江苏省宿迁市崇文初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省宿迁市崇文初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（ ）
A．平均分B．众数C．中位数D．极差
3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ）

A．B．C．D．2
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的直径，弦，若的度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线与x轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与x轴相交于、两点，下列式子正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB∥x轴，点C的坐标为（6，3），反比例函数的图象经过A，P两点，则k的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )．
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知是方程的一个实数根，则 ．
10．在不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色外其它都相同，这n个球中有5个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回，通过大量试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是 ．
11．已知：，则锐角的度数为 ．
12．用半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm.
13．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是 ．
14．已知线段，若C，D是的两个黄金分割点，则长为 ．
15．如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 ．
16．如图，中，点是的中点，在上，且与交于点，则的值为 ．
17．二次函数（）的图像与直线交于点、两点，则关于的不等式的解集为 ．
18．设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”，则下列结论：①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”；④是函数，的“逼近区间”．其中说法正确的有 ．（填写序号）
三、解答题
19．（1）解方程：；
（2）计算：．
20．某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选中其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：
（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
21．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯．
(1)如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______；
(2)请你用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为点、、.
（1）的外接圆圆心的坐标为 .
（2）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点与点对应，位似比为2：1，②点坐标为 .
（3）的面积为 个平方单位.
23．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，且．
(1)求的长；
(2)若的面积为4，求四边形的面积．
24．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
(1)求点B距水平地面AE的高度；
(2)求广告牌CD的高度．
25．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，由碾盘、碾砣、碾框、碾管芯、碾棍孔、碾棍等组成石碾分上下两部分，上面的叫碾砣，下面的叫碾盘，碾砣被固定在碾框上（碾齿深的那头在中间）而碾框是用硬木（一般是枣木）做成的架子，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，AC为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径的长．
26．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（，且x为整数）元．
(1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出______个台灯（用含x的代数式表示）；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
(3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
27．如图1，已知、都是等腰直角三角形，，，E为的中点，将绕点B顺时针旋转角，如图2，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的值；
(3)当A、D、E三点在同一直线上时，求的长．
28．如图（1），已知点P是抛物线的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点E．
(1)若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A 、B 、P （可用含m的代数式表示）．
(2)如图（1），①求证：；②连接PA．求证：
(3)解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题：
①如图（1）抛物线中字母a、c满足什么条件才能使．并说明理由；
②如图（2）抛物线中字母a、b、c满足什么条件才能使．请直接写出结论．
4
3
2
1
车库
参考答案：
1．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、中，未知数的次数是1，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、中，含有分式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】根据中位数的定义即可求解．
【详解】统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查中位数的性质，解题的关键是熟知中位数的定义．
3．B
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解．
【详解】解：连接，如图所示：

设小正方形边长为，
，，，
，
∴是直角三角形，
在中，，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查的是二次函数的顶点式．根据二次函数的性质“二次函数的顶点坐标是”进行解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
5．B
【分析】根据平行线的性质可得∠AOD的度数，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可求得结果．
【详解】解：弦，的度数为，
∴，
∴（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，同弧所对的圆心角与圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．A
【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线开口向下，所以抛物线向下平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变短解答即可．
【详解】解：抛物线与轴相交于、两点，
抛物线的对称轴为直线，
将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线上下平移对称轴不变，
，即，
抛物线开口向下，
将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变短，
，
故选：A
7．C
【分析】根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点坐标，进而求得的值，再利用一次函数性质即可求解．
【详解】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
．
过点和点作轴的垂线，垂足为和，
，
，
点的坐标为，
，，
，，
点的坐标为，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，解题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
8．D
【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：
，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即 ，
，
在中，由勾股定理得： ，
的最小值 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
9．-2
【分析】可将x＝1代入方程即可得到一个关于p的方程，解方程即可求出p值．
【详解】解：把x＝1代入方程可得：1＋p＋1＝0，
解得p＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
10．100
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是所列方程的解，
故估计大约是100．
故答案为：100．
11．75°
【分析】由可知，据此解题．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的正切值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．5
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得：，
故圆锥的底面半径为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握弧长公式．
13．
【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度．
【详解】


故答案为：．
【点睛】本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键．
14．/
【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
如图：根据黄金比值，求出的长，根据即可解答．
【详解】解：如图：∵C、D是上的两个黄金分割点，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查扇形面积的计算，旋转的性质，关键是求出扇形的面积，等边三角形的面积．连接，由旋转的性质得到由旋转的性质得，扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积，求出扇形的面积，等边三角形的面积，即可得到扇形空白部分的面积．
【详解】解：连接，过点C作，
由旋转的性质得：，扇形的面积扇形的面积，
扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积，
，
是等边三角形，
，
，
，
扇形的面积，,
∴，
等边三角形的面积，
扇形空白部分的面积扇形的面积的面积．
故答案为：．
16．/
【分析】本题主要考查了中位线定理、三角形相似的判定和性质，平行线的性质．结合条件进行几何推导是解题关键．取中点可证得，进一步推出故可得出结论．
【详解】解：取中点，连接，如图所示：

∵点是的中点，
∴，，
∵，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点G为中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．/
【分析】由题意，可大致画出函数图像，根据图形的对称性，求出点C、D的横坐标，即可求解．
【详解】解：由题意，可大致画出函数图像如下，
则直线关于y轴对称的直线为，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点D、C，
则点C、D的横坐标分别为-1、2，
观察函数图像的解集为，
即关于的不等式解集为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题．
18．②③
【分析】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【详解】解：①，在上，当时，最大值为，当时，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”不正确；
②，在上，当时，最大值为1，当时，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”正确；
③，在上，当时，最大值为，当或时，最小值为，即，当然也成立，故是函数，的“逼近区间”正确；
④，在上，当时，最大值为，当时，最小值为，即，故是函数，的“逼近区间”不正确；
正确的有②③，
故答案为：②③．
19．（1），；（2）1
【分析】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）先代入三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】解：（1），
，
，
则或，
解得，；
（2）原式
20．（1），；（2）见解析；（3）300人
【分析】（1）用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值j即可；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【详解】（1）抽取的学生人数为人，
所以．
（2）最喜欢“生活应用”的学生数为（人）．
条形统计图补全如下：
（3）该要校共有1200名学生，可估计全校最喜欢“数学史话”的学生有；人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
(1) 根据简单概率公式计算概率即可．
(2) 画树状图法计算概率即可．
【详解】（1）一共有4种等可能性，其中甲在1层出电梯可能性有1种，
故乙和甲在同一层楼出电梯的概率是．
（2）根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能性，其中，甲乙从相邻电梯处的可能性有6种，
故甲、乙在相邻楼层出电梯的概率是．
22．（1）；（2）①见解析；②；（3）4
【分析】（1）由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故只要利用网格特点作出AB与AC的垂直平分线，其交点即为圆心M；
（2）根据位似图形的性质画图即可；由位似图形的性质即可求得点D坐标；
（3）利用（2）题的图形，根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：（1）如图1，点M是AB与AC的垂直平分线的交点，即为△ABC的外接圆圆心，其坐标是（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）①如图2所示；②点坐标为（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（3）的面积=个平方单位.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了三角形外心的性质、坐标系中位似图形的作图和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
23．(1)3
(2)18
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）由四边形为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形与三角形相似，由相似得比例，得到，设，表示出与，求出的值，即可确定出的长；
（2）由相似三角形相似比为，得到，．已知的面积，则由线段之比，得到与的面积，从而得到，最后由求解．
【详解】（1）平行四边形，
，，，
，，
，
，
为中点，
，即，
，
即，
设，则有，，，
，
解得：，
，
；
（2），且相似比为，
，
，．
，
．
．
24．(1)6米
(2)约为米
【分析】（1）过点作于点，先根据坡度的定义可得，从而可得，再根据直角三角形的性质即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
山坡的坡度，米，
，
，
米，
故点距水平地面的高度为6米．
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
则四边形是矩形，
米，
米，
米，
米，
米，
在中，，，
米，
米，
在中，，米，
，
解得（米），
（米），
答：广告牌的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，再根据平行线和等腰三角形的性质可得平分，从而可得，然后利用证明，从而可得，即可解答；
（2）先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
的半径的长为．
26．(1)
(2)台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个
(3)台灯售价定为59元时，每月销售利润最大．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程和函数关系．
（1）根据售价上涨元后，销售量减少个，列代数式即可；
（2）根据售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，列一元二次方程，求解即可；
（3）设销售利润为元，求得与的函数关系，再根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】（1）售价上涨元后，销售量减少个，此时的销售量为个，
故答案为：；
（2）由题意可得：，
化简得：，
解得：或，
，
，，，
即台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个；
（3）设每月的销售利润为，
根据题意得：，
，取整，
当时，有最大值，最大值为11890，
此时售价为：（元，
答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大．
27．(1)见解析
(2)
(3)长为或．
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是等边三角形是解本题的关键．
（1）先判断出，再判断出夹角相等，即可得出结论；
（2）先判断出是等边三角形，进而判断出，求出，借助（1）的结论得出比例式，即可得出结论；
（3）分两种情况：先判断出，利用勾股定理求出，进而得出，最后借助（1）结论得出比例式，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在中，，，
，
，
同理：，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，旋转前，点是的中点，
，
在中，
取的中点，连接，
，
，
由旋转知，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
；
（3）①当点在线段上时，如图3，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
，
由（1）知，，
，
；
②当点在线段的延长线上，如图4，
同①的方法得，，
，
由（1）知，，
，
，
即：满足条件的长为或．
28．(1)(m，-m2+1)，(-m，-m2+1)，(0，1)；
(2)① 见解析；②见解析；
(3)①ac=-1，理由见解析；②4ac-b2=-4
【分析】（1）由矩形的性质，抛物线的对称性可求点的坐标；
（2）①分别求出PB2=m2+m4，PD2=m2+1，BD2=4m2+（-m2+1）2，再由勾股定理得BD2=PB2+PD2，即可证明；②证明△PEA∽△PAD，即可求解；
（3）①由P（0，c），B（-m，-am2+c），D（m，0），分别求出PB2，PD2，BD2，再由BD2=PB2+PD2，可得2ac+4=2，即可得ac=-1；②设y=a（x-h）2+k，则P（h，k）设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h-m，am2+k），分别求出PB2，PD2，BD2，由BD2=PB2+PD2，可得2ak+1=0，又由，得到方程，即可得4ac-b2=-4．
【详解】（1）∵D点坐标为（m，0），四边形ABCD是矩形，
∴A点横坐标是m，
∵点A在该抛物线上，
∴A（m，-m2+1），
∵B点与A点关于y轴对称，
∴B（-m，-m2+1），
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴顶点P（0，1），
故答案为：(m，-m2+1)，(-m，-m2+1)，(0，1)；
（2）①∵D（m，0），B（-m，-m2+1），P（0，1），
∴PB2=m2+m4，PD2=m2+1，BD2=4m2+（-m2+1）2，
∵BD2=4m2+（-m2+1）2=m4+2m2+1=PB2+PD2，
∴△BPD是直角三角形，
∴∠BPD=90°；
②∵∠BPD=90°，∠EAD=90°，∠PEB=∠AED，
∴∠PBA=∠PDE，
∵PB=PA，
∴∠PBA=∠PAB，
∴∠PAD=∠PAE+90°=∠PBA+90°，
∠PEA=90°+∠PDA，
∴∠PAD=∠PEA，
∴△PEA∽△PAD，
∴，
∴PA2=PD•PE；
（3）①∵y=ax2+c，
∴P（0，c），B（-m，-am2+c），D（m，0），
∴PB2=m2+a2m4，PD2=m2+c2，BD2=4m2+（-am2+c）2，
∵∠BPD=90°；
∴BD2=PB2+PD2，
∴4m2+（-am2+c）2=a2m4+2acm2+c2=m2+a2m4+m2+c2，
∴2ac+4=2，
∴ac=-1；
②设y=a（x-h）2+k，
∴P（h，k），
设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h-m，am2+k），
∴PB2=m2+a2m4，PD2=m2+k2，BD2=4m2+（am2+k）2，
∵∠BPD=90°；
∴BD2=PB2+PD2，
∴4m2+（am2+k）2=m2+a2m4+m2+k2，
∴ak+1=0，
∵，
∴，
∴4ac-b2=-4．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，三角形相似的判定及性质是解题的关键．