2023-2024学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视机，正播放新闻B. 抛一枚硬币正面朝上
C. 射击运动员射击一次，命中10环D. 我们看到的太阳从东边升起
2.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是( )
A. m4=n5B. mn=54C. mn=45D. m4=5n
3.点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足( )
A. 05．
故选：C．
设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入二次函数，根据题意联立关于a的二次方程，再求值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“k优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
11.【答案】540
【解析】解：五边形的内角和=(5−2)⋅180°=540°．
故答案为：540．
直接根据n边形的内角和=(n−2)⋅180°进行计算即可．
本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n−2)⋅180°．
12.【答案】13
【解析】解：∵单词“shuxue”，共6个字母，字母u有2个，
∴抽中u的概率为26=13，
故答案为：13．
“shuxue”中共有6个字母，字母u有2个，根据概率公式可得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】23π
【解析】解：连接OE，
∵∠A=30°，∖ ∴∠DOE=60°，
∵OA=2，
∴DE=50×π×218060π×2180=23π，
故答案为：23π.
连接OE，根据圆周角定理可得出∠DOE的度数，再根据弧长公式可得出答案．
本题考查了圆周角定理、弧长公式的计算，熟记：l=nπr180．
14.【答案】4
【解析】解：∵DF/​/CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴DFCE=BDBC，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD，
∴DFCE=12，
∵BE为△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴DFAE=12，
∵DF//AE，
∴△DFG∽△AEG，
∴S△DFGS△AEG=(DFAE)2=14，
∴S△AEG=4S△DFG=4×1=4．
故答案为：4．
先证明△BDF∽△BCE得到DFCE=BDBC，则利用AD为△ABC的中线得到DFCE=12，再利用BE为△ABC的中线得到AE=CE，所以DFAE=12，接着证明△DFG∽△AEG，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可计算出S△AEG．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
15.【答案】116
【解析】解：∵二次函数y=−(x−2m)2+m，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=2m，函数有最小值m，
∵0≤x≤3m，
∴当x=0时，y取最小值，则：n=−4m2+m=−4(m−18)2+116；
∴当m=18时，n的最大值为：116．
故答案为：116．
根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，x=2m，结合条件可知当x=0时，y有最小值，从而可得n=−4m2+m=−4(m−18)2+116，即可求解．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答的关键是分析清楚对称轴的情况．
16.【答案】12 154
【解析】解：∵△ADE与△FDE关于直线DE对称，
∴AD=DF，同时∠DAF=∠DFA=α，
∵FD平分∠AFG，
∴∠DFG=∠DFA=α，
∴∠BFC=∠AFG=2∠DFG=2α，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD//BC，OA=OD，
∴∠ACB=∠DAO=α，∠ODA=∠OAD=α，BC=DF，
∴∠DOF=∠OAD+∠ODA=2α=∠BFC，
在△DOF和△BFC中，
∠DOF=∠BFC∠OFD=∠BCFDF=BC，
∴△DOF≌△BFC(AAS)，
∴BF=DO，
∴BFAC=DOAC=12；
连BD，过B作BN⊥AC，
由△DOF≌△BFC得CF=OF，
设CF=OF=2m，
∴BF=DO=OB=4m，
∵BN⊥ON，
∴ON=NF=12OF=m，
∴BN= OB2−ON2= 15m，
∵△ADE与△FDE关于直线DE对称，
∴DE⊥AC，
在△DMO和Δ BNO中，
∠DMO=∠BNO∠MOD=∠BONOD=OB，
∴△DMO≌Δ BNO(AAS)，
∴OM=ON=m，DM=BN= 15m，
∴AM=OA−OM=3m，
∵∠ACD+∠DAM=90°，
∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠ACD=∠ADM，
∴tan∠ACD=tan∠ADM=AMDM=3m 15m= 155．
先利用条件证明△DOF≌△BFC，得到BFAC=12；连BD，过B作BN⊥AC，先证明△DMO≌ΔBNO，得到OM=ON=m，DM=BN= 15m，再∠ACD=∠ADM，∴tan∠ACD=tan∠ADM=AMDM=3m 15m= 155．
本题考查了矩形的性质，相似的运用，其中角平分线证明相似是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
(2)设两个球号码之和为偶数5事件 A，摸出的两个球号码之和为偶数的结果有2种，
∴P(A)=26=13．
【解析】(1)画树状图列举出所有情况即可；
(2)让摸出的两个球号码之和是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
18.【答案】解：∵sin60°= 32，cs30°= 32，tan45°=1，
∴原式= 32+ 32+1=1+ 3．
【解析】根据题意，将特殊角的三角函数值代入即得答案．
解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
19.【答案】解：依题意，c2=ab，
∵a= 3，b=12 3，
∴c2= 3×12 3=36，
∴c=6(负值舍去)，
∴线段c的长为6．
【解析】根据成比例线段的定义得出c2=ab，代入数据进行计算即可求解．
本题考查了比例线段，掌握根据成比例线段的定义得出c2=ab是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设BC交格线于D，连接AD，如图：

线段AD即为所求；
(2)取格点K，过B，K作直线交AC于E，如图：

直线BE即为所求．
理由：由图可得△BHK≌△ATC(SAS)，
∴∠BKH=∠ACT，
∵∠ACT+∠CAT=90°，
∴∠BKH+∠CAT=90°，
∴∠AEK=90°，
∴BE⊥AC．
【解析】(1)设BC交格线于D，连接AD，线段AD即为所求；
(2)取格点K，过B，K作直线交AC于E，直线BE即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，按要求作出图形．
21.【答案】解：(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，
∴a=2，
∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，
∴顶点坐标为(−1,1)；
(2)①把m=−2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，
②∵n≤2，对称轴为x=−1，
∴−2≤m≤0．
【解析】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；
(2)①把m=−2代入解析式即可求n的值；
②由n≤2，在此范围内求m即可．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠A=30°，DE=30m，
∴AE= 3DE=30 3(m)，
∵AB=60m，
∴BE=AB−AE=(60−30 3)m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为(60−30 3)m；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，

由题意得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF/​/DG，
∴∠DCF=∠CDG=37°，
在Rt△DCF中，DF=CF⋅tan37°≈(60−30 3)×0.75=(45−22.5 3)m，
∴EF=DE−DF=30−(45−22.5 3)=22.5 3−15≈24(m)，
∴BC=EF=24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【解析】(1)在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF=BE=(60−30 3)m，BC=EF，CF/​/DG，从而可得∠DCF=∠CDG=37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，OB=OC，
∴∠DBC=∠ADB，∠DBC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB，
又∠DBE=∠DBC．
∴△BED∽△BOC；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=12BD=1，
∵∠DBE=∠DBC，∠BFE=∠BCF，
∴△BEF∽△BFC，
∴BEBF=BFBC，
即BF2=BE×BC．
∵△BED∽△BOC，
∴BEBO=BDBC，
即BE×BC=BO×BD，
∴BF2=BO×BD=1×2=2，
∴BF= 2．
【解析】(1)根据矩形的性质得出OB=OC，进而利用相似三角形的判定解答即可；
(2)先证明△BEF∽△BFC，得到BF2=BE×BC.再利用(1)中结论△BED∽△BOC，得到BE×BC=BO×BD，从而求出BF的值．
本题考查了矩形的性质，以及相似三角形的应用，两次相似是解答的关键．
24.【答案】解：任务1：
设抛物线解析式为：y=ax2+bx，

抛物线过顶点(2,3)，M(4,0)，
∴3=4a+2b0=16a+4b，
∴a=−34b=3，
∴抛物线解析式为：y=−34x2+3x．
任务2：
∵形状相同，最高高度也相同，
∴设顶点坐标为(m,3)，其中m>0，
∴设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，
∵抛物线过A(0,94)，
∴94=−34(−m)2+3，
∴m2=1，
∴m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
∴抛物线解析式为：y=−34(x−1)2+3，
当y=0时，
−34(x−1)2+3=0，
∴x1=3，x2=−1，
∴OB=3，
即喷泉跨度OB的最小值为3．
任务3：
设F(n,h)，则E(n+2,h)，
∴h=−34n2+3nh=−34(n+2−1)2+3，
∴n=12h=2116，
∴能够进入该安全通道的人的最大身高为2116≈1.3(m)．
【解析】由任务1设抛物线解析式为：y=ax2+bx，代入(2,3)，M(4,0)即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：y=−34(x−m)2+3，代入(0,94)即可求抛物线解析式，从而求OB的值；在任务3中，设F(n,h)，则E(n+2,h)，代入对应的抛物线解析式即可．
本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵CD⊥AB，
∴AC=AD，
∴∠AGD=∠ADC，
∵∠BAD=α，
∴∠AGD=∠ADC=90°−α；
(2)证明：∵AC⊥GD，∠AGD=90°−α，
∵∠GAC=α，
∵AC=AD，
∴AC=AD，
∵∠ACG=∠ADH，
∴△AGC≌△AHD(ASA)，
∴DH=CG；
(3)解：连接BD，
∵∠GAC=∠BAD=α，
∴CG=BD，
∴CG=BD=DH，
∵CD⊥AB，
∴EH=EB，
∵AB=2BO=2EN=2(NH+EH)，
∴AH+BH=2NH+2EH，
∴AH=2NH，
∵DM⊥AF，
∴∠HDN=90°−∠AGD=α，
∴∠HDN=∠HAD，∠DHN=∠AHD，
∴△HDN∽△HAD，
∴HNHD=HDHA，
设HN=x，则HA=2x，
∵DH=CG= 2，
∴xHD=HD2x，解得x=1，
∵△AGC≌△AHD，
∴AG=AH=2，
∵∠GAC=∠GDC=α，
∴△EDH∽△EAD，
∴EHED=EDEA，
∴ED2=EH⋅EA=DH2−EH2，
设EH=y，
∴y(2+y)=2−y2，
解得y=−1+ 52，
∵∠AGD=∠ADF，∠GAD=∠DAF，
∴△GAD∽△DAF，
∴AF=AD2AG=2y+3= 5+2．
【解析】(1)利用垂径定理证明即可；
(2)通过证明△AGC≌△AHD(ASA)，即可证明所求；
(3)连接BD，先推导出AH=2NH，再证明△HDN∽△HAD，设HN=x，则HA=2x，利用相似的边成比例求出x=1，再证明△EDH∽△EAD，得到ED2=EH⋅EA=DH2−EH2，设EH=y，列出方程求出y=−1+ 52，通过证明△GAD∽△DAF，即可求AF=AD2AG=2y+3= 5+2．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．如何设计喷泉安全通道？
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到(穿梭过程中人的高度变化忽略不计)．
素材1
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2
图2是当喷水头在地面上时(喷水头最低)，其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM=4m，水柱最高点离地面3m.图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
素材3
安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
问题解决
任务1
确定喷泉形状
在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2
确定喷泉跨度的最小值
若喷水管OA最高可伸长到2.25m，求出喷泉跨度OB的最小值．
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限
现在需要一条宽为2m的安全通道CD，为了确保进入安全通道CD上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？(精确到0.1m)