2022-2023学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约m.( )
A. 1.33
B. 1.63
C. 1.50
D. 1.75
2.如果A−、B−分别是A、B的对立事件，下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是( )
A. P(A∩B−)=P(A)⋅P(B−)B. P(A−∩B−)=P(A)P(B)
C. P(B|A)=P(B)P(A)D. P(B|A)=P(A|B)
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )
A. 1B. −12C. −1D. 0
4.已知数列{an}，设mn=a1+a2+⋯+ann(n为正整数).若{an}满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=c，则称数列{an}为“梦想数列”.有以下三个命题：
①若数列{an}是“梦想数列”，则常数c=0；
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是个( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.过点A(−1,−1)、B(2,3)的直线的倾斜角为______.(用反三角表示)
6.在空间直角坐标系中，点M(1,−2,3)关于平面yOz对称的点的坐标是__________.
7.(x2+1x)5的二项式展开式中x的系数为______.
8.已知函数f(x)=x3，则曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为______.
9.若数列{an}中的前n项和Sn=n2−3n(n为正整数)，则数列{an}的通项公式an=______.
10.掷一颗骰子并观察出现的点数.已知出现的点数不超过2，则出现的点数是奇数的概率是______.
11.已知随机变量X服从正态分布N(1.5,σ2)，且P(1.5≤X≤3)=0.38，则P(X≤0)=______.
12.若数列{an}的通项公式an=(13)n−1(n为正整数)，{an}的前n项和是Sn，则n→+∞limSn=______.
13.设双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，以C1的实轴为虚轴，以C1的虚轴为实轴的双曲线C2叫做C1的共轭双曲线，通过研究可以得到双曲线C1和它的共轭双曲线C2有很多相同的性质，请写出其中的一个性质：______.
14.某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了4门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为______.
15.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若PF=3FQ，则P到准线l的距离为______.
16.已知点P(x0,ex0)是函数y=ex图像上任意一点，点Q是曲线(x−e4−2)2+y2=1上一点，则P、Q两点之间距离的最小值是______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC是直角.
(1)求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；
(2)设异面直线A1B与C1C所成角的大小为α，直线A1C与平面BB1C1C所成角的大小为β.比较α和β的大小，并说明理由.
18.(本小题14分)
已知数列{bn}是严格增的等比数列，b1+b2+b3=218，b1b2b3=18.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)若bn=(12)an，求i=1na3i−1.
19.(本小题14分)
某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1∼50名和951∼1000名的学生进行了调查，得到如表中数据，根据χ2分布概率表中的数据，能否有95%的把握认为视力与学习成绩有关系？请说明理由；
(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1∼50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).其中n=a+b+c+d.
20.(本小题18分)
已知椭圆x24+y23=1，该椭圆与x轴的交点分别是A和B(A在B的左侧)，该椭圆的两个焦点分别是F1和F2(F1在F2的左侧)，椭圆与y轴的一个交点是P.
(1)若P为椭圆的上顶点，求经过点F1，F2，P三点的圆的方程；
(2)已知点P到过点F2的直线l的距离是1，求直线l的方程；
(3)已知椭圆上有不同的两点M、N，且直线MN不与坐标轴垂直，设直线MA、NB的斜率分别为k1、k2，求证：“k2k1=3”是“直线MN经过定点(1,0)”的充要条件.
21.(本小题18分)
对于函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)，若在其定义域内存在实数x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”.
(1)若m为实数，函数y=sinx−m，x∈R是“π2跃点”函数，求m的取值范围；
(2)若a为非零实数，函数y=x3−2x2+ax−12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值；
(3)若b为实数，函数y=ex+bx，x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：以OC为y轴，以过C与OC垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线的方程为x2=my，m>0，由题意及抛物线的对称性可得B(1,1.5)，
将B的坐标代入可得12=m×1.5，可得m=23，即抛物线的方程为x2=23y，
由题意可得F(xF,1)，代入抛物线的方程可得xF2=23⋅1，可得|xF|= 63，
所以水面宽度|EF|=2 63≈1.63.
故选：B.
由题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得B的坐标，代入抛物线的方程，求出参数m的值，再由题意可得F的纵坐标，代入抛物线的方程，可得F的横坐标，可得水面宽度|EF|的值．
本题考查抛物线的求法及抛物线的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于A，由P(A∩B−)=P(A)P(B−)，且P(B−)=1−P(B)，可得P(A∩B−)=[1−P(B)]P(A)=P(A)−P(A)P(B)，
所以P(AB)=P(A)−P(A∩B−)=P(AB)，所以事件A与事件B相互独立，故A正确；
对于B，若事件A与事件B相互独立，则需满足P(AB)=P(A)P(B)，
由于P(A−∩B−)=P(A)P(B)，所以于P(A−∩B−)=P(AB)，
故无法确定事件A与事件B相互独立，B错误；
对于C，P(B|A)=P(B)P(A)=P(AB)P(A)，P(B)=P(AB)，
若事件A与事件B相互独立，则P(A)P(B)=P(AB)=P(B)，则P(B)=0或P(A)=1，
故事件A为必然事件或事件B为不可能事件，
显然无法确定事件A与事件B相互独立，故C错误；
对于D，由P(B|A)=P(A|B)，可得P(AB)P(A)=P(AB)P(B)，即P(A)=P(B)，无法确定事件A与事件B相互独立，故D错误．
故选：A.
根据相互独立事件满足的关系即可判断A，根据假设即可判断BCD.
本题考查概率的应用，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx(x>0)，
∴f′(x)=2f′(1)+1x，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，
解得f′(1)=−1.
故选：C.
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析3个命题：
对于①，若数列{an}是“梦想数列”，则(i−j)mk+(j−k)mi+(k−i)mj=c，同时有(j−i)mk+(k−j)mi+(i−k)mj=c，必有c=0，①正确；
对于②③，令i=1，j=2，k=3，
有(1−2)a1+a2+a33+(2−3)a11+(3−1)a1+a22=0，
变形可得a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成三项成等差数列，
令i=1，j=2，k=n(n≥3)，
则有(1−2)Snn+(2−n)a1+(n−1)S22=0，
变形可得：2Sn+(n2−3n)a1−n(n−1)a2=0，
则有2Sn+1+(n2−2n−2)a1−n(n+1)a2=0，
两式相减可得：2an+1+2na1−2a1−2na2=0，
则有an+1=a1+nd，
所以有an=a1+(n−1)d(n≥4)成立，
又由当n=1、2、3时也成立，故“梦想数列”一定是等差数列，则②错误，③正确．
故选：B.
根据题意，结合“梦想数列”的定义，依次分析3个命题是否正确，综合可得答案．
本题考查数列的应用，涉及等差、等比数列的判定和性质，属于中档题．
5.【答案】arctan43
【解析】解：过点A(−1,−1)、B(2,3)的直线的斜率k=tanα=3−(−1)2−(−1)=43，
故α=arctan43.
故答案为：arctan43.
直接利用两点求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．
本题考查的知识要点：直线的斜率和直线的倾斜角的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】(−1,−2,3)
【解析】【分析】
本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面对称的问题，是基础题．
根据点(x,y,z)关于平面yOz对称的点的坐标是(−x,y,z)，写出即可．
【解答】
解：空间直角坐标系中，点M(1,−2,3)关于平面yOz对称的点的坐标是(−1,−2,3).
故答案为：(−1,−2,3).
7.【答案】10
【解析】解：(x2+1x)5的二项式展开式通项公式为Tk+1=C5k⋅(x2)5−k⋅(1x)k=C5k⋅x10−3k，
令10−3k=1，解得k=3，
所以展开式中x的系数为C53=10.
故答案为：10.
根据二项式展开式通项公式求解即可．
本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．
8.【答案】y=0
【解析】【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
【解答】
解：∵f(x)=x3，∴f′(x)=3x2，
∴f′(0)=0，
则曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=0.
故答案为：y=0.
9.【答案】2n−4
【解析】解：∵数列{an}的前n项和Sn=n2−3n(n为正整数)，
∴当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−3n−[(n−1)2−3(n−1)]=2n−4，
又a1=S1=1−3=−2适合上式，
∴an=2n−4.
故答案为：2n−4.
直接根据前n项和与通项之间的关系求解即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】12
【解析】解：掷一颗骰子并观察出现的点数．已知出现的点数不超过2，
则出现的点数可能为1，2，
则出现的点数是奇数的概率是P=12.
故答案为：12.
出现的点数可能为1，2，由此能求出出现的点数是奇数的概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】0.12
【解析】解：随机变量X服从正态分布N(1.5,σ2)，且P(1.5≤X≤3)=0.38，
则P(0P(X≤0)=P(X<1.5)−P(0故答案为：0.12.
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】32
【解析】解：由题意，an=(13)n−1=1⋅(13)n−1，
故数列{an}是以1为首项，13为公比的等比数列，
∴Sn=1−(13)n1−13=32−12⋅3n−1，
∴n→+∞limSn=n→+∞lim(32−12⋅3n−1)
=32−n→+∞lim12⋅3n−1
=32−0
=32.
故答案为：32.
先根据数列{an}的通项公式判断出数列{an}是以1为首项，13为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式推导出前n项和Sn的表达式，最后根据数列极限的性质进行计算即可得到结果．
本题主要考查数列求和与极限的综合问题．考查了转化与化归思想，等比数列的判定及求和公式的运用，数列极限的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13.【答案】有相同渐近线
【解析】解：根据定义可得C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，C2：y2b2−x2a2=1(a>0,b>0)，
故他们的渐近线方程均为y=±bax.
故答案为：有相同渐近线．
根据共轭双曲线定义得到两双曲线方程，进而可表示出对应渐近线方程．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
14.【答案】240
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为4组，有C52=10种分组方法，
②将分好的4组安排选择4门课程，有A44=24种情况，
则有10×24=240种选课方法．
故答案为：240.
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，②将分好的4组安排选择4门课程，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15.【答案】8
【解析】解：由抛物线C：y2=8x，可知F(2,0)，即|OF|=2(O为坐标原点)，
过点P作y轴的垂线，垂足为N，
由三角形相似可知|OF||PN|=|FQ||QP|=14，所以|PN|=4|FO|=8，
所以点P到准线l的距离为8.
故答案为：8.
求出焦点F的坐标，过点P作y轴的垂线，垂足为N，由三角形相似可知|OF||PN|=|FQ||QP|=14，求出|PN|，结合抛物线的定义，求解点P到准线l的距离为8.
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．
16.【答案】e2 e4+1−1
【解析】解：如图所示，
对于指数函数，y′=ex，设P(x0,ex0)，则P点切线斜率为ex0，
又圆心为(e4+2,0)，
所以直线PQ斜率为ex0x0−(e4+2)，
令ex0×ex0x0−(e4+2)=−1，得x0=2，
即P(2,e2)，P到圆心距离为 (e4+2−2)2+(0−e2)2=e2 e4+1，
所以PQ最小值为e2 e4+1−1.
故答案为：e2 e4+1−1.
两个曲线一个是指数函数，一个是圆，根据三角形原理，当圆心与指数函数图像上某点连线与该点切线垂直时，可以得到两曲线上距离最近的点．
本题主要考查两曲线上点间的最近距离，属中档题．
17.【答案】解：(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴B1B⊥BC，
∵∠ABC是直角．∴BC⊥AB，又B1B∩AB=B，
∴BC⊥平面ABB1A1，∵BC⊂平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1；
(2)α>β，理由如下：
∵C1C//B1B，∴∠A1BB1为异面直线A1B与C1C所成的角，即∠A1BB1=α，
∵B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴B1B⊥AB，∵BC⊥AB，B1B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB1C1C，∵AB//A1B1，
∴A1B1⊥平面BB1C1C，∴A1C在平面BB1C1C内的射影为B1C，
∴∠A1CB1是直线A1C与平面BB1C1C所成的角，∴∠A1CB1=β，
∵tanα=A1B1B1B，tanβ=A1B1B1C，又BB1∴tanα>tanβ，∵0<α，β<π2，
∴α>β.
【解析】(1)通过线线垂直可得线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理可得平面A1BC⊥平面ABB1A1；
(2)∠A1BB1为异面直线A1B与C1C所成的角，∠A1CB1是直线A1C与平面BB1C1C所成的角，可得tanα>tanβ，可得结论．
本题考查面面垂直的证明，考查角的大小的比较，考查空间角的求法，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
则b1+b2+b3=b1+b1q+b1q2=218，
b1b2b3=b1⋅b1q⋅b1q2=b13q3=18，
即b1q=12，故b1=12q，
将b1=12q代入b1+b1q+b1q2=218，
可得12q+12+12q⋅q2=218，
化简整理，得4q2−17q+4=0，
解得q=14，或q=4，
∵数列{bn}是严格增的等比数列且b1>0，
∴公比q>1，
∴q=14不符合题意，舍去，
∴公比q=4，b1=12q=12×4=18，
∴bn=18⋅4n−1=2−3⋅22n−2=22n−5，n∈N*.
(2)依题意，由bn=(12)an，
可得an=lg12bn
=lg2−122n−5
=−(2n−5)
=5−2n，
∴i=1na3i−1=a2+a5+⋅⋅⋅+a3n−1
=(5−2×2)+(5−2×5)+⋅⋅⋅+[5−2×(3n−1)]
=5n−2×[2+5+⋅⋅⋅+(3n−1)]
=5n−2×n⋅(2+3n−1)2
=−3n2+4n.
【解析】(1)先设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，再根据题干已知条件列出关于首项b1与公比q的方程，先计算分析出公比q的值，进一步计算出首项b1的值，即可计算出数列{bn}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果及指对数的运算推导出数列{an}的通项公式，然后运用分组求和法与等差数列的求和公式即可计算出i=1na3i−1的结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，指对数的运算，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由直方图可知，第一组有100×0.15×0.2=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组有1.35×0.2×100=27人，
因为后四组频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27，24，21，18，
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21100=0.82，
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.82=820名．
(Ⅱ)由列联表数据，可得：
x2=100×(41×18−32×9)250×50×73×27=30073≈4.110>3.841，
因此有95%的把握认为视力与学习成绩有关系；
(Ⅲ)依题意，9人中年级名次在1∼50名和951∼1000名的学生分别有3名和6名，
在这9人中任取3人，名次在1∼50的学生人数X可能取0，1，2，3，
则有P(X=0)=C63c93=521，P(X=1)=C61C31C93=1528，
P(X=2)=c61C32c93=314，P(X=3)=C33C93=184，
故X的分布列为：
X的数学期望E(X)=0×521+1×1528+2×314+3×184=1.
【解析】(Ⅰ)利用频率组距×组距×100，可求得前3组的人数，由后四组的频数成等差数列可求后三组的人数，由此得到视力在5.0以下的频率，由此可估计总体；
(Ⅱ)将数据代入独立性检验的公式进行计算，并将结果与数据3.841进行比较可得结论；
(Ⅲ)利用分层抽样知识可知名次在1∼50名和951∼1000名的学生分别有3名和6名，利用超几何分布的概率模型可求分布列和期望．
本题考查样本估计总体、独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和期望，属中档题．
20.【答案】解：由已知得A(−2,0)，B(2,0)，F1(−1,0)，F2(1,0).
(1)由题意知P(0, 3)，设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²−4F>0).
因为所求的圆经过F1，F2，P三点，
所以1−D+F=0,1+D+F=0,3+ 3E+F=0,解得：D=0，E=−2 33，F=−1.
故所求圆的方程为x2+y2−2 33y−1=0.
(2)当P为上顶点时，P(0, 3).
若直线l的斜率不存在，此时l的方程为x=1，符合题意；
若直线l的斜率存在，设l的方程为x=my+1(m≠0)，即x−my−1=0.
点P直线l的距离为|− 3m−1| 1+m2=1，
解得m=− 3，此时l的方程为x+ 3y−1=0.
当P为下顶点时，P(0,− 3).
若直线l的斜率不存在，此时l的方程为x=1，符合题意；
若直线l的斜率存在，设l的方程为x=my+1(m≠0)，即x−my−1=0.
点P直线l的距离为| 3m−1| 1+m2=1，
解得m= 3，此时l的方程为x− 3y−1=0.
综上所述，当P为上顶点时，直线l的方程为x=1或x+ 3y−1=0.
当P为下顶点时，直线l的方程为x=1或x− 3y−1=0.
(3)证明：充分性
因直线MN不与坐标轴垂直，设MN的方程为x=sy+t，M(x1,y1)，N(x2,y2).
联立x=sy+t,x24+y23=1,消x得(3s²+4)y²+6sty+3t²−12=0.
所以y1+y2=−6st3s2+4,y1y2=3t2−123s2+4，
Δ=36s²t²−4(3s²+4)(3t²−12)=48(3s²−t²+4)>0，
k1=kMA=y1x1+2,k2=kNB=y2x2−2.
∵k2k1=3，∴y2x2−2=3y1x1+2，
∴y2sy2+t−2=3y1sy1+t+2，2sy1y2+3ty1−6y1−ty2−2y2=0，
2sy1y2+(t−4)(y1+y2)+(2t−2)(y1−y2)=0，
将y1+y2=−6st3s2+4,y1y2=3t2−123s2+4，代入上式，
整理得(t−1)[24s3s2+4+2(y1−y2)]=0.
因为(t−1)[24s3s2+4+2(y1−y2)]=0恒成立，
所以t=1，即直线MN过定点(1,0)，充分性成立．
必要性
因直线MN不与坐标轴垂直且过点(1,0)，设MN的方程为x=sy+1，M(x1,y1)，N(x2,y2).
联立x=sy+1,x24+y23=1,消x得(3s²+4)y²+6sy−9=0.
所以y1+y2=−6s3s2+4,y1y2=−93s2+4.
∵k1=kMA=y1x1+2,k2=kNB=y2x2−2.
∴k2k1=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(sy1+3)y1(sy2−1)=sy1y2+3y2sy1y2−y1=s⋅−93s2+4+3(−6s3s2+4−y1)s⋅−93s2+4−y1=−27s3s2+4−3y1−9s3s2+4−y1=3.必要性成立．
所以 ′ ′k2k1=3 ′ ′是 ′ ′直线MN过定点(1,0) ′ ′的充要条件.
【解析】(1)求经过已知三点的圆的方程可以用待定系数法，先所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²−4F>0)，然后代入已知点，解方程组可求解；
(2)求直线的方程，需要讨论直线的斜率是否存在．设直线的方程，利用点到直线的距离公式进行求解．注意点P的位置不确定，解题过程中需要讨论；
(3)证明充要条件，需要分充分性和必要性进行证明．定点定值问题常用设而不求、韦达定理、消元法解决．
本题考查椭圆的性质，圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数y=sinx−m的导函数y′=csx，
若函数y=sinx−m是“π2跃点“函数，则方程sin(x0+π2)−m=(π2+1)csx0有解，
即−m=π2csx0有解，
又csx0∈[−1,1]，
所以−m∈[−π2,π2]，
所以m∈[−π2,π2].
(2)函数y=x3−2x2+ax−12的导函数y′=3x2−4x+a.
若该函数是“2跃点“函数，
则方程(x+2)3−2(x+2)2+a(x+2)−12=3(3x2−4x+a)①有解，
即x3−5x2+(a+16)x−a−12=0有解，
所以(x−1)(x2−4x+a+12)=0有解，
当x=1时，方程(x−1)(x2−4x+a+12)=0成立，
所以x=1是方程的一个实数根，
当x≠1时，x2−4x+a+12=0②，
当a=−8时，方程②有两个相等的实数根2，
此时方程①的根为1，2，2，
所以函数有两个不同的“2跃点“，
当a>−8时，方程②无解，
此时方程①的根为1，则函数有一个“2跃点”，
当a<−8时，方程②有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个实数根为1，
则1−4+a+12=0，解得a=−9，
综上所述，a的值为−8或−9.
(3)函数y=ex+bx的导函数为y′=ex+b，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，
则方程ex+1+b(x+1)=2(ex+b)，即−b=ex+1−2exx−1有一个不同的实数根，
设g(x)=ex+1−2exx−1=(e−2)exx−1，
g′(x)=(e−2)ex(x−2)(x−1)2，
令g′(x)=0得x=2，
所以在(2,+∞)上g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(−∞,1)，(1,2)上g′(x)<0，g(x)单调递减，
又x<−1时，g(x)<0；x>1时，g(x)>0，
所以当x=2时，g(x)取得极小值g(2)=(e−2)e2，
所以−b≤0，
所以b≥0，
所以b的取值范围为[0,+∞).
【解析】(1)函数y=sinx−m的导函数y′=csx，若函数y=sinx−m是“π2跃点“函数，则方程sin(x0+π2)−m=(π2+1)csx0有解，即−m=π2csx0有解，进而可得答案．
(2)函数y=x3−2x2+ax−12的导函数y′=3x2−4x+a.若该函数是“2跃点“函数，则方程(x+2)3−2(x+2)2+a(x+2)−12=3(3x2−4x+a)①有解，进而可得答案．
(3)函数y=ex+bx的导函数为y′=ex+b，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，即−b=ex+1−2exx−1有一个不同的实数根，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．年级名次
是否近视
1∼50
951∼1000
近视
41
32
不近视
9
18
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.624
6.635
7.879
X
0
1
2
3
P
521
1528
314
184