2022-2023学年湖北省孝感市部分学校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省孝感市部分学校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知P(A)=0.68，P(AB)=0.17，则P(B|A)=( )
A. 0.5B. 0.35C. 0.25D. 0.17
2.a(a−3b)7的展开式中各项系数之和为( )
A. −256B. 128C. −128D. 256
3.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x+4，则曲线y=xf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A. 3B. 4C. 7D. 10
4.设Tn是数列{an}的前n项积，则“Tn=3n”是“{an}是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知随机变量X的分布列为
当p在(0,13)上变化时，X的数学期望的变化情况为( )
A. 单调递增B. 先减后增C. 单调递减D. 先增后减
6.用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则MN=( )
A. 2750B. 1325C. 1225D. 12
7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x3−x2+x)f′(x)<(3x2−2x+1)f(x)恒成立，则必有( )
A. f(1)C. f(1)>f(2)2>f(3)7D. 3f(1)>f(2)2>f(3)7
8.将12名志愿者(含甲、乙、丙)安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲、乙、丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为( )
A. 3129B. 4284C. 18774D. 25704
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若C9n=36，则n的值可能为( )
A. 2B. 3C. 6D. 7
10.已知函数f(x)=ex−ax，则( )
A. 当a≤0时，f(x)为增函数B. ∃a∈(0,+∞)，f(x)max=a
C. 当a=1时，f(x)的极值点为0D. ∃a∈(0,+∞)，f(x)min=a
11.深州蜜桃是河北省特产，已有近两千年的栽培史，其主要特点是个头大，每个重约250克，果型秀美，色泽淡黄中又衬有鲜红色，皮薄肉细，汁既多又甜，古时就有“北国之桃，深州最佳”之说.假设某种植园成熟的深州蜜桃单果质量M(单位：g)服从正态分布N(250,σ2)，且P(M<245)=0.35，P(M>252)=0.4.( )
A. 若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个，则这个蜜桃的质量小于248g的概率为0.45
B. 若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个，则这个蜜桃的质量在248g∼255g的概率为0.25
C. 若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个蜜桃的质量都小于248g的概率为0.16
D. 若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个中至少有1个蜜桃的质量在248g∼255g的概率为0.8775
12.设Sn是数列{an}的前n项和，a1=2,an+1Sn+1=2anSn+2n+1，则( )
A. a22+2a2=10
B. 数列{anSnn+1}是等比数列
C. 当n≥2时，n⋅2n−1an−1=(n+1)⋅2nan−an
D. 数列{anSn}的前100项和为100×2101
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从一箱脐橙(共10个，其中7个是大果，3个是中果)中任选3个，则恰有2个中果的概率为______.
14.若数列{ cn}是首项为1，公比为2的等比数列，则c5=______.
15.( 2−73x)16的展开式中系数为有理数的各项系数的和为______.(用数字作答)
16.若X∼B(11,p)(0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某人工智能公司想要了解其开发的语言模型准确率是否与使用的训练数据集大小有关联，该公司随机选取了大型数据集和小型数据集各50个，并记录了使用这些数据集训练的模型在测试数据集上的准确率(准确率不低于80%则认为达标)，根据小型数据集的准确率数据绘制成如图所示的频率分布直方图(各组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)[90,100]).
(1)求a的值，并完成下面的2×2列联表；
(2)试根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d
18.(本小题12分)
已知公差为−2的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=−5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{1anan+1}的前n项和为Tn，证明：Tn−12an+1为定值.
19.(本小题12分)
已知(1−ax)12=a0+a1x+⋯+a12x12(a≠0,x≠0).
(1)若a1=−12 2，求(1−ax)12C126x6展开式中的常数项；
(2)若a1−2a2+3a3−4a4+⋯−12a12=5a，求a的值.
20.(本小题12分)
(1)若成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)都落在直线y=−0.76x+0.58上，求样本相关系数.
(2)现随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查.所得数据如下表所示：
根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？
参考数据：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2，当|r|>0.85时两个变量之间具有很强的线性相关关系.取 155440=394.3.
21.(本小题12分)
甲、乙、丙等9人随机站成一排.
(1)求甲、乙、丙互不相邻的概率；
(2)在丙站在最右端的前提下，记甲、乙两人之间所隔的人数为X，求X的分布列及其数学期望.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x+1)(lnx−2).
(1)判断f(x)的单调性，并说明理由；
(2)若f(x1)+f(x2)=−8，02.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为P(A)=0.68，P(AB)=0.17，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=
故选：C.
根据条件概率公式结合题意直接求解即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：令a=b=1，得a(a−3b)7的展开式中各项系数之和为1×(1−3)7=−128.
故选：C.
令a=b=1，即可求得各项系数之和．
本题考查二项式定理，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x+4，得f′(1)=3，且f(1)=7，
设g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)，得g′(1)=f(1)+f′(1)=7+3=10，
故曲线y=xf(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为10.
故选：D.
求出函数y=xf(x)的导函数，再结合导数的几何意义求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：若Tn=3n，则a1=3；当n≥2时，an=TnTn−1=3n3n−1=3，
所以，对任意的n∈N*，an=3，则an+1−an=0，此时，数列{an}是等差数列，
故“Tn=3n”能得出“{an}是等差数列”，
若“{an}是等差数列”，不妨设an=n，则Tn≠3n，
即“{an}是等差数列”不能得出“Tn=3n”，
所以“Tn=3n”是“{an}是等差数列”的充分不必要条件．
故选：A.
由Tn=3n求出an的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：依题意，E(X)=13−p+2p+3p2+6(23−p2)=−3p2+p+133=−3(p−16)2+5312，
当p∈(0,16)时，E(X)单调递增，当p∈(16,13)时，E(X)单调递减，
所以X的数学期望是先增后减．
故选：D.
根据给定的分布列求出X的数学期望，再结合二次函数的性质逐项判断作答．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望相关知识，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：从2，3，5，7，8中任选一个数字排在首位，其余5个数字全排可得N=C51A55=25A44，
0排在个位的无重复数字的六位偶数有A55个，
0不排在个位的无重复数字的六位偶数有C21C41A44=8A44个，
故M=A55+8A44=13A44.
所以MN=1325.
故选：B.
根据排列组合知识求出N，M，代入MN可得结果．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由(x3−x2+x)f′(x)<(3x2−2x+1)f(x)，
得(x3−x2+x)f′(x)<(x3−x2+x)′f(x).
设函数g(x)=f(x)x3−x2+x,x>0，
则g′(x)=(x3−x2+x)f′(x)−(x3−x2+x)′f(x)(x3−x2+x)2<0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，从而g(1)>g(2)>g(3)，
即f(1)1>f(2)6>f(3)21，即3f(1)>f(2)2>f(3)7.
故选：D.
构造函数g(x)=f(x)x3−x2+x,x>0，利用导数研究单调性，比较函数值的大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：先分类讨论人员分组情况．
当甲、乙、丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有C91⋅(C83+C84A22)=819种方法；
当甲、乙、丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有C93+C94=210种方法；
当甲、乙、丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，
有C92⋅C73=1260种方法
当甲、乙、丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，
有C93⋅C63A22=840种方法．
再将三组人员分配到三个地区．
因为这三组分配到三个地区有A33=6种方法，
所以安排方法总数为(210+819+1260+840)×6=18774.
故选：C.
利用排列组合原理和分组分配方法求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：因为C92=9×82×1=36=C97,C93=9×8×73×2×1=84=C96，故n为2或7.
故选：AD.
根据组合数的计算以及性质即可求解．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：当a≤0时，由f(x)=ex−ax，得f′(x)=ex−a>0，所以f(x)为增函数，所以A正确；
当a=1时，由f′(x)=ex−1=0，得x=0，
当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)的极小值点为0，所以C正确；
当a>0时，f′(x)=ex−a，当xlna时，f′(x)>0，
所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(lna)=a−alna，
当a=1时，f(x)min=a，所以B错误，D正确．
故选：ACD.
对于A，对函数求导后判断，对于BD，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，对于C，直接求解函数的极值点即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为M∼N(250,σ2)，所以P(M<248)=P(M>252)=0.4，所以A错误．
因为P(M<245)=0.35，P(M>252)=0.4，
所以P(248因为P(M<248)=0.4，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，
则这2个蜜桃的质量都小于248g的概率为0.42=0.16，所以C正确．
因为P(248则这2个中至少有1个蜜桃的质量在248g∼255g的概率为1−(1−0.25)2=1−0.5625=0.4375，所以D错误．
故选：BC.
根据正态分布的性质结合题意逐个分析判断即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由an+1Sn+1=2anSn+2n+1，a1=2，得a2S2=2a1S1+22，
则a2(a2+2)=2×22+22=12，故A错误；
∵a1=2,an+1Sn+1=2anSn+2n+1，
∴a1S12=2,an+1Sn+12n+1−anSn2n=1，
∴数列{anSn2n}是首项为2，公差为1的等差数列，
则anSn2n=n+1，即anSn=(n+1)2n，得anSnn+1=2n，
则数列{anSnn+1}是等比数列，故B正确；
由anSn=(n+1)2n，得Sn=(n+1)2nan，
当n≥2时，Sn−Sn−1=(n+1)2nan−n⋅2n−1an−1，
即an=(n+1)2nan−n⋅2n−1an−1，则n⋅2n−1an−1=(n+1)⋅2nan−an，故C正确；
设T100=2×2+3×22+4×23+...+101×2100，
则2T100=2×22+3×23+4×24+⋯+101×2101，
两式相减得：
−T100=4+(22+23+⋯+2100)−101×2101=4+2101−4−101×2101=−100×2101，
解得T100=100×2101，故D正确．
故选：BCD.
在递推公式an+1Sn+1=2anSn+2n+1中，取n=1求解判断A；利用构造法和等差、等比数列的定义判断B；根据an，Sn的关系可判断C；利用错位相减法求解数列{anSn}的前100项和判断D.
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
13.【答案】740
【解析】解：从含有7个大果，3个中果的箱子中任选3个，共有C103种选法，
而恰有2个中果的选法有C32C71种选法，
故恰有2个中果的概率为C32C71C103=21120=740.
故答案为：740.
根据超几何分布的概率公式即可求解．
本题考查古典概率模型中的超几何分布概型，属基础题．
14.【答案】256
【解析】解；依题意可得 cn=2n−1，则 c5=24，即c5=28=256.
故答案为：256.
利用等比数列通项公式求解即可．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】2416
【解析】解：因为( 2−73x)16展开式的通项公式Tr+1=(−1)rC16r( 2)16−r(73x)r(0≤r≤16,r∈N)，
故当r=0，14时，T1=(−1)0C160( 2)16(73x)0=28,T15=(−1)14C1614( 2)2(73x)14=120×2×9x14=2160x14
即展开式中系数为有理数的项为T1，T15，
所以T1，T15两项的系数的和为28+2160=256+2160=2416.
故答案为：2416.
根据二项展开式的通项公式求解即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
16.【答案】24
【解析】解：已知X∼B(11,p)(0此时F(p)=P(X=3)=C113p3(1−p)8，
可得F′(p)=C113[3p2(1−p)8−8p3(1−p)7]=C113p2(1−p)7(3−11p).
当00，F(p)单调递增；
当311所以当p=311时，F(p)取得最大值，
此时D(X)=11×311×(1−311)=2411，
则D( 11X−1)=( 11)2D(X)=24.
故答案为：24.
由题意，根据二项分布的概率公式，利用导数求解单调性，得到最值，再利用二项分布的方差公式以及方差的性质即可求解．
本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：(1)由10×(0.01+0.025+a+0.02+0.01)=1，解得a=0.035，
准确率不低于80%的小型数据集有50×(0.2+0.1)=15个，
由此可得列联表如下：
(2)零假设为H0：语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小无关联，
根据列联表中的数据，得到χ2=100×(30×35−20×15)250×50×45×55=10011≈9.091>7.879=x0.005，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，
即认为语言模型准确率是否达标与使用的训练数据集大小有关联．
【解析】(1)由频率之和可得a=0.035，进而可得2×2列联表；
(2)计算卡方即可与临界值比较求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得S5=5a1+5×42×(−2)=−5，
解得a1=3，
故an=3−2(n−1)=−2n+5.
(2)证明：因为1anan+1=1(−2n+5)(−2n+3)=1(2n−5)(2n−3)=12(12n−5−12n−3)，
设bn=1anan+1，
所以Tn=b1+b2+b3+⋯+bn
=12×(−13+11−11−11+11−13+⋯+12n−5−12n−3)
=12×(−13−12n−3)=12×(−13+1an+1)=−16+12an+1，
所以Tn−12an+1=−16，
即Tn−12an+1为定值−16.
【解析】(1)根据等差数列的求和公式求出a1，再用等差数列的通项公式即可；
(2)根据(1)知1anan+1=1(−2n+5)(−2n+3)=1(2n−5)(2n−3)，利用裂项相消法求出Tn即可证明．
本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为a1=C121(−a)=−12 2，所以a= 2.
所以(1−ax)12C126x6展开式中的常数项为C126(−a)6C126=a6=( 2)6=8.
(2)对(1−ax)12=a0+a1x+⋯+a12x12的两边同时求导，
得12(1−ax)11×(−a)=a1+2a2x+⋯+12a12x11，
令x=−1，得12(1+a)11×(−a)=a1−2a2+⋯−12a12=5a，
因为a≠0，所以a=11−512−1.
【解析】(1)根据二项式展开式的通项特征，由a1=−12 2即可求解a= 2，进而可求常数项，
(2)求导，由赋值法即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)都落在直线y=−0.76x+0.58上，
直线的斜率为负数，∴相关系数为−1.
(2)x−=80+78+81+84+86+90+91+93+88+8910=86，
y−=26+33+24+20+18+10+9+7+12+1110=17，
i=110(xi−x−)(yi−y−)=(−6)×9+(−8)×16+(−5)×7+(−2)×3+0×1+4×(−7)+5×
(−8)+7×(−10)+2×(−5)+3×(−6)=−389，
i=110(xi−x−)2=(−6)2+(−8)2+(−5)2+(−2)2+02+42+52+72+22+32=232，
i=110(yi−y−)2=92+162+72+32+12+(−7)2+(−8)2+(−10)2+(−5)2+(−6)2=670，
r=i=110(xi−x−)(yi−y−) i=110(xi−x−)2i=110(yi−y−)2=−389 232×670≈−389394.3≈−0.987，
∴|r|>0.85，
∴乘客投诉次数与航班正点率之间负相关，具有很强的线性相关关系．
【解析】(1)利用相关系数与线性相关程度的关系得结果；
(2)计算相关系数，由数据判断结论．
本题主要考查线性回归方程，相关系数，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)9人随机站成一排，有A99种站法，
当甲、乙、丙互不相邻时，由插空法可知有A66A73种站法，
所以甲、乙、丙互不相邻的概率为A66A73A99=512.
(2)X的取值可能为0，1，2，3，4，5，6，
P(X=0)=A22⋅A77A88=14,P(X=1)=A61A22A66A88=314,P(X=2)=A62A22A55A88=528，
P(X=3)=A63A22A44A88=17,P(X=4)=A64A22A33A88=328，
P(X=5)=A65A22A22A88=114,P(X=6)=A66A22A88=128.
所以X的分布列为：
E(X)=0×14+1×314+2×528+3×17+4×328+5×114+6×128=2.
【解析】(1)由不相邻问题插空法即可求解，
(2)将甲乙两人连同甲乙之间的人看做一个整体，利用捆绑法即可求解公式，进而可求解概率．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题．
22.【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)，
由f(x)=(x+1)(lnx−2)，得f′(x)=lnx−2+x+1x=1x+lnx−1，
令h(x)=f′(x)=1x+lnx−1，则h′(x)=−1x2+1x=x−1x2，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，则f′(x)在(0,1)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，则f′(x)在(1,+∞)单调递增．
所以f′(x)≥f′(1)=0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(2)证明：因为f(x1)+f(x2)=−8=2f(1)，0所以0设函数g(x)=f(x)+f(2−x)，x∈(0,1)
则g′(x)=f′(x)−f′(2−x)=1x+lnx−12−x−ln(2−x).
令t(x)=g′(x)=1x+lnx−12−x−ln(2−x)，则
t′(x)=x−1x2+1−x(2−x)2=−4(x−1)2x2(2−x)2≤0
所以g′(x)在(0,1)上单调递减．
而g′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,1)上单调递增，
所以g(x1)所以f(2−x1)<−8−f(x1)=f(x2).
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以2−x12.
【解析】(1)求出定义域后，对函数求导得f′(x)=1x+lnx−1，令h(x)=f′(x)，再求导，由h′(x)的正负可得f′(x)的单调区间，从而可求得f′(x)≥f′(1)=0，进而可求出其单调区间，
(2)设函数g(x)=f(x)+f(2−x)，对函数连续求导两次后可判断g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．X
1
2
3
6
P
13−p
p
p2
23−p2
大型数据集
小型数据集
合计
达标
30
不达标
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
航空公司编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
航班正点率x/%
80
78
81
84
86
90
91
93
88
89
乘客投诉次数y
26
33
24
20
18
10
9
7
12
11
大型数据集
小型数据集
合计
达标
30
15
45
不达标
20
35
55
合计
50
50
100
X
0
1
2
3
4
5
6
P
14
314
528
17
328
114
128