；
【小问3详解】
解：设，则，
由题意可得：，
解得或，
即点P的坐标为或
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
20. 如图，在中，，，以为直径的分别交，于点，，过点作的切线，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）求的度数．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理的推论，切线的性质，三角形内角和等知识．连接常用的辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
（1）连接，由圆周角定理的推论可知，由，结合等腰三角形中线的性质即可证明．
（2）由切线的性质可知，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
是直径，
，即，
，
．
【小问2详解】
解：，，
，
是切线，
，
．
21. 如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架米处有一棵米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
【答案】（1）
（2）水流不会碰到这棵果树，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意设，将点代入可得，即可求解；
（2）根据题意，当时，，可得结论．
【小问1详解】
解：由题可知：抛物线顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
∴抛物线为： ．
【小问2详解】
不能，理由如下：
当时，，
∴水流不会碰到这棵果树．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
22. 某商场种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）设商品每件降价元，每天售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）为了每天盈利2100元，则每件商品应降价多少元？
（3）当商品每件降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）20元 （3）当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出与的函数关系式；
（2）将数据代入（1）的函数关系式中，即可得到结果；
（3）应用二次函数的性质，判断出最值．
【小问1详解】
（1），
答：与的函数关系式为．
【小问2详解】
2）当时，，
整理得，解得，．
∵要尽快减少库存，∴不合题意，舍去，∴．
答：每件商品降价20元时，商场每天盈利可达到2100元．
【小问3详解】
（3），
∵，抛物线开口向下，有最大值．
当时，最大．
答：当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，及最值的判断；根据题意准确写出二次函数的表达式是解题的关键．
23. 如图，矩形中，，为边上一动点，连接作交矩形的边于点，垂足为
图（1）
（1）如图（1）中，由题意可知的关系是_____________.
（2）若，求的长；
（3）点为矩形的对称中心（对角线交点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）①如图1，当点F在上时，；②如图2，当点F在上时．则可求出答案；
（3）求出，当G与A重合时，最长，此时，则可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图1，四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴．
①如图1，当点F在上时，．
∵，
∴．
∴，即，
∴；
②如图2，当点F在上时，．
同（1）可证，
∴，
∴，即，
∴，
∴或；
【小问3详解】
解：G点在以的中点为圆心，长为半径的弧上运动．
设中点为M点．连接．则最小值为−圆M的半径．
∵，
∴
∵半径为，则，
∴，
当G与A重合时，最长，此时，
∴．
【点睛】此题考查矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．x
…
0
1
2
…
y
…
5
0
5
…