高三数学高考高分突破之概率统计专题21 比赛问题（解析版）29

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②甲队打三局获得冠军的概率为
甲队获得冠军的概率为.
例2． 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每
同中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结東时比赛停止的概率为，
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有．解得或（舍．
（2）依题意知，依题意知，的所有可能值为2，4，6，8．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，
，．
所以随机变量的分布列为：
则．
例3． 一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
（1）得60分的概率；
（2）所得分数的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件，
“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件，
“有一道题不理解题意”选对的为事件，
（A），（B），（C），
得60分的概率为．
（2）可能的取值为40，45，50，55，
；
；
，
的分布列：
例4． 为增强学生体质,学校组织体育社团,某宿舍有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.
(Ⅰ)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；
(Ⅱ)用分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量为和的乘积,求随机变量的分布列与数学期望.
【解析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰有个人参加篮球社团”为事件
则，，这4个人中恰有1个人参加篮球社团的概率.
（Ⅱ）由已知得的所有可能取值为0，3，4



的分布列为：
.
例5． 某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.

(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；
(Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为，求的分布列和数学期望.
【解析】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。
记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A.
则.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
，
故随机变量X的分布列为
X的数学期望.
例6． 篮球运动于1891年起源于美国，它是由美国马萨诸塞州斯普林菲尔德（旧译麻省春田）市基督教青年会（）训练学校的体育教师詹姆士·奈史密斯博士（）发明.它是以投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性体育运动之一，是可以增强体质的一种运动.已知篮球的比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，3分线内侧投入可得2分，不进得0分.经过多次试验，某人投篮100次，有20个是3分线外侧投入，30个是3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.
（1）求该人在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
（2）求该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率；
（3）求该人两次投篮后得分的分布列及数学期望.
【解析】（1）“3分线外侧投入”“3分线内侧投入”“不能入篮”分别记为事件，，，则由题意知：，，.
（1）因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为
.
（2）记“该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入”为事件，则“该人在4次投篮中没有一次是3分线外侧投入”为事件.
易知，
则.
即该人在4次投篮中至少有一次是3分线外侧投入的概率为.
（3）两次投篮后得分的得分可能取值为0，2，3，4，5，6，
由于该人两次投篮互不影响，是相互独立事件，
表示两次投篮都不能入篮，则；
表示一次是3分线内侧投入，另一次不能入篮，则；
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，则；
表示两次都是3分线内侧投入，则；
表示一次是3分线外侧投入，另一次是3分线内侧投入，则；
表示两次都是3分线外侧投入，则.
所以的分布列为
数学期望为.
例7． 中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集训并进行队内选拔．选手与三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，选手获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响．
（1）若选手至少获胜两场的概率大于，则该选手入选世乒赛最终名单，否则不予入选，问选手是否会入选；
（2）求选手获胜场数的分布列和数学期望．
【解析】（1）
∵∴会入选
（2）的可能值为0，1，2，3．
，
；
，
所以，X的分布列为：
例8． 某球员是当今国内最好的球员之一，在赛季常规赛中，场均得分达分。分球和分球命中率分别为和，罚球命中率为.一场比赛分为一、二、三、四节，在某场比赛中该球员每节出手投分的次数分别是，，，，每节出手投三分的次数分别是，，，，罚球次数分别是，，，（罚球一次命中记分）。
（1）估计该球员在这场比赛中的得分（精确到整数）；
（2）求该球员这场比赛四节都能投中三分球的概率；
（3）设该球员这场比赛中最后一节的得分为，求的分布列和数学期望。
【解析】（1）估计该球员分得分为：分；
分得分为：分；
罚球得分为：分
估计该球员在这场比赛中的得分为：分
（2）第一节和第三节能投中分球的概率为：
第二节和第四节能投中分球的概率为：
四节都能投中分球的概率为：
（3）由题意可知，所有可能的取值为：
则；
；；
；
的分布列为：
数学期望
例9． 甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分.
(1)求的概率；
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.
【解析】(1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，
故.
(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A，甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η，
则η～
，
，
，
，
，
，
，
∴所求概率为.
例10．羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在一局比赛中，甲先发球．
（1）求比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率；
（2）表示3个回合后乙的得分，求的分布列与数学期望．
【解析】解：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，3，且事件相互独立．
（1）记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，
则事件发生表示事件或或发生，
且，，互斥．
又，
，
．
由互斥事件概率加法公式可得
．
答：3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336．
（2）因表示3个回合后乙的得分，则0，1，2，3．
，，
．
．
所以，随机变量的概率分布列为
故随机变量的数学期望为
=．
答：的数学期望为1.376．
例11．某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为，其它情况下，选手每答对一题得分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加分，若次全答对，则额外加分.已知某选手每次答题的正确率都是，且每次答题结果互不影响.
求该选手恰答对道题的概率；
记为该选手参加比赛的最终得分，求的分布列与数学期望.
【解析】该选手每次答题的正确率都是，四道题答对的情况有种
恰答对道题的概率
由题可能的取值为
，，
的分布列如下
.
例12．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
【解析】(1)用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， 表示“第局甲获胜”， 表示“第局乙获胜”.则， .
.
(2)的可能取值为.
.
.
故的分布列为
所以.
例13．甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛 QUOTE 2n(n∈N+) 局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 QUOTE P(n) .
（1）求与 QUOTE P(3) 的值；
（2）试比较 QUOTE P(n) 与 QUOTE P(n+1) 的大小，并证明你的结论.
【解析】（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局
所以 QUOTE P(2)=C43(12)4+C44(12)4=516
同理 QUOTE P(3)=C64(12)6+C65(12)6+C66(12)6=516
（2）在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局
故 QUOTE P(n)=C2nn+1(12)2n+C2nn+2(12)2n+⋯+C2n2n(12)2n
所以 QUOTE P(n+1)=12(1−C2n+2n+122n+2)
又因为 QUOTE C2nn22nC2n+2n+122n+2=4C2nnC2n+2n+1=4(2n)!n!n!(2n+2)!(n+1)!(n+1)!=4(n+1)2(2n+2)(2n+1)=2(n+1)2n+1>1
所以 QUOTE C2nn22n>C2n+2n+122n+2 ，所以 QUOTE P(n)例14．如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
【解析】（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以．
因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；
其概率为，
第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．
（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为：
．
2
4
6
8
40
45
50
55
60
0
3
4
0
1
2
3
0
2
3
4
5
6
P





0
1
2
3
0
1
2
3
0.216
0.336
0.304
0.144
X
0
3
4
6
P
2
3
4
5
2
3
4
5