56，安徽省六安市汇文中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份56，安徽省六安市汇文中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
2. 如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，从前面看得到的图形是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的定义是解题关键．从前面看，共有2行，下面一行有4个正方形，上面一行有1个正方形，据此可获得答案．
【详解】解：该立体图形，从前面看，共有2行，下面一行有4个正方形，上面一行有1个正方形，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题题意．
故选：D．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份3. 如图，在中，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理．直接由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
4. 如图，小正方形的辺长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查网格中三角形相似，涉及相似三角形的判定、网格中求角度与线段长等知识，根据题中图形得到，，由三角形相似的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：中，，，
A、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
B、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
C、中的三角形（阴影部分），，则，由两个三角形相似的判定定理可知，，该选项符合题意；
D、中的三角形（阴影部分）三个内角均没有的角，由两个三角形相似的判定定理可知，该选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理．作于B，连结，如图，设的半径为r，先根据切线的性质得，则点A的坐标为，得到B点坐标为，然后在中，根据勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】解：作于B，连结，如图，设的半径为r．
∵与y轴相切于原点O，
∴，
∴点A坐标为．
∵，
∴．
∵轴，，
∴B点坐标为．
在中，．
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴N点坐标为．
故选：D．
6. 已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案．本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一个三角形的内心与外心重合，
∴该三角形是等边三角形，
根据题意，如图，是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作于点D，则，
∵，平分，
∴，
在中，
，
∴的外接圆半径为4，
∴它的外接圆的面积为，
故选：D
7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，分式方程的应用，根据已知的图形通过推出，利用，可得到，设，根据三角形面积关系即可得出结果．
【详解】解：如图进行标注，
，
，
，
，
设，则，
，
，解得：，
经检验是方程的解且符合题意，
，
故选：C．
8. 点，，均在二次函数的图象上，则的大小关系是 )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．求出抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可．
详解】解：∵，，
∴对称轴为，抛物线开口向下，当时，最大，
∴，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
∵，
∴>，
∴，
故选：C．
9. 如图，在中，D是的边上的中点，，的延长线交于点E，则的的值为（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，过点作交于点．得出利用相似三角形性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点．

∵，点是的中点，
∴
则，
∴，
故答案为：C．
10. 如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数的解析式与图像，利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图像即可解答．
【详解】∵边长为2的菱形，，过点A作直线，
当时，如图所示，

则 ，，，，
此时，
此时函数图像为开口向上的一段抛物线；
②∵边长为2的菱形，，过点A作直线，
当时，如图所示，

则 ，，，，
此时，
此时，函数图像是线段的一部分；
③当时，如图， ，

∵边长为2的菱形，，过点A作直线，
则， ，，
则 ，，，，
此时，
此时函数图像为开口向下的一段抛物线；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，含直角三角形的性质，以及勾股定理．连接，根据题意求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得，从而得出光盘的直径．
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∵和与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴光盘的直径是．
故答案为：．
12. 如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，余弦，中位线．熟练掌握等角对等边，余弦，中位线是解题的关键．由三角形内角和得，，则，，由题意得是的中位线，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．先根据平行四边形的性质得，，由得，证明得，进而得到，的面积，即可得的面积，再根据平行四边形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：11．
14. 在正方形中，，E是直线上的动点，连接是上一点，连接，使，则的值为__________，在E运动的过程中的最小值为__________．

【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先根据可得出，进而可得出的值，再判断出点的运动轨迹，可得结论．
【详解】解：连接，取的中点，连接，．

，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：4，．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
16. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 ，，．
（1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
【答案】（1）作图见解析，点的坐标为；
（2）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据关于对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到对称点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，顺次连接点，得到，即为所求；
（）根据位似图形的性质，分别找到点的位置，顺次连接，得到，即为所求，由图可得到点的坐标；
本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为．
【小问2详解】
解：如图，即为所求，由图可得，点的坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数表达式．
（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，以及利用图象求不等式的解集，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数小于反比例函数的值的的取值范围．
【小问1详解】
解：把代入得，
，
把代入得：，
把，代入得：
，
解得，
；
【小问2详解】
解：由图可知：或．
18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角（点，与在一条直线上），求电池板离地面的高度（结果保留整数）．参考数据：．

【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造直角三角形求解是解题的关键．延长交于点F，设米，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义得出，求出x的值，即可解答．
【详解】解：如图，

由题意得米，米，．
设米，
在中，，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴，
解得，
经检验是原方程的根．
∴米，
∴（米），
答：电池板离地面的高度MN约为米．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在中，，点D、E分别在上，且．

（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，据此代值计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
20. 如图，为直径，为上一点，的平分线交于点，过点作的延长线于点，直线与射线交于点．

（1）求证：为切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可．
（2）连接，证明，结合勾股定理，求得，再证明列出比例式计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为切线．
【小问2详解】
解：连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理以及平行线的判定及性质，熟练掌握切线的判定和相似是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为______人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是______；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现需从D类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【答案】（1）40 （2）
（3）补全条形统计图见解析
（4）抽到的2名学生来自不同年级的概率为
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用A类别的人数除以其人数占比即可得到答案；
（2）用360度乘以B类别人数占比即可得到答案；
（3）先求出C类别的人数，再补全统计图即可；
（4）将1名来自七年级的学生记为A，1名来自八年级的学生记为B，2名来自九年级的学生分别记为C，D，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人来自不同年级的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：参加这次调查的学生总人数为人．
故答案为：40．
【小问2详解】
解：扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是．
故答案为：．
【小问3详解】
解：C类别的人数为人．
补全条形统计图如图所示．
【小问4详解】
解：将1名来自七年级的学生记为A，1名来自八年级的学生记为B，2名来自九年级的学生分别记为C，D，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有：，共10种，
∴抽到的2名学生来自不同年级的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养天的总成本为，放养天的总成本为元．设这批小龙虾放养天后的质量为，销售单价为元/，根据往年的行情预测，与的函数关系为，与的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为元，收购成本为元，求与的值；
（2）求与的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养天后一次性出售所得利润为元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本放养总费用收购成本；利润销售总额总成本）
【答案】（1），；
（2）；
（3）将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出解析式即可；
（3）根据，表示出与的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【小问1详解】
解：依题意得
解得：
【小问2详解】
解：当时，设，
由图象得：，
解得：
∴；
当时，设，
由图象得：，
解得：，
∴，
综上，；
【小问3详解】
解：，
当时，，
∵，
∴当时，，
当时，，
∵，抛物线开口向下，
∴当，，
∵，
∴当时，取得最大值，该最大值为元．
∴将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在△ABC中，∠ACB=90° ，以AB为斜边作等腰直角△ABD，点E在 BC上，且BE=AC
（1）求证：△ACD≌△BED
（2）如图2，延长DC、BA交于点G，求证：DB2 =DE∙DG；
（3）过点E作CG的平行线交BG于点H，若BE=1． CG=2，求EH的长
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）的长为
【解析】
【分析】（1）由，作四边形的外接圆，根据图象得出，，进而证明即可；
（2）根据题意可得，，，，证明，有，进而结论得证；
（3）由可知，设，则，，由勾股定理得，，即，求出的值，的值，证明，则，进而可求的值．
【小问1详解】
证明：∵
∴作四边形的外接圆，如图所示，
∴
在和中
∵
∴．
【小问2详解】
证明：如图所示，
由（1）知，
∴，
由题意知，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，
∴，即
解得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
解得，
∴的值为．
【点睛】本题考查了外接圆，同弧所对的圆周角相等，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．