2023-2024学年上海市黄浦区重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若α：M={2,4}，β：{2}⊂M⊆{2,4,5}，则α是β的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
3.若an=−n2+2λn(n为正整数)是严格减数列，则λ的取值范围为( )
A. λ≤1B. λ<1C. λ<32D. λ≤32
4.以下四个命题：
①函数y=(x2+1)2+3最小值为3；
②方程x3+2x+1=100没有整数解；
③若2a+lg2a=4b+2lg4b，则a<2b；
④不等式2x−x−1>0的解集为(1,+∞)．
其中真命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.e ______R.(用符号“∈”或“∉”或“⊆”或“⊇”填空)
6.已知等差数列−5，−9，−13，…，则该数列第5项的值为______．
7. 2+1与 2−1的等比中项是______．
8.若幂函数f(x)=xk2−4在(0,+∞)上是严格减函数，则实数k的取值范围为______．
9.若函数f(x)=|2x−3|+|2x+a|，x∈[b,2]为偶函数，则a+b= ______．
10.函数f(x)=2x2−4x+7，x∈[−1,8]的最小值是______．
11.数列{an}满足前n项和Sn=n2−3n，则数列an的通项公式为______．
12.已知f(x)=alg2x−blg3x+8，若f(2023−1)=26，则f(2023)= ______．
13.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n+a，若{an}为等比数列，则实数a的值为______．
14.已知函数f(x)=3x,x≥t−x,x15.已知点A(3,1),B(53,2)，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f(x)=lg2x+1x−1的图象上，则四边形ABCD的面积为______．
16.已知定义在[0,4]的严格增函数f(x)=|3x+2−m|与g(x)= x.若对任意实数x∈[0,4]，存在实数a和b，不等式g(x)−m≤ax+b≤g(x)+m恒成立，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知全集为R，集合A={x||x−2|<1}，函数y= 4−xx+1的定义域为集合B，求A−∩B．
18.(本小题7分)
已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足bn=(12)an(n为正整数)．
(1)求证：数列{bn}为等比数列；
(2)若b1+b2+b3=218，b1b2b3=18.求数列{an}的通项公式．
19.(本小题10分)
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=2x(0≤x<12)lg12x(x≥12)图象如图所示.(1)根据奇函数的对称性，在如图的坐标系中画出x<0时图象；
(2)①求当x<0时，y=f(x)的解析式；
②说明当x≤−12时，y=f(x)的单调性并用单调性定义证明．
20.(本小题10分)
某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=0.2x2−50x+8000，已知此生产线的年产量最大为300吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本s最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x，记g(x)=f(x)+t⋅f(−x)(x∈R)．
(1)若t=−3，解不等式：g(x)≥2；
(2)设k为实数，当t=1时，若存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−3成立，求k的取值范围；
(3)记h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b(其中a、b均为实数)，若对于任意的x∈[0,1]，均有|h(x)|≤M，求正数M的最小值及此时a、b的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：对于β：因为{2}⊂M⊆{2,4,5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4、5至少有一个，
因此，集合M可能为{2,4}，{2,5}，{2,4,5}三种情况．
若α成立，则β必然成立，反之，若β成立，α不一定成立，
因此，条件α是条件β的充分不必要条件．
故选：A．
根据子集与真子集的定义，结合充分必要条件的定义算出答案．
本题主要考查集合的包含关系、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=2x+3x是增函数，
f(−1)=12−3<0，f(0)=1+0=1>0，
可得f(−1)f(0)<0．
由零点判定定理可知：函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间(−1,0)．
故选：B．
判断函数的单调性，利用f(−1)与f(0)函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，数列an=−n2+2λn,n∈N*是严格减数列，所以an>an+1对于n∈N*恒成立，
又由an+1−an=−(n+1)2+2λ(n+1)−(−n2+2λn)=2λ−(2n+1)<0，
可得2λ−(2n+1)<0，即λ<2n+12对于n∈N*恒成立，
又由(2n+12)min≥2×1+12=32，所以λ<32．
故选：C．
根据题意，转化为an>an+1对于n∈N*恒成立，进而得到λ<2n+12对于n∈N*恒成立，即可求解．
本题数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由于x2+1≥1，则y=(x2+1)2+3≥4，即函数y=(x2+1)2+3最小值为4，①错误；
对于②，设f(x)=x3+2x−99，易得f(x)在R上为增函数，
而f(4)=−27<0，f(5)=36>0，
则f(x)在R上有且仅有一个零点，且零点在区间(4,5)上，
故方程x3+2x−99=0，即程x3+2x+1=100没有整数解，②正确；
对于③，由于b>0，则有2a+lg2a=4b+2lg4b=22b+lg2b<22b+lg22b，
设f(x)=2x+lg2x，易得f(x)在(0,+∞)上为增函数，
必有a<2b，③正确；
对于④，当x=−1时，2x−x−1=2x(x+1)>0，即−1在不等式的解集内，④错误；
4个命题中正确的有2个．
故选：B．
根据题意，结合二次函数的性质分析y=(x2+1)2+3的最小值，可得①错误，分析函数f(x)=x3+2x−99的零点情况，可得②正确，由对数的运算性质可得2a+lg2a=4b+2lg4b=22b+lg2b<22b+lg22b，设f(x)=2x+lg2x，结合f(x)的单调性分析可得③正确，举出反例可得④错误，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及指数、对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】∈
【解析】解：因为e是自然常数，R是实数集，所以e∈R．
故答案为：∈．
利用自然常数与实数集的定义即可得解．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
6.【答案】−21
【解析】解：由等差数列−5，−9，−13，⋯，可得首项为−5，公差为d=−4，
所以该数列的第5项为a5=−5+(5−1)×(−4)=−21．
故答案为：−21．
根据题意，结合等差数列的通项公式的基本量的运算，即可求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】±1
【解析】解：设 2+1与 2−1的等比中项是X，
则X2=( 2+1)( 2−1)，
即X2=1，
解得：X=±1，
故答案为：±1．
利用等比数列的定义即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
8.【答案】(−2,2)
【解析】解：因为幂函数f(x)=xk2−4在(0,+∞)上是严格减函数，
所以k2−4<0，解得−2故答案为：(−2,2)．
由题意，利用幂函数的单调性即可得解．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
9.【答案】1
【解析】解：因为f(x)=|2x−3|+|2x+a|，x∈[b,2]是偶函数，
所以b=−2，且f(−x)=f(x)，
即|−2x−3|+|−2x+a|=|2x−3|+|2x+a|，即|2x+3|+|2x−a|=|2x−3|+|2x+a|，
由于x不恒为常数，所以观察可知a=3，
则a+b=3−2=1．
故答案为：1．
利用函数奇偶性的定义与性质即可得解．
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
10.【答案】5
【解析】解：因为f(x)=2x2−4x+7的图象开口向上，对称轴为x=1，
又x∈[−1,8]，所以f(x)的最小值是f(1)=2−4+7=5．
故答案为：5．
根据二次函数的单调性进行求解即可．
本题考查了二次函数的最值的求解，属于基础题．
11.【答案】an=2n−4
【解析】解：由Sn=n2−3n，得a1=S1=−2；
当n≥2时，可得an=Sn−Sn−1=(n2−3n)−[(n−1)2−3(n−1)]=2n−4．
a1=−2适合上式，
∴an=2n−4．
故答案为：an=2n−4．
由已知求得首项，再由an=Sn−Sn−1求得n≥2时的通项，则答案可求．
本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．
12.【答案】−10
【解析】解：因为f(x)=alg2x−blg3x+8，
所以f(x−1)=alg2x−1−blg3x−1+8=−alg2x+blg3x+8，
则f(x)+f(x−1)=16，则f(2023)+f(2023−1)=16，
又f(2023−1)=26，所以f(2023)=16−26=−10．
故答案为：−10．
利用对数的运算性质推得f(x)+f(x−1)=16，从而得解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：由题意可得a1=3+a，a2=s2−s1=6，a3=s3−s2=18，∴36=(3+a)⋅18，
∴a=−1，
故答案为：−1．
由题意可得a1=3+a，a2=s2−s1=6，a3=s3−s2=18，根据等比数列的定义可得
36=(3+a)⋅18，解方程求出实数a的值．
本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，第n项与前n项和的关系，求出等比数列的前三项，是解题的关键．
14.【答案】(0,+∞)
【解析】解：由题意，当x≥t时，f(x)=3x，根据指数函数的性质，可得f(x)>0，
所以函数y=f(x)在x∈[t,+∞)上没有零点；
要使得函数y=f(x)存在零点，即x∈(−∞,t)上函数存在零点，
当x要使得函数y=f(x)存在零点，则满足t>0，
即实数t的取值范围为(0,+∞)．
故答案为：(0,+∞)．
根据题意，利用指数函数和一次函数的图象与性质，结合函数零点的概念，列出关系式，即可求解．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
15.【答案】263
【解析】解：根据题意设C(x1,lg2x1+1x1−1),D(x2,lg2x2+1x2−1)，则：
AB=(−43,1),DC=(x1−x2,lg2(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1))；
∵AB=DC；
∴x1−x2=−43①lg2(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1)=1②；
由②得，x1x2−(x1−x2)−1x1x2+(x1−x2)−1=x1x2+43−1x1x2−43−1=x1x2+13x1x2−73=2；
整理得，x1x2=5，∴x1=5x2带入①式解得x2=−53，或3(舍去)；
∴x1=−3；
∴C(−3,−1),D(−53,−2)；
∴AD=(−143,−3)；
∴|AB|=53,|AD|= 2773，AB⋅AD=299；
∴cs∠BAD=AB⋅AD|AB||AD|=29953× 2773=295 277；
∴sin∠BAD= 1−84125×277；
∴四边形ABCD的面积为：S=|AB||AD|sin∠BAD=53× 2773× 1−84125×277=263．
故答案为：263．
由条件可设C(x1,lg2x1+1x1−1),D(x2,lg2x2+1x2−1)，从而可以得出向量AB,DC的坐标，根据题意有AB=DC，从而便得到x1−x2=−43lg2(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1)=1，这两式联立即可求出x1，x2，从而得出D点的坐标，进一步求出AD的坐标，从而可以由cs∠BAD=AB⋅AD|AB||AD|求出cs∠BAD，从而可得出sin∠BAD，根据|AB||AD|sin∠BAD即可得出平行四边形ABCD的面积．
考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，平行四边形的定义，向量相等的概念，根据点的坐标求向量的坐标，消元法解二元二次方程组，根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式，平行四边形的面积公式．
16.【答案】[ 2−12,9]
【解析】解：因为f(x)=|3x+2−m|在[0,4]上是严格增函数，
所以3x+2−m≥0在[0,4]上恒成立，即m≤3x+2在[0,4]上恒成立，
而(3x+2)min=32=9，故m≤9；
因为对任意实数x∈[0,4]，存在实数a和b，不等式g(x)−m≤ax+b≤g(x)+m恒成立，
又g(x)= x，所以−m≤ax+b−g(x)≤m，即|ax+b−g(x)|≤m，
则m≥0，且|ax+b− x|≤m在[0,4]上恒成立，
令t= x，则t∈[0,2]，|ax+b− x|=|at2−t+b|≤m恒成立，
分别取t=0, 2,2，得|b|≤m|2a− 2+b|≤m|4a−2+b|≤m，
故4m≥2|2a− 2+b|+|b|+|4a−2+b|≥|4a−2 2+2b|+|4a−2+2b|
≥|4a−2 2+2b−(4a−2+2b)|=2 2−2，
当且仅当(4a−2+b)b≥0(4a−2 2+2b)(4a−2+2b)≤0时，等号成立，
所以4m≥2 2−2，即m≥ 2−12，
综上， 2−12≤m≤9．
故答案为：[ 2−12,9]．
先由f(x)的单调性转化得m≤3x+2恒成立，从而求得m≤9；再由g(x)与m的相关恒成立条件转化得|at2−t+b|≤m恒成立，从而利用绝对值不等式求得m≥ 2−12；由此得解．
本题考查函数的单调性和不等式的恒成立问题，解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得m的最小值，从而得解，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由|x−2|<1，得−1所以A={x|1对于y= 4−xx+1，有4−xx+1≥0，解得−1所以A−∩B={x|−1【解析】解绝对值不等式与求具体函数定义域化简集合A，B，再利用集合的交并补运算即可得解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则bn+1bn=(12)an+1(12)an=(12)an+1−an=(12)d>0，
∴数列{bn}成以(12)d为公比的等比数列，
故数列{bn}为等比数列．
(2)解：由题意及(1)，可知数列{bn}为等比数列，
设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，
则b1b2b3=b23=18，解得b2=12，
b1+b2+b3=b1+12+b3=218，可得b1+b3=178，
∵b2=b1q=12，∴b1=12q，
∴b1+b3=b1+b1q2=12q+12q⋅q2=178，
化简整理，得4q2−17q+4=0，
解得q=14，或q=4，
①当q=14时，b1=b2q=1214=2，
此时bn=2⋅(14)n−1=23−2n，n∈N*，
②当q=4时，b1=b2q=124=18，
此时bn=18⋅4n−1=22n−5，n∈N*，
∴bn=23−2n，n∈N*或bn=22n−5，n∈N*，
∵bn=(12)an=2−an，
∴−an=23−2n，n∈N*或−an=22n−5，n∈N*，
∴an=2n−3，n∈N*或an=−2n+5，n∈N*．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据等比数列的定义法及指数的运算即可推导出数列{bn}成以(12)d为公比的等比数列，从而证得结论成立；
(2)先设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，再根据题干已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步计算出首项b1的值，即可计算出数列{bn}的通项公式，再结合bn=(12)an即可推导出数列{an}的通项公式．
本题主要考查等比数列的基本运算．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，等比中项的性质运用，等比数列的通项公式的运用，指数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)由于奇函数图象关于原点对称，因此作出函数f(x)在x≥0时的图象关于原点的对称图形，
即得函数f(x)在x<0时的图象，如图：

(2)①当−12当x≤−12时，−x≥12，则f(x)=−f(−x)=−lg12(−x)，
所以当x<0时，y=f(x)的解析式为：f(x)=2x,−12②当x≤−12时，y=f(x)是单调递减函数．
证明如下：∀x1,x2∈(−∞,−12]，且x1f(x1)−f(x2)=−lg12(−x1)−[−lg12(−x2)]=lg12(−x2)−lg12(−x1)，
由x1则lg12(−x2)>lg12(−x1)，于是f(x1)−f(x2)>0即f(x1)>f(x2)，
所以当x≤−12时，y=f(x)是单调递减函数．
【解析】(1)利用奇函数图象关于原点对称作出当x<0时，f(x)的图象；
(2)①利用奇函数的定义求出当x<0时，f(x)的解析式；
②单调递减，利用单调性定义结合对数函数单调性推理即得．
本题考查了分段函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)每吨平均成本为yx(万元)，
则yx=x5+8000x−50≥2 x5⋅8000x−50=30，
当且仅当x5=8000x，即x=200时取等号，
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为30万元；
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)=40x−y=40x−x25+50x−8000=−x25+90x−8000=−15(x−225)2+2125(0≤x≤300)，
∴x=225时，R(x)有最大值为R(225)=2125(万元)，
∴年产量为225吨时，可获得最大利润2125万元．
【解析】(1)依题意可得每吨平均成本为yx，再利用基本不等式计算可得；
(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)=40x−y，即可得到函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得．
本题考查了函数与不等式的综合运用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=2x，g(x)=f(x)+t⋅f(−x)，
当t=−3时，g(x)=f(x)−3f(−x)=2x−3×2−x，
由g(x)≥2，得2x−3×2−x≥2，整理得22x−2×2x−3≥0，
即(2x+1)(2x−3)≥0，
所以2x≥3，即x≥lg23，
故不等式g(x)≥2的解集为(lg23,+∞)．
(2)当t=1时，g(x)=f(x)+f(−x)=2x+2−x，
则g(2x)=22x+2−2x=(2x+2−x)2−2，
因为存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−3成立，
所以(2x+2−x)2−2=k(2x+2−x)2−3在(1,2]上有解，
整理得到1+1(2x+2−x)2=k在(1,2]上有解，
因为t=2x在(1,2]上为增函数，则t∈(2,4]，
而m=t+1t,t∈(2,4]为增函数，则m∈(52,174],
而n=1+1m2,m∈(52,174]为减函数，则n∈[305289,2925),
所以y=1+1(2x+2−x)2,x∈(1,2]的值域为[305289,2925),
故k∈[305289,2925)．
(3)因为f(x)=2x，
所以h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+b=4⋅(2x)2+a⋅2x+b，
令t=2x，x∈[0,1]，则t∈[1,2]，
因为对于任意的x∈[0,1]，均有|h(x)|≤M，
所以|4⋅t2+a⋅t+b|≤M对任意的t∈[1,2]恒成立，
分别取t=1,32,2，得|4+a+b|≤M|16+2a+b|≤M|9+32a+b|≤M，
故4M≥2|9+32a+b|+|16+2a+b|+|4+a+b|≥|18+3a+2b|+|16+2a+b+4+a+b|
=|18+3a+2b|+|20+3a+2b|≥|20+3a+2b−(18+3a+2b)|=2，
当且仅当(16+2a+b)(4+a+b)≥0(20+3a+2b)(18+3a+2b)≤0时，等号成立，
所以M≥12，即M的最小值为12，
此时|4+a+b|≤12|16+2a+b|≤12|9+32a+b|≤12，整理得−92≤a+b≤−72−332≤2a+b≤−312−192≤32a+b≤−172，
故−13≤a≤−11−16≤a≤−12−12≤a≤−8，故a=−12，从而152≤b≤172152≤b≤172172≤b≤192，
所以b=172．
下证：|4⋅t2−12t+172|≤12在[1,2]上恒成立．
设s(t)=4⋅t2−12t+172=4(t−32)2−12，
故s(t)在[1,32]上为减函数，在[32,2]上为增函数，
故−12≤s(t)≤s(1)=s(2)=12，故|4⋅t2−12t+172|≤12在[1,2]上恒成立．
综上，a=−12，b=172．
【解析】(1)由题意将不等式转化为22x−2×2x−3≥0，因式分解后即可得解；
(2)将原方程有解转化1−1(2x+2−x)2=k在(1,2]上有解，利用层层函数的单调性求得y=1−1(2x+2−x)2在(1,2]上的值域，从而得解；
(3)原不等式恒成立等价于|4⋅t2+a⋅t+b|≤12在[1,2]上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得M的最小值为12，从而关于a，b的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解．
本题考查了指数函数、对勾函数及二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．