42，安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份42，安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则集合等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏.
【详解】当时，；
当时，；
当或时，；
所以.
故选：B.
2. 设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题，准确改写，即可求解．
【详解】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“，”的否定为“，”，
故选：A.
3. “角为第一象限角”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数值的正负与角所属象限关系进行判断.
【详解】若角在第一象限角，则 ，，
若 ，则在第一象限或第三象限，
若，则在第一象限或第二象限或轴正半轴上，所以角在第一象限；
综上所述：角在第一象限是且的充要条件.
故选：C
4. ，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系．
【详解】，
，，
．
故选：．
5. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由为偶函数，排除CD选项，由排除B选项.
【详解】函数定义域为R，，
为偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误；
，选项B错误.
故选：A
6. 已知幂函数的图象不经过第二象限，则（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可．
【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，
当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意；
当时，，其图象经过第二象限，不满足题意；
综上，．
故选：D．
7. 若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，
解得，即的取值范围是.
故选：D
8. 筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．
【详解】如图，
过作直线与水面平行，
过 作，垂足为点，过 作，垂足为点，
设，，则，其中，
则，，
所以，，
所以，
整理可得，
因为，则，所以，，解得.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 的最小值是
D. 的最大值是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值进行验证排除，可得A的正误；根据不等式性质，可得B的正误；利用基本不等式可判断C，D的正误．
【详解】解：对于A，若，，时，，即不成立，故A错误；
对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然取等条件不成立，
故的最小值不可能是，故C错误；
对于D，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：BD．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称B. 的单调递增区间为
C. 的最小值为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，结合对勾函数性质及函数奇偶性及单调性定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以是偶函数，其图象关于轴对称，所以A正确
对于B中，由，
当时，根据对勾函数的性质，可得函数在是减函数，所以B不正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为，所以C正确；
对于D中，当时，可得，由，
根据对勾函数性质，可得函数在是增函数，
又因为，所以，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
【详解】解：根据函数的部分图象，
可得，，所以，
利用五点法作图，可得，可得，
所以，可得函数的最小正周期为，故A正确；
，为的最小值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
当，，不是正弦函数的单调区间，故C错误；
把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确，
故选：ABD．
12. 已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象，可判定A正确；根据，由对数式的运算，可判定B错误；由关于直线对称，得到，结合二次函数的性质可得的范围，可判定C正确；由，结合不等式的性质可判定D错误.
【详解】作出函数，如图所示，
结合图象，要使有四个不等的实根，则，所以A正确；
由图可知，则，
因为，可得，即，
所以，所以B错误；
由图可得，令，则，
因为关于直线对称，所以，所以，
则，
又因为，可得，所以，所以C正确；
当时，，令，可得，
所以，结合图象知，同增同减，
所以，所以D错误．
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数定义将化为，代入解析式即可．
【详解】因为奇函数满足当时，，
所以．
故答案为：.
14. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知求得，再由二倍角公式求得．
【详解】由，解得，
所以．
故答案为：.
15. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．
【详解】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以，为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.
故答案为：.

16. 已知函数，若存在，使得方程有两个不同实数根且两根之和为6，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通过对题目的分析，令，将题目简单化，并转化为等价形式；再根据函数与的图象有两个交点，数形结合可判断；最后结合图形分析得出与图象的交点纵坐标与之间的关系： ，建立不等式求解即可得出答案.
【详解】令，得，
则原问题等价于存，
使得与的图象有两个交点且两交点的横坐标之和为6，
则，作出函数与的图象如图所示，
设两图象交点的横坐标分别为，则，
故两个交点关于二次函数的图象的对称轴对称，
设点为与图象的交点，且，
联立与，解得，故，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：根据两个实数根之和为6得到两个交点关于直线对称是解决本题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：
（2）若，求的值．
【答案】；2
【解析】
【分析】（1）利用指数对数运算法则即可；
（2）先利用诱导公式求出，然后利用同角三角函数基本关系式即可．
【详解】（1）原式．
（2），，
所以．
18. 设全集，集合.
（1）当命题:,为真命题时，实数的取值集合为，求；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，可知方程有解，由可求出集合，然后解分式不等式求出集合，再利用交集的运算求解即可；
（2）由已知可确定真包含于，根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
依题意，方程有解，
则恒成立，解得：，
所以集合，
又因为，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以真包含于，
由（1）知，则集合，
又，
则，解得：，
所以实数的取值范围为：.
19. 设函数，已知函数的图象经过点
（1）求函数的解析式
（2）求函数在上的单调递增区间．
【答案】19.
20. 单调递增区间为，
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据题意函数图象经过点，可得，可得解析式；
（2）令，因为，所以，由的单调递增区间得出的单调递增区间即可．
【小问1详解】
结合题意可得：，
所以，，
因为函数的图象经过点，
所以，即，
所以，，即，，
因为，所以当时，，满足题意，
故函数的解析式为．
【小问2详解】
由可得，
令，因为，所以，
由的图象可知：
在上单调递增，
所以，解得：，所以在单调递增；
在单调递增，
所以，解得：，所以在单调递增
函数在上的单调递增区间为，
20. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．
方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论
方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
【详解】解：选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
在直角中，设，则，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
由，可得，
当，即时，
平方米
所以，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米．
选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
过点作的垂线分别交，于，
由对称性可知，平分，
在直角中，设，则，
直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
，
由，可得，
当，即时，平方米，
因此，当时，活动场地面积取得最大值为平方米．
21. 函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为关于的奇函数，给定函数，关于中心对称．
（1）求的值
（2）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据恒成立，即可得解；
（2）由题意得，，又，，抓住对称轴和区间位置关系讨论，从而可得出答案．
【小问1详解】
因为的图象存在对称中心
则的图象关于原点成中心对称，
因为的定义域为R，所以恒成立，
即恒成立，解得．
【小问2详解】
因为在区间上单调递减，值域为，即最大值为，
又，，，
所以，，
又，，
当，即时，在区间单调递减，
所以，解得，舍去；
当，即，在单调递增，单调递减，
所以，解得，所以；
当，即，在单调递增，
所以，解得（舍），
综上所述：
【点睛】关键点睛：本题第二问，关键是理解题意先将问题转化为，然后利用的对称轴与区间的关系分三种情况讨论，求出的最大值得解.
22. 对于函数.
（1）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
（2）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原方程可转化为，分类讨论即可；
（2）将转化为，分别求最大值和最小值，再求a范围.
【小问1详解】
方程恰有一个实根，
转化为方程恰有一个实根，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
判别式，
当时，方程有两相等根，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等根，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
【小问2详解】
令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，
所以函数在单调递增，
所以，
∴.