辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三高考适应性考试模拟数学试题

这是一份辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体2024届高三高考适应性考试模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合S=ss=2n+1,n∈Z，T=tt=4n+1,n∈Z，则S∩T=（ ）
A．∅B．SC．TD．Z
2．已知复数z满足z=1且有z5+z+1=0，则z=（ ）
A．−12±32iB．12±32i
C．22±22iD．32±12i
3．已知α，β均为锐角，且cs(α+β)=sinαsinβ，则tanα的最大值是（ ）
A．4B．2C．24D．25
4．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A．fx=x−sinxB．fx=sinx−xcsxC．fx=x2−1x2D．fx=sinx+x3
5．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为y=1.1x，第n（n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线l:y=x+1交于点Anxn,yn和Bnx′n,y′n，则n=020yny′n=（ ）参考数据：1.122=8.14．
A．814B．900C．914D．1000
6．表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．4πB．8πC．12πD．16π
7．已知定点P(m,0)，动点Q在圆O：x2+y2=16上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．设a=cs0.1，b=10sin0.1，c=110tan0.1，则（ ）
A．a599600
因为c=110tan0.1=cs0.110sin0.1，
令qx=csx−1+x22−x424，x∈0,π2，
则q′x=−sinx+x−x36，令wx=q′x=−sinx+x−x36，
则w′x=−csx+1−x22，令ex=w′x=−csx+1−x22，
则e′x=sinx−x，令rx=e′x=sinx−x，
则r′x=csx−10,tx是单调递增的,
所以x2>2e−x3,x2+x3>2e⑤
由①②⑤可知x1+3x2+x3>2e+1e
【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题,
证明的方法总结:先构造hx=tx−t2e−x,再确定hx的单调性,
结合特殊值he=0得到tx−t2e−x>0再利用单调性可得x2+x3>2e.
19．(1)x12+x22=3，y12+y22=2；
(2)52
(3)椭圆C上不存在三点D、E、G，使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG=62
【分析】（1）根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；
（2）由（I）可求线段PQ的中点为M，代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值；
（3）假设存在D(u，v)，E(x1，y1),G(x2，y2)，满足S△ODE=S△ODG=S△OEG=62，由（1）得u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3，v2+y12=2，v2+y22=2 ，y12+y22=2，从而得到D、E、G的坐标，可以求出DE、DG、EG方程，从而得出结论.
【详解】（1）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=−y2
∵P(x1，y1)在椭圆上
∴x123+y122=1 ①
又∵S△OPQ= 62，
∴x1y1=62 ②
由①②得x1=62，y1=1．此时x12+x22=3，y12+y22=2；
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m，m≠0，将其代入x23+y22=1得
3k2+2x2+6kmx+3m2−2=0
故Δ=36k2m2−123k2+2m2−2＞0即3k2+2>m2
又∵ x1+x2=−6km3k2+2， x1x2=3m2−23k2+2
∴PQ=1+k2x1+x22−4x1x2=1+k2263k2+2−m23k2+2
∵点O到直线l的距离为d=|m|1+k2
∴ S△OPQ=121+k2263k2+2−m23k2+2⋅|m|1+k2=6|m|3k2+2−m23k2+2
又∵ S△OPQ=62
整理得3k2+2=2m2
此时x12+x22=x1+x22−2x1x2 =(−6km3k2+2)2−2×3m2−23k2+2=3
y12+y22=233−x12+233−x22=4−23x12+x22=2
综上所述x12+x22=3，y12+y22=2．结论成立．
（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，由（1）知
OM=x1=62，PQ=2y1=2
因此OM⋅PQ=6．
（ⅱ）当直线l的斜率存在时，由（1）知x1+x22=−3k2m,y1+y22=kx1+x22+m=−3k2+2m22m=1m
|OM|2=x1+x222+y1+y222=9k24m2+1m2=6m2−24m2=123−1m2
|PQ|2=1+k2243k2+2−m22+3k22=22m2−1m2=22+1m2
所以|OM|2|PQ|2=123−1m2×2×2+1m2=3−1m22+1m2
≤3−1m2+2+1m2222=254
|OM|⋅|PQ|≤52 ．当且仅当3−1m2=2+1m2，
即m=±2时，等号成立．
综合（1）（2）得|OM|⋅|PQ|的最大值为52.
（3）椭圆C上不存在三点D、E、G，使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG=62
证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1),G(x2，y2)，满足S△ODE=S△ODG=S△OEG=62
由（1）得u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3，v2+y12=2，v2+y22=2 ，y12+y22=2
解得：u2=x12=x22=32，v2=y12=y22=1.
因此u，x1，x2从集合62，-62中选取，v，y1，y2从集合−1,1中选取；
因此D、E、G只能从点集(62,1)，(−62,1)，(62,−1)，(−62,−1)这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与S△ODE=S△ODG=S△OEG=62矛盾.
所以椭圆C上不存在三点D、E、G，使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG=62
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力.
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
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