2022-2023学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一个质点运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系可用s(t)=3−2t+t2表示，那么质点在t=2秒时的瞬时速度是( )
A. 2米/秒B. 3米/秒C. 4米/秒D. 5米/秒
2.下列求导运算正确的是( )
A. (1x)′=1x2B. ( x)′=12 xC. (xex)′=x−1exD. (csx)′=sinx
3.在对一组成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)进行分析时，从已知数据了解到预报变量y随着解释变量x的增大而减小，且大致趋于一个确定的值.则下列拟合函数中符合条件的是( )
A. y=kx+b(k>0)B. y=−klnx+b(k>0)
C. y=−k x+b(k>0)D. y=ke−x+b(k>0)
4.某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E(5X+1)为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.在(1−x)5+(1−x)6+⋯+(1−x)10的展开式中，含x2的项的系数为( )
A. 165B. −165C. 155D. −155
6.现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A，B，C三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲、乙两人至少有1人到A学校工作的分配方案数为( )
A. 12B. 22C. 24D. 26
7.已知事件A，B满足P(A)=35,P(B|A)=23,P(B−|A−)=14，则P(B)=( )
A. 12B. 35C. 710D. 45
8.已知a=79，b=0.7e0.1，c=cs23，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列等式成立的是( )
A. Anm=n!m!B. Cnm=m+1n+1Cn+1m+1
C. An+1n+1−Ann=n2An−1n−1D. Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
10.下列结论正确的是( )
A. 经验回归直线y =b x+a 恒过样本点的中心(x−,y−)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
B. 在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大
C. 若散点图中所有点都在直线y=−x+1上，则相关系数r=1
D. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2=2.974.依据α=0.05的独立性检验P(χ2≥3.841=0.05)，则变量x与y独立
11.随机变量X∼N(30,62)，Y∼N(34,22)，则下列命题中正确的是( )
A. 若P(X≤27)=a，则P(30≤X<33)=0.5−a
B. 随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“瘦高”
C. P(X≤34)>P(Y≤34)
D. P(X≤24)12.已知函数f(x)=x2ex+ex−4−ax有四个零点x1，x2，x3，x4(x1A. x1+x2>2
B. 2e2C. ln(x1x2x3x4)−(x1+x2+x3+x4)=−8
D. 若x2=2− 3，则x4=2+ 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班(每天只需1人值班)，要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有______种.(用数字作答)
14.已知变量x和y的统计数据如下表：
若由表中数据得到经验回归直线方程为y =−3.2x+a ，则x=9时的残差为______.
15.
16.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)−f(x)<0，f(2)=e，则不等式f(x)>ex−1的解集是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
现有来自三个班级的考生报名表(一人一表)，分装3袋.第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率.
18.(本小题12分)
某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：
(1)根据已知条件，将如表2×2列联表补充完整：
(2)根据(1)表中数据，依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
19.(本小题12分)
已知f(x)=(2x−1x)n(n∈N*)的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等.
(1)求n及展开式中各项系数的和；
(2)求(1+1x4)f(x)的常数项.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−4x+4.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,1)处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(a,a+5)上既有最大值又有最小值，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.假定选手甲正确回答每一道题的概率均为p(0(1)甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为X，求X的分布列；
(2)若p=23，记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求E(Y).
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax−1x,g(x)=xlnx+(a−1)x+1x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)记f(x)的零点为x0，g(x)的极小值点为x1，当a∈(1,4)时，判断x0与x1的大小关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为函数s(t)=3−2t+t2，所以s′(t)=−2+2t，
当t=2时，s′(2)=−2+2×2=2，
故物体在t=2秒时的瞬时速度为2米/秒．
故选：A.
根据导函数的几何意义，对s(t)进行求导，再代入t=2即可解得．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A，(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2，A错误；
对于B，( x)′=(x12)′=12x−12=12 x，B正确；
对于C，(xex)′=ex−xexe2x=1−xex，C错误；
对于D，(csx)′=−sinx，D错误．
故选：B.
利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则，逐项计算判断作答．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：当k>0时，函数y=kx+b为增函数，
k>0时，函数y=−klnx+b、y=−k x+b、y=ke−x+b均为减函数，
且当x→+∞，y=−klnx+b→−∞，y=−k x+b→−∞，y=ke−x+b→b，
故选：D.
逐项判断各选项中函数的单调性，以及当x→+∞时，各函数的函数值的变化情况，即可得出合适的选项．
本题考查了函数的单调性与函数最值的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：依题意，X的可能值为0，1，2，
则P(X=0)=C32C52=310,P(X=1)=C31C21C52=35,P(X=2)=C22C52=110，
因此E(X)=0×310+1×35+2×110=45，
所以E(5X+1)=5E(X)+1=5.
故选：B.
根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望及期望的性质，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：(1−x)5+(1−x)6+⋯+(1−x)10的展开式中含x2的项的系数为：
C52+C62+C72+C82+C92+C102=C53+C52+C62+C72+C82+C92+C102−C53
=C63+C62+C72+C82+C92+C102−10=C73+C72+C82+C92+C102−10
=C83+C82+C92+C102−10=C93+C92+C102−10=C103+C102−10=C113−10=165−10=155.
故选：C.
根据给定条件，利用二项式定理、结合组合数性质求解作答．
本题主要考查二项式定理的应用，根据组合数的性质进行计算是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：若甲乙两人中的1人到A学校工作，有C21种选择，
其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有C32A22安排种数，
故有C21C32A22=12种；
若甲乙两人中的1人到A学校工作，有C21种选择，
丙丁中一人也到A学校工作，有C21种选择，
其余2人到另外两个地方工作，有A22种选择，
故安排种数有C21C21A22=8种；
若安排甲乙2人都到A学校工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有A22=2种，
故总共有12+8+2=22种．
故选：B.
分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：P(A−)=1−P(A)=25,P(B|A−)=1−P(B−|A−)=34，
所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=23×35+34×25=710.
故选：C.
根据题意利用全概率公式运算求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵a=79，b=0.7e0.1，
∴lnb−lna=0.1+ln0.7−ln79=110+ln910=1−910+ln910，
令f(x)=1−x+lnx，则f′(x)=−1+1x=1−xx，
当00，即f(x)在(0,1)上单调递增，
∴lnb−lna=f(910)∴bc=cs23=1−2sin213，由0∴c=cs23=1−2sin213>1−29=79，
∴c>a>b.
故选：D.
利用常见放缩x−1≥lnx，构造函数f(x)=1−x+lnx，判断出ba，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，Anm=n!(n−m)!，故A错误；
对于B，Cnm=n!m!(n−m)!，m+1n+1Cn+1m+1=m+1n+1×(n+1)!(n−m)!(m+1)!=n!m!(n−m)!，
所以Cnm=m+1n+1Cn+1m+1，故B正确；
对于C，An+1n+1−Ann=(n+1)!−n!=n!(n+1−1)=n⋅n!，n2An−1n−1=n2(n−1)!=n⋅n!，
所以An+1n+1−Ann=n2An−1n−1，故C正确；
对于D，当n=2时，C21+C22=3≠22，则Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n不成立，故D错误．
故选：BC.
利用排列数与组合数公式计算可以判断ABC选项，特殊值法判断D选项即可．
本题主要考查排列数和组合数的运算性质，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：经验回归直线y =b x+a 恒过样本点的中心(x−,y−)，拟合效果与样本点在经验回归直线上的多少无关，故A错误；
在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量有关系的犯错概率越小，判断两个变量间有关联的把握就越大，故B正确；
若散点图中所有点都在直线y=−x+1上，则相关系数r=1，故C正确；
根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2=2.974.依据α=0.05的独立性检验P(χ2≥3.841=0.05)，
∵χ2=2.974<3.841，∴依据小概率值α=0.05的独立性检验，变量x与y独立，故D正确．
故选：BCD.
由检验回归方程的性质判断A与C；由独立性检验知识判断B与D.
本题考查线性回归方程与独立性检验，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：随机变量X∼N(30,62)，Y∼N(34,22)，
对于A，当P(X≤27)=a时，P(30≤X<33)=P(27对于B，由于6<2，则随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“矮胖”，B错误；
对于C，P(X≤34)=P(X≤30)+P(30P(X≤30)=0.5=P(Y≤34)，C正确；
对于D，P(X≤24)=0.5−P(30−6而P(30−6P(Y≤30)，D错误．
故选：AC.
根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由题意知x2ex+ex−4−ax=0有四个不同的根，显然x≠0，则xex+exe4x−a=0，
令t=xex，则t+1e4t−a=0，即e4t2−e4at+1=0，
另外y=xex，y′=1−xex，
当x<1时，y′=1−xex>0；当x>1时，y′=1−xex<0；
故y=xex在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
当x<0时，y=xex<0，当x→+∞时，y=xex→0，则y=xex的大致图像如图所示：
根据题意知e4t2−e4at+1=0存在两根t1，t2，不妨设t1则满足0则由图象可知0由于方程e4t2−e4at+1=0的两根t1，t2满足0所以Δ=(−e4a)2−4×e4×1>000，解得2e2由t1=x1ex1=x4ex4，t2=x2ex2=x3ex3，得x1ex1⋅x2ex2⋅x3ex3⋅x4ex4=(t1t2)2=1e8，
两边取自然对数得ln(x1x2x3x4)−(x1+x2+x3+x4)=−lne8=−8，故C正确；
由t1t2=x2ex2⋅x4ex4=x2x4ex2+x4=1e4，两边取自然底数得lnx2+lnx4=x2+x4−4，
若x2=2− 3，则ln(2− 3)+lnx4=(2− 3)+x4−4，
所以lnx4−x4=−ln(2− 3)−2− 3=ln(2+ 3)−(2+ 3)，
令m(x)=lnx−x，x>1，则m(x4)=m(2+ 3)，m′(x)=1x−1=1−xx<0恒成立，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递减，又2+ 3>1，x4>1，
所以x4=2+ 3，故D正确．
故选：BCD.
根据函数零点转化为方程的根，令t=xex，即方程e4t2−e4at+1=0有两根，利用导数分析得y=xex的图像性质，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可得答案．
本题考查函数的零点问题解法，注意运用数形结合思想，考查运算能力，是中档题．
13.【答案】1280
【解析】解：安排周一有5种方法，由于同一名班干部不连续值班2天，则前一天值班的不值相邻后一天，
因此安排后面每一天值班的都有4种方法，
所以可能的安排方法种数是5×4×4×4×4=1280.
故答案为：1280.
根据给定条件，利用分步计数乘法原理从周一开始逐天安排作答．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
14.【答案】−0.2
【解析】解：依题意，x−=9+9.5+10+10.5+115=10,y−=11+10+8+6+55=8，
经验回归直线方程为y =−3.2x+a ，
则a =y−+3.2x−=8+3.2×10=40，
故y =−3.2x+40
当x=9时，x=9时的残差为11−(−3.2×9+40)=−0.2.
故答案为：−0.2.
根据数表，求出样本的中心点，进而求出a 及残差作答．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
15.【答案】

【解析】
16.【答案】(−∞,2)
【解析】解：依题意，令g(x)=f(x)ex，求导得g′(x)=f′(x)−f(x)ex<0，因此函数g(x)在R上单调递减，
不等式f(x)>ex−1⇔f(x)ex>1e，由f(2)=e，得1e=ee2=f(2)e2=g(2)，
则有g(x)>g(2)，解得x<2，
所以不等式f(x)>ex−1的解集是(−∞,2).
故答案为：(−∞,2).
根据不等式f′(x)−f(x)<0构造函数，利用导数判断单调性解不等式作答．
本题主要考查给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键．
17.【答案】解：记Ai=“抽到第i袋”，i∈{1,2,3}，
B=“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B|A1)=C61C41C102=2445,P(B|A2)=C71C31C102=2145,P(B|A3)=C51C51C102=2545，
所以P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=13(2445+2145+2545)=1427.
【解析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答．
本题考查条件概率公式与全概率公式的应用，属中档题．
18.【答案】解：(1)由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有50×0.7=35人，女生保护动物意识强的有50×0.4=20人，
于是2×2列联表如下：
(2)零假设为H0：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关，
此时χ2=100(35×30−15×20)255×45×50×50=10011≈9.091>7.879=x0.005，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
【解析】(1)由题意，利用等高堆积条形图求出相关数据，列出2×2列联表作答．
(2)由列联表求出χ2的观测值，再与临界值比较作答．
本题考查独立性检验的应用，考查了数据分析和运算能力．
19.【答案】解：(1)由题意可知：Cn4=Cn2，解得n=6，
即f(x)=(2x−1x)6，
令x=1，可得展开式中各项系数的和为f(1)=(2−1)6=1.
(2)因为(1+1x4)f(x)=f(x)+1x4f(x)，
对于f(x)=(2x−1x)6，可知其展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6−r(−1x)r=(−1)r⋅26−r⋅C6rx6−2r,r=0,1,⋅⋅⋅,6，
令6−2r=0，解得r=3，此时T4=(−1)3⋅23⋅C63=−160；
令6−2r=4，解得r=1，此时T2=(−1)2⋅24⋅C61⋅x4=96x4；
所以(1+1x4)f(x)的常数项为T4+1x4T2=−160+96=−64.
【解析】(1)根据题意结合二项式系数的对称性可得n=6，在利用赋值法求各项系数之和；
(2)根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解．
本题主要考查二项式定义的应用，根据二项式系数和的定义以及多项式乘积的性质进行计算是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=13x3−4x+4，求导得f′(x)=x2−4，则f′(3)=5，
所以所求切线方程为y−1=5(x−3)，即5x−y−14=0.
(2)由(1)知，f′(x)=(x−2)(x+2)，当x<−2或x>2时，f′(x)>0，当−2则函数f(x)在(−∞,−2)，(2,+∞)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，
当x=−2时，函数f(x)取得极大值f(−2)=283，当x=2时，函数f(x)取得极小值f(2)=−43，
由f(x)=283，即13x3−4x+4=283，得x3−12x−16=0，即(x+2)2(x−4)=0，解得x=−2或x=4，
由f(x)=−43，即13x3−4x+4=−43，得x3−12x+16=0，即(x−2)2(x+4)=0，解得x=2或x=−4，
作出函数f(x)的部分图象，如图，
因为f(x)在区间(a,a+5)上既有最大值又有最小值，则有−4≤a<−22所以a的取值范围是{a|−3【解析】(1)求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答．
(2)利用导数求出函数的极值点及极值，再求出函数值为极值时的x值，结合已知列出不等式作答．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调及极值关系的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)记事件Ai(i=1,2,3,4)为“第i个题目回答正确”，
记事件Bi(i=1,2,3)为“第i个题目回答不正确”，
易知X的所有取值为2，3，4，
此时P(X=2)=P(B1B2)=(1−p)2，
P(X=3)=P(A1A2A3)+P(A1B2B3)+P(B1A2B3)=p3+2p(1−p)2=3p3−4p2+2p，
P(X=4)=P(A1A2B3)+P(A1B2A3)+P(B1A2A3)=3p2(1−p)=−3p3+3p2，
则X的分布列为：
(2)记事件Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，
易知Z所有取值8，10，
若p=23，
此时P(Z=10)=P(A1A2A3)+P(A1A2B3A4)+P(A1B2A3A4)+P(B1A2A3A4)
=p3−3p2(1−p)=(23)3+3(23)2(1−23)=1627，
P(Z=8)=1−P(Z=10)=1127，
所以E(Z)=8×1127+10×1627=24827，
则E(Y)=9(E)=9×24827=2483.
【解析】(1)由题意，记事件Ai(i=1,2,3,4)为“第i个题目回答正确”，记事件Bi(i=1,2,3)为“第i个题目回答不正确”，得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而即可求解；
(2)记事件Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，得到Z的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式中即可求出E(Z)的值，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了运算能力和数据分析．
22.【答案】解：(1)由f′(x)=1x+a+1x2=ax2+x+1x2，
①若a≥0，则f′(x)>0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②若 a<0，令f′(x)>0，则 0令f′(x)<0，则x>−1− 1−4a2a，
∴f(x)在(0,−1− 1−4a2a)上单调递增，在(−1− 1−4a2a,+∞)上单调递减．
(2)x0>x1，理由如下：
证明：由g′(x)=lnx−1x2+a(x>0)，
设h(x)=lnx−1x2+a，
则h′(x)=1x+2x3>0，
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在(0,+∞)上单调递增．
又g′(1)=a−1>0,g′(12)=−ln2−4+a<0，∴存在x2∈(12,1)，使g′(x2)=0，
∴g(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)上单调递增，
∴x2为g(x)的极小值点，故x2=x1.
由g′(x2)=0，x1=x2，
∴lnx1−1x12+a=0，
∴a=1x12−lnx1，
∴f(x1)=lnx1+ax1−1x1=lnx1+x1(1x12−lnx1)−1x1=(1−x1)lnx1，
又x1=x2∈(12,1)，
∴f(x1)=(1−x1)lnx1<0=f(x0)，
由(1)知a>0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴x0>x1.
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)求出g(x)的导数，得出g(x)的单调性，结合函数的极小值点，得到f(x1)=(1−x1)lnx1，又x1=x2∈(12,1)，故f(x1)=(1−x1)lnx1<0=f(x0)，从而证明结论．
本题主要考查考查了函数的单调性，极值问题，函数与导数的概念，以及转化思想和分类讨论思想，属于较难题．x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
性别
保护动物意识
合计
强
弱
男
_____
_____
50
女
_____
_____
50
合计
_____
_____
100
α
0.005
xα
7.879
别
保护动物意识
合计
强
弱
男
35
15
50
女
20
30
50
合计
55
45
100
X
2
3
4
P
(1−p)2
3p3−4p2+2p
−3p3+3p2