河南省南阳市新野县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市新野县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在实数1、、、中，最大数是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故选：D．
2. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案．
【详解】解：A、与2不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( )
A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图
【答案】C您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 【解析】
【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比．
【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．
故选C．
【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键．
4. 已知，则代数式值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解及代数式求值，将代数式适当变形，再将整体代入计算即可．
详解】解：
，
．
故选：C ．
5. 如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作 ，交于E，交于F，若，则的长是（ ）
A. 4B. 2.5C. 2D. 1.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线和平行线的性质证明，则，同理可证，即可得到．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟知相关知识是解题的关键．
6. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，的面积为（ ）
A. B. C. 或D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形，勾股定理．根据等腰三角形的定义分两种情况，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：当时，
过A作，交于点E，
，
∵，
∴，
由勾股定理， ，
∴，
当时，
∵不满足小于，
∴此种情况不存在，
故选：B．
7. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
8. 如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，

，，
，，
，，
则所走的最短路径的长是；
第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，

，，
，，
所以走的最短路径的长是；
第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，

，，，
，
则所走的最短路径的长是；
，
所走的最短路径的长是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．
9. 如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
四边形的面积
．
故选：A．
10. 在和中，．已知，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
13. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）．
【答案】②
【解析】
【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．
【详解】∵已知，且
∴若添加①，则可由判定≌；
若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌；
若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌．
故答案为②．
【点睛】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．
14. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________．

【答案】5
【解析】
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15. 如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵，，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
三、解答题（共8小题）
16. （1）计算：；
（2）化简．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，整式的化简，
（1）利用平方根和立方根的性质计算，再加减即可解答；
（2）利用积的乘方的计算法则，合并同类项，多项式除以单项式，依次计算即可；
熟练掌握平方根和立方根的性质，整式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）
，
；
（2）
，
．
17. 先化简，再求值：（2x+1）（1﹣2x）﹣2（x+2）（x﹣4）+（2x﹣1）2，其中x＝﹣．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式，进行化简，再将字母的值代入求解即可
【详解】解：原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了整式的化简求值，代数式求值，实数的运算，正确的计算是解题的关键．
18. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【解析】
【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
19. 为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了m名学生，将一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下的统计图和统计表：

请结合上述信息完成下列问题：
（1）_________，_________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是_________；
（4）若该校有1600名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生一分钟跳绳次数达到合格及以上．
【答案】（1）40，14
（2）见解析 （3）
（4）1440名
【解析】
【分析】（1）根据优秀等级的频数和所占百分比可求出m，用m减去已知各部分的频数可求出n；
（2）根据合格和优秀的人数，即可补全图形；
（3）用乘以“良好”等级人数所占百分比即可；
（4）用总人数乘以样本中一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数所占比例即可．
【小问1详解】
，
．
故答案为：40，14；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是，
故答案为：108°；
【小问4详解】
名
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数为1440名．
【点睛】此题考查查了频数分布直方图，频数分布表，扇形统计图，以及利用统计图获取信息的能力，解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
20. 如图，在和中，，点A、C、D依次在同一直线上，且．
（1）求证：；
（2）连接，当时，求边上的高．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求出，再由三角形的面积公式计算，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：作交的延长线于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的边上的高是．
21. 学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接，将拼接后的四边形ABDF分成两个三角形，根据题中信息，先证明△BAF为等腰直角三角形，进而得出中相关线段长，求出各个图形面积，再利用拼接前后两个图形的面积相等即可得证．
【详解】证明：连接BF，如图所示：
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAF为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2＝c2+（b2﹣a2），
∴b2＝c2+b2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．
22. 如图是盼盼家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
（1）当他在甲房间时，测得米，米，且，求甲房间的宽；
（2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，．
①的度数；
②求乙房间的宽．
【答案】（1）米
（2）①；②米
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，求出的长，根据直角三角形的性质，得到，由此可证得，求得的长，即可求出甲房间的宽；
（2）①由已知可直接求得答案；
②过点N作，垂足为C，先证明是等边三角形，然后证明，得到米，即得答案．
【小问1详解】
在中，米，米，
米，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
米，
米，
甲房间的宽为米；
【小问2详解】
①，，
，
的度数为；
②过点N作，垂足为C，
，
由题意得，
，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
米，
乙房间的宽为米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
23. 如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．

（1）直接写出与的关系；
（2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：；
（3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长．
【答案】（1）且
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】对于（1），先证明≌即可得出数量关系，再根据角之间的关系得出位置关系；
对于（2），设交于O，先证明，可得结论；
对于（3），连接，首先证明，利用勾股定理求出线段，再证明≌推出，即可解决问题．
【小问1详解】
结论：且．
理由：如图1中，延长交一点O．

∵和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴≌，
∴，.
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图2中，设交于O．

由（1）可知≌，
∴，.
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
即，
∴；
【小问3详解】
如图3中，连接，

∵，，
∴，.
∵，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴≌，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．等级
次数
频数
不合格
4
合格
良好
12
优秀
10