70，吉林省松原市第三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份70，吉林省松原市第三中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．
【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．
2. 用配方法解方程，配方后的方程可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把常数项移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可．
【详解】解：，
移项得：，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份3. 如图所示的图片是一个旋转对称图案，电风扇的叶片至少旋转（ ）度能与自身重合．
A. 90B. 120C. 180D. 360
【答案】B
【解析】
【详解】每个扇叶间夹角是120°，所以旋转120°，可以重合，
故选B．
4. 如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键．利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案．
【详解】解：如图，连接，

，
，
，
，
点为上任意一点（点不与点重合），
，
，
，
只有选项D符合要求，
故选：D
5. 二次函数的部分图像如图所示，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点的坐标，然后写出函数图象x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为(-3，0)，
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
∴ax2+bx+c＜0的解集是x>1或x<-3．
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性，数形结合的思想，难点在于求出函数图象与x轴的另一交点坐标．
6. 某果园有棵苹果树，平均每一棵树可以结个苹果．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，现果园增种了x棵苹果树，若苹果总个数为y（个），则下列y与x的关系式中哪一个是正确的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果列式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 方程有实数根，则k的值可以是________（写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：方程有实数根，
，
，
则的值可以是．
故答案为：2（答案不唯一）．
8. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案．
详解】∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键．
9. 一元二次方程的根的判别式的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的求法是解本题的关键．求出根的判别式的值即可．
【详解】解：这里，，，
．
故答案为：
10. 抛物线的顶点坐标是___________．
【答案】（1，﹣4）
【解析】
【详解】解：∵原抛物线可化为：y=（x﹣1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
11. 抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则________（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和抛物线解析式，可以判断和的大小关系．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大．
∵，
，
故答案为：
12. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______．
【答案】##118度
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
13. 如题，过直径AB延长线上的点C作的切线．切点为D若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，圆的直径，可求圆的半径OD的值，由切线性质定理可知为直角三角形，最后根据勾股定理计算CD长度即可．
【详解】∵圆的直径，
∴半径
∵CD为的切线，
∴
∴在中，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理及勾股定理，根据切线性质定理判断为直角三角形是解题关键．
14. 如图，在，，，，将绕点B逆时针旋转90°得到，连接，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】在，中利用勾股定理求得，利用旋转的性质和勾股定理求得即可．
【详解】解：在，
，，
由旋转可知，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质、用勾股定理求边长；解题的关键是掌握旋转图形对应边相等，对应边的夹角等于旋转角．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
合并得：，
开方得：，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
16. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】可先分解因式，然后提取x-3，利用公式法求解．
【详解】解：原方程可化为，
，
，
．
∴x-3=0或x-9=0，
∴ ，．
【点睛】本题主要考查了求解一元二次方程，熟练运用因式分解法是解题的关键．
17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
．
．
18. 如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当时，y的取值范围为________．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式、函数的增减性，解题的关键会用顶点式求得二次函数的解析式．
（1）先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点求得函数的解析式；
（2）先求得、和时的函数值，然后结合函数的增减性得到的取值范围．
【小问1详解】
根据题意，设二次函数的表达式为，
将代入，得，
解得：，
．
【小问2详解】
当时，；当时，；
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故答案为：
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O均在格点上．
（1）在图①中，作出向右平移4个单位长度的三角形；
（2）在图②中，作出绕点O沿顺时针方向旋转得到的三角形；
（3）在图③中，请在线段上找到一点P，连接和，使的值最小（请保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，作出向右平移4个单位长度的三角形；
（2）根据旋转的性质即可在图②中，作出绕点O沿顺时针方向旋转得到的三角形；
（3）作点A关于直线的对称点连接，交线段于点P，最小．
【小问1详解】
如图①，根据平移规律，画图如下：

则即为所求．
【小问2详解】
如图②，
则即为所求．
【小问3详解】
如图③，

则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．
20. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售辆，3月份销售辆．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
（2）假设每月的增长率相同，预计4月份的销量会达到辆吗?
【答案】（1）
（2）预计4月份的销量不会达到辆
【解析】
【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）依据（1）中增长率计算比较即可．
【小问1详解】
解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程：，
解得（不合题意，舍去），
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率．
【小问2详解】
，
∴预计4月份的销量不会达到300辆．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
21. 如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
(1)利用边角边原理证明即可 ．
(2)利用三角形全等的性质计算即可 ．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵线段绕A点旋转到的位置，
∴.
在和中，
,
∴．
∴.
【小问2详解】
∵，，
∴.
∴.
∴
∵，
∴.
∴．
22. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，等腰三角形的性质得到；由圆周角定理得到．
（1）由切线的性质得到，由，得到，由三角形外角的性质得到，因此，得到，求出，得到．
（2）由圆周角定理推出，由直角三角形的性质求出的长，即可得到的长．
【小问1详解】
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
连接，
是直径，
，
点是的中点，
，
，
，，，
，
，，
，
的直径的长为．
五、解答题．（每小题8分，共16分）
23. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系.
某次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
请根据上述数据，解决问题：
（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球_________（填“能”或“不能”）越过球网.
【答案】（1）羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为；
（2）能
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据求出抛物线的对称轴和顶点坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把代入求出，然后进行判断即可．
【小问1详解】
解：根据表格中的数据可知，当时，，当时，，
∴与关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
根据表格中的数据可知，当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为；
抛物线的关系式为，
把时，代入得：，
解得：，
∴抛物线的关系式为．
【小问2详解】
解：把代入得：
，
∵，
∴羽毛球能越过球网．
故答案为：能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出抛物线的顶点坐标．
24. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿以的速度向终点匀速运动，同时点从点出发，沿以的速度向终点匀速运动，当两个点中有一个到达终点后，另一个点也随之停止．连接，设点的运动时间为，．
（1）求y与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）直接写出y随x增大而增大时自变量x取值范围．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合题、勾股定理．二次函数的增减性等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，灵活应用配方法确定对称轴位置，利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
（1）分两种情形①如图②中，当时，②如图③中，当时，过点作于点，分别利用勾股定理即可解决问题．
（3）把（2）中的二次函数，利用配方法，求出对称轴，即可判断．
【小问1详解】
如图②中，
当时，，
在中，，
∴；
如图③中，当时，过点作于点，则，
在中，，
∴．
∴y与x之间的函数关系式为：.
【小问2详解】
当时，．
对称轴为，且开口向上，
当时，随增大而增大，
当时，．
对称轴为，且开口向上，
当时，随增大而增大，
综上所述，当或时，随增大而增大．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 教材中有这样一道题：如图①所示，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：．
小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答．

图① 图② 图③
（1）若图①中的点G为延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中的绕点A逆时针旋转，使得与重合，记此时点F的对应点为点，如图③所示，若正方形的边长为6，求的长度．
【答案】（1），证明见解析；
（2）6．
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
（1）利用证明，推出，即可得到；
（2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：．证明如下：
正方形，
，．
，
．
．
．
又，
．
在和中，
，，．
．
．
，
．
【小问2详解】
如图，
由题设得，
，
由旋转的性质知：，，
，
．
四边形为平行四边形．
又，
四边形是矩形．
．
26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，构造矩形．设点的横坐标为，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在轴上方时，求四边形的周长与的函数关系式；
（3）当该抛物线的顶点和点B到所在直线的距离相等时，求m的值；
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或；
（4）或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先确定的取值范围，再求周长即可；
（3）由题意可知在过点、点于轴平行的直线中间，则点的纵坐标为，由此求即可；
（4）画出图象，分两种情况讨论：当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小；当时，当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小．
【小问1详解】
将，代入，
，
解得，
；
【小问2详解】
点横坐标为，
，
当点在轴上方，
，
或，
当时，
，，
四边形的周长；
当时，
，，
四边形的周长；
故四边形的周长与的函数关系式为：；
【小问3详解】
点横坐标为，
，
，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点和点到所在直线的距离相等，
，
解得或；
【小问4详解】
抛物线的对称轴为直线，
当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小；
当时，令，则，
解得或，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小；
综上所述：或时，抛物线在矩形内部分所对应的函数值随的增大而减小．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键．水平距离
0
2
4
6
8
…
竖直高度
1
1
…