2023-2024学年江苏省镇江中学高一下学期三月检测数学试题

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一、单选题（包括8小题，每小题5分，共40分）
1. 求值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简后再利用特殊角的正切值可得所求结果.
【详解】.
故选：D.
2. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：，
故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
故选：D．
5. 中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，
所以，
且，则，所以.
故选:D
6. 已知，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以；
因为，所以，
又，所以，
所以，
又
所以
.
故选：B.
7. 在中，,BC=1,AC=5，则AB=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求csC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
8. 如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
二、多选题（包括4小题，每小题5分，共20分）
9. 根据下列条件，能确定向量是单位向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据单位向量的定义判断即可；
【详解】解：模为的向量为单位向量，对于A：，所以，故A错误；
对于B：，则，故单位向量，故B正确；
对于C：，则，故为单位向量，故C正确；
对于D：，则，故为单位向量，故D正确；
故选：BCD
10. 在△ABC中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理直接求解即可.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得：，
故选：A
11. 在直角梯形中，，，，，E为线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量的线性运算证明选项A，B正确；利用向量的线性运算和数量积计算选项C，D，即得解.
【详解】
A项，，故A正确；
B项，，，故B正确；
C项，因为与反向共线，，所以，故C不正确；
D项，
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：平面向量的数量积的计算，常用的方法有：（1）定义法；（2）坐标法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
12. 在中，角、、所对的边的长分别为、、．下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是直角三角形
C. 若，则一定是钝角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知结合两角和的正切公式检验，由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可判断，由和差角公式进行化简可求，进而可判断选项，由二倍角公式及正弦定理，和差角公式进行化简可判断．
【详解】因为，
又中不可 能有两个钝角，
故，，，
所以，，都为锐角，正确；
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，即，
因为，
所以，
所以一定是直角三角形，正确；
因为，
所以，
整理得，
因为，
所以，即，一定是直角三角形，错误；
因为，
所以
即，
所以，
所以，
因为，
故，即为直角，则一定是直角三角形，错误．
故选：
三、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量、满足，则___________
【答案】
【解析】
【分析】将，两边同时平方，即可求得两向量乘积，再将要求的关系式平方代入即可.
【详解】，，解得，所以，则.
故答案为：
14. 的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
15. 已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得和列出方程组求解即可.
【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．
由数量积的几何意义，可得，．
依题意有，即．
同理，即．
将两式相加得，所以．
故答案为: .
16. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题（共70分）
17. 计算
（1）已知，求的值；
（2）已知向量. 若，求λ
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由同角三角函数的平方关系即可得，再由，可得的正负，从而得到结果；
（2）根据题意，由向量共线的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由可得，，所，
因为，所以，
则.
【小问2详解】
因为，则，
且，则，可得.
18. 已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得．
（1）试确定点E的位置，并说明理由；
（2）求的值．
【答案】（1）E为靠近点B的一个三等分点，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用平面向量的线性关系找出点所在的位置；（2）用向量分别表示出向量利用向量数量积公式计算.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
从而，
故点E为靠近点B的一个三等分点．
【小问2详解】
因为，
所以，
，
．
19. 在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
20. 设.
（1）求f（x）的单调增区间及对称中心；
（2）当时，，求cs2x的值.
【答案】（1）单调递增区间是；对称中心
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式及诱导公式化简得到，整体法求解函数的单调递增区间及对称中心；
（2）先求出，结合得到，
从而求出，利用余弦差角公式进行求解.
【小问1详解】
由题意得：，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为-1，
所以对称中心为．
【小问2详解】
∵
∴，
∵，∴，
∵当时，，
∴
∴，
．
21. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E.且交AC于点F，
（1）求的值
（2）求的最小值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将化为关于的关系式即可求出最值.
【小问1详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，
，
.
【小问2详解】
，，
，
所以当时，的最小值为.
22. 某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志，整体为半圆形，其直径长为4米（如图），徽标的核心部分为梯形，它由三个区域构成：区域Ⅰ为等边三角形，区域Ⅱ为，区域Ⅲ为等腰三角形，其中，点、都在半圆弧上，点在半径上，记．
（1）试用表示区域Ⅱ面积，并写出的取值范围；
（2）若区域Ⅲ面积为平方米，求区域Ⅱ的面积（用表示），并求徽标核心部分面积的最大值．
【答案】（1）；（2），；．
【解析】
【分析】（1）首先利用正弦定理表示出，再根据面积公式计算可得；
（2）依题意可得，根据三角恒等变换将化简，设，则，则，从而得到，，再根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解:（1）题意得，在中由正弦定理得
所以
所以
因为，解得
所以
（2）由题意得，即
，，则
又
设，则，
所以，，显然
，
当时，即时最大值为