专题12 函数-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题12 函数（新高考）
目录
【备考指南】2
【真题在线】2
【基础考点】6
【基础考点一】函数的定义域与值域6
【基础考点二】相等函数与函数解析式7
【基础考点三】函数的图象7
【基础考点四】分段函数9
【基础考点五】一次函数与二次函数10
【综合考点】12
【综合考点一】指数函数12
【综合考点二】对数函数13
【综合考点三】幂函数14
【综合考点四】函数与方程15
【培优考点】16
【培优考点一】函数性质综合16
【培优考点二】嵌套函数问题17
【总结提升】18
【专项检测】19
备考指南
预测：基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；利用函数的性质推断函数的图象；利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强；函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.从近几年全国卷的考察情况看，函数的考察以函数的性质居多，考察的难度低档、中档、高档都有所考察，对复习的把控能力要求较强.建议在二轮复习的时全面掌握好基础知识点的灵活运用，适当提升学生的思维高度，让学生从更深的层次认识函数的本质.
真题在线
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·山东·高三专题练习）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·全国·统考高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·全国·统考高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
16．（2020下·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
17．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
18．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
19．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
20．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
21．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
22．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
23．（2021上·高一课时练习）已知函数是偶函数，则 .
24．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
基础考点
【考点一】函数的定义域与值域
【典例精讲】（多选）（2023·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2022上·湖北襄阳·高一襄阳四中阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则的取值范围是
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．已知函数，则函数的值域为
三、填空题
4．（2023·北京延庆·统考一模）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ．
5．（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 .
【考点二】相等函数与函数解析式
【典例精讲】（多选）（2023·江西·校联考模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·辽宁大连·高三学业考试）下列函数中，与函数相同的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·统考二模）已知函数满足，则可能是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，值域为，，则（ ）
A．B．
C．D．是函数的极小值点
三、填空题
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
5．（2023·江西九江·校考模拟预测）若三角形的面积为S（），底边长为，底上的高为h（），则h关于S的函数关系式是 ．
【考点三】函数的图象
【典例精讲】（多选）（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．函数的值域为
D．直线与函数的图象有2个交点
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若（是的导函数），且关于x的方程恰有5个实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·校联考一模）已知函数，则函数的图象的可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023上·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）设定义域为的函数,若关于的方程有五个不同的解,且从小到大分别为,则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．（2023下·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第 象限.
5．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下图所示：
横轴为投资时间（单位：天），纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是 ；
①投资3天以内（含3天），采用方案一；
②投资4天，不采用方案三；
③投资6天，采用方案二；
④投资10天，采用方案二.
【考点四】分段函数
【典例精讲】（多选）（2023·海南·统考模拟预测）已知符号函数，
函数则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数在上的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．方程的所有实根之和为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数的最大值为0，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·浙江·校联考二模）已知函数，则（ ）
A．f（x）是单调递增函数B．
C．D．
三、填空题
4．（2022上·浙江温州·高一校考期中）用表示､两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是 .
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则 ．
【考点五】一次函数与二次函数
【典例精讲】（多选）（2023·河北沧州·校考三模）已知二次函数满足，；当时，.函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，为自然对数的底数，则（ ）
A．函数的最小值为
B．
C．
D．函数的导函数的最小值为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形中，已知，，，点在边上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考期末）已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是或
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
三、填空题
3．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）设函数是上的减函数，则的取值范围是 .
4．（2022上·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
5．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时， ；若对都有，则实数的取值范围为 .
综合考点
【考点一】指数函数
【典例精讲】（多选）（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）已知函数，则（ ）
A．在定义域上单调递增B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C．的图象关于点对称D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2020·陕西榆林·陕西省神木中学校考一模）已知函数，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
二、多选题
3．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
三、填空题
4．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，则的值域为 ．
5．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟．
【考点二】对数函数
【典例精讲】（多选）（2021·江西·校联考模拟预测）已知函数，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·山东德州·统考三模）已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·福建宁德·校考二模）下列结论正确的是（ ）
A．，
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
三、填空题
4．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若函数，则不等式的解集为 .
5．（2022·浙江温州·统考模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是
【考点三】幂函数
【典例精讲】（多选）（2023·安徽合肥·统考一模）已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖南永州·统考一模）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
二、多选题
3．（2020·山东济宁·统考模拟预测）已知函数的图象过点（3，27），下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象过原点B．函数是奇函数
C．函数是单调减函数D．函数的值域为
三、填空题
4．（2024·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ．
5．（2023·江苏常州·校联考一模）函数的定义域为 ．
【考点四】函数与方程
【典例精讲】（多选）（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：（和均为大于0的常数），为反应速率常数（与反应速率成正比），为热力学温度（），在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中，与的值保持不变），则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川甘孜·统考一模）设定义在上的函数是偶函数，且，是的导函数，当时，；当且时，，则函数在上的零点个数为（ ）
A．2B．4C．5D．8
2．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数（其中），下列说法正确的是（ ）
A．存在使有3个零点
B．存在使有4个零点
C．不存在使有5个零点
D．若有6个零点，则的取值范围为
三、填空题
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为 .
5．（2023·上海金山·统考一模）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ．
培优考点
【考点一】函数性质综合
【典例精讲】（多选）（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的值域为
D．方程最多有8个根，且这些根之和为
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·北京·校考模拟预测）设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南开封·统考三模）已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
二、多选题
3．（2022上·山东·高三滕州市第一中学新校校联考阶段练习）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（ ）
A．若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B．若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C．若函数，则函数的值域为
D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为
三、填空题
4．（2023·浙江·统考一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是 ．
①；②；③；④
【考点二】嵌套函数问题
【典例精讲】（多选）（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·校联考二模）已知函数，若关于的方程有且仅有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
三、填空题
4．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
5．（2023·吉林·统考一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ．
总结提升
1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0＜a＜1，a＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.
2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，eq \f(1,2)，－1五种情况.
3.判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在定理判断.
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
4.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
5.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.
6.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
7.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
8.函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称.
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于(a，b)对称.
9.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
10.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等问题.
专项检测
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川宜宾·统考一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020上·高一单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西商洛·统考一模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·四川成都·成都七中校考一模）与有相同定义域的函数是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数 ，若关于 的方程有3个实数解，且则的最小值是（ ）
A．8B．11C．13D．16
7．（2023·全国·模拟预测）设函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·校联考模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数是偶函数
D．函数是偶函数
10．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的且．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数
B．若只有一个零点，则
C．当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为
D．对于任意的，一定存在极值
三、填空题
13．（2023·安徽·校联考模拟预测）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
则的最小值为 .
14．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知的，的定义域为，且（），，若为奇函数，则 .
15．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
16．（2023·全国·模拟预测）已知若函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ．考点
考情分析
考频
函数图象
2022年全国甲卷T7
2022年全国甲卷T8
1年2考
函数与方程
2023年全国甲卷T10
函数应用
2021年全国甲卷T6
指数与对数运算
2022年新高考Ⅰ卷T7
2021年新高考Ⅱ卷T7
2年2考
函数的基本性质
2023年新高考Ⅰ卷T11
2023年全国甲卷T13
2023年全国乙卷T4
2023年全国乙卷T16
2022年新高考Ⅰ卷T12
2022年新高考Ⅱ卷T8
2022年全国乙卷T12
2年7考
基本初等函数
2022年全国乙卷T16
2021年全国甲卷T4
2年2考
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40