2024年中考数学专题训练 专题07 二次函数与直角三角形有关问题（专项训练）（原卷版+解析）

这是一份2024年中考数学专题训练 专题07 二次函数与直角三角形有关问题（专项训练）（原卷版+解析），共21页。试卷主要包含了，对称轴为直线x＝2等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
2．（2023•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2023•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
4．（2022•南岸区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF∥x轴交BC于点F，求CF+BE的最小值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，x轴上有一点Q（﹣1，0），将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线y1与原抛物线的交点，点E是新抛物线y1上一动点，连接DQ，当△DQE是以DQ为直角边的直角三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．
5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
6．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．
7．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022•滕州市二模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点P为抛物线上的动点，当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标；
9．（2022•市中区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）当以P，A，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PAC的周长；
（3）若点Q是直线BC上方抛物线上一点，当△BCQ为直角三角形时，求出点Q的坐标．
专题07 二次函数与直角三角形有关问题（专项训练）
1．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x＝﹣＝1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，
∴AE＝DH，
∵AE＝2，
∴DH＝4，
∵HE⊥DFEF＝ED，
∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a＝或﹣（不符合题意舍弃），
∴a＝．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，
∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，
∴3a＝1，
∴a＝，
综上所述，满足条件的a的值为或．
2．（2023•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴S△MDB＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．
3．（2023•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+10中，
令x＝0，则y＝10，令y＝0，则x＝5，
∴A（5，0），B（0，10），
∵点C是OB中点，
∴C（0，5），将A和C代入抛物线y＝x2+bx+c中，，解得：，
∴抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5；
（3）抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5，
∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，
设点P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），
∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，
当点A为直角顶点时，
BP2＝AB2+AP2，
解得：n＝或5（舍），
当点B为直角顶点时，
AP2＝AB2+BP2，
解得：n＝或，
而抛物线对称轴为直线x＝3，
则3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，
综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或．
4．（2022•南岸区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF∥x轴交BC于点F，求CF+BE的最小值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，x轴上有一点Q（﹣1，0），将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线y1与原抛物线的交点，点E是新抛物线y1上一动点，连接DQ，当△DQE是以DQ为直角边的直角三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴B（3，0），
设直线BC的的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
设P（m，﹣m2+m+6），则E（m，﹣2m+6），
∴PE＝﹣m2+3m，
∵PE∥y轴，PF∥x轴，
∴∠PFE＝∠CBO，∠PEF＝∠BCO，
∴△PEF∽△OBC，
∴PF：PE：FE＝OB：OC：BC＝1：2：，
∴EF＝PE×＝（﹣m2+3m），
∵BE+CF＝CB﹣EF＝3﹣（﹣m2+3m）＝（m﹣）2+，
∴当m＝时，BE+CF有最小值，
此时P（，）；
（3）∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
设平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣﹣t）2+，
∵平移后抛物线经过Q（﹣1，0），
∴﹣（﹣1﹣﹣t）2+＝0，
解得t＝1或t＝﹣4（舍），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣）2+，
联立方程组，
解得，
∴D（1，6），
设E（n，﹣n2+3n+4），
∴DQ2＝40，DE2＝（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2，QE2＝（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2，
①当EQ2＝DE2+DQ2时，（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2＝（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2+40，
解得n＝1（舍）或n＝，
∴E（，）；
②当ED2＝EQ2+DQ2时，（n﹣1）2+（﹣n2+3n﹣2）2＝40+（n+1）2+（﹣n2+3n+4）2，
解得n＝﹣1（舍）或n＝，
∴E（，﹣）；
综上所述：E点坐标为（，）或（，﹣）．
5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设F（t，t+4），
当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
6．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
（3）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴OC＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝2，
设M（a，a+1），
∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，
DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，
①当∠CMD＝90°时，
∴CD2＝CM2+DM2，
∴22＝a2﹣2a+4+a2，
解得：a1＝，a2＝0（舍去），
当a＝时，a+1＝，
∴M（，）；
②当∠DCM＝90°时，
∴CD2+CM2＝DM2，
∴22+a2﹣2a+4＝a2，
解得：a＝4，
当a＝4时，a+1＝3，
∴M（4，3）；
解法二：∵∠DCM＝90°，
∴CM∥x轴，
∴a+1＝3，解得a＝4，
∴M（4，3）；
综上所述：点M的坐标为（，）或（4，3）．
7．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：
（﹣1﹣2）2+k＝0，
解得：k＝﹣9，
∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，
答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：
设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，
∵A（﹣1，0），
∴AM＝m+1
∵∠PAB＝45°
∴AM＝PM，
∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，
即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），
当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），
∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：
在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，
∴B（5，0），C（0，﹣5），
由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），
∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，
当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，
∴9+t2+4+（t+5）2＝50，
解得t＝﹣6或t＝1，
∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；
当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，
∴50+4+（t+5）2＝9+t2，
解得t＝﹣7，
∴此时Q坐标为（2，﹣7）；
当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，
∴50+9+t2＝4+（t+5）2，
解得t＝3，
∴此时Q坐标为（2，3）；
综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．
8．（2022•滕州市二模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点P为抛物线上的动点，当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）设P（t，﹣t2+2t+3），
如图1，当∠ACP＝90°时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E点，过点P作PF⊥EF交于F点，
∵∠FCP+∠ECA＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠FCP，
∴△CEA∽△PFC，
∴＝，
∵EC＝1，EA＝3，PF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，CF＝t，
∴＝，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴P（，）；
如图2，当∠CAP＝90°时，过点A作GH∥y轴，过点C作CG⊥GH交于G点，过点P作PH⊥GH交于H点，
∵∠GAC+∠HAP＝90°，∠GAC+∠GCA＝90°，
∴∠HAP＝∠GCA，
∴△GAC∽△HPA，
∴＝，
∵GC＝1，GA＝3，AH＝t2﹣2t﹣3，PH＝t+1，
∴＝，
解得t＝﹣1（舍）或t＝，
∴P（，﹣）；
当∠APC＝90°时，在抛物线上不存在点P；
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）；
9．（2022•市中区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）当以P，A，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PAC的周长；
（3）若点Q是直线BC上方抛物线上一点，当△BCQ为直角三角形时，求出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
点A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则点P为所求的点．
∴AP＝BP，
∴△PAC的周长＝PA+PC+AC＝PB+PC+AC≥BC+AC，
当B、P、C三点共线时，△PAC周长的最小值是AC+BC，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，，
∴△PAC周长的最小值是，
∵y＝﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）设Q的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
如图1，当∠BCQ＝90°时，过点Q作QM⊥y轴于点M，
∵∠QCM+∠BCO＝90°，∠QMC＝∠BOC＝90°，
∴∠QCM+∠MQC＝90°，
∴∠MQC＝∠OCB，
∴△MQC∽△OCB，
∵QM＝m，MC＝﹣m2+2m，
∴，即，
解得：m＝0（舍）或m＝1，
∴Q（1，4）；
如图2，当∠CQB＝90°时，过点Q作QM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥QM，交MQ的延长线于点N，
∵∠CQM+∠BQN＝90°，∠QNB＝∠CMQ＝90°，
∴∠BQN+∠QBN＝90°，
∴∠QBN＝∠CQM，
∴△QMC∽△BNQ，
∵QN＝3﹣m，BN＝﹣m2+2m+3，
∴，即，
解得：或（舍），
∴Q；
当∠QBC＝90°时，显然不成立；
综上所述，点Q的坐标为（1，4）或．