2024年中考数学专题训练 专题02 线圆最值（专项训练）（原卷版+解析）

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2.（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为 ．
3．（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
4．（2023•安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 ．
6．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ ．
专题02 线圆最值（专项训练）
1.（2023秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为 ．
【解答】解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不变，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：+1，
∴△ABC的最大面积是：×2×（+1）＝+1．
故答案为：+1．
2.（2022•邗江区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是4，则△ABC的面积为 ．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT，BQ．
∵PB是⊙O的直径，
∴∠PQB＝∠CQB＝90°，
∴QT＝BC＝定值，AT是定值，
∵AQ≥AT﹣TQ，
∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT＝TQ＝x，
在Rt△ABT中，则有（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
∴BC＝2x＝12，
∴S△ABC＝AB•BC＝×8×12＝48，
故答案为：48．
3．（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，
连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，
∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，
∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，
∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，
∴BD＝，
在Rt△OBD中，OD＝＝，
∴PD的最小值为OD﹣OP＝．
故选：B．
4．（2023•安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O
∵E点在以CD为直径的圆上
∴∠CED＝90°
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°
∴点E也在以AC为直径的圆上，
可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，
∵AC＝8，
∴OC＝4
∵BC＝3，∠ACB＝90°
∴OB＝＝＝5
∵OE＝OC＝4
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1
故选：A．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 ，点F到线段BC的最短距离是 ．
【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G，
∵AE＝EF＝2，
∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2，
∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝4，
∴点F到线段BC的最短距离是2，
故答案为：2﹣2，2．
6．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ ．
【解答】解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，
则AO＝OP′＝OB＝AB＝2，
∵AD＝2，∠BAD＝90°，
∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，
∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，
过P′作P′E⊥CD于点E，则
P′E＝DE＝DP′＝2﹣，
∴CE＝CD﹣DE＝+2，
∴CP′＝．
故答案为：2．