沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题05 一元二次方程的解法 （专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题05 一元二次方程的解法 （专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北新乐·九年级期末）一元二次方程的根为（ ）．
A． B． C．，D．，
2．(本题4分)(2023·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(本题4分)（2022·湖北松滋·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．(本题4分)(2023·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21B．，69C．4，21D．，11
5．(本题4分)（2022·云南昆明·九年级期末）一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m＝﹣2C．m＝1D．m＝﹣2或m＝1
6．(本题4分)(2023·内蒙古呼和浩特·九年级期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜5
7．(本题4分)(2023·四川游仙·一模）关于x的方程（m﹣1）x2＋x＋m2＋2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（ ）
A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0
8．(本题4分)（2022·甘肃麦积·九年级期末）已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（ ）
A．3B．3或-4C．8D．3或8
9．(本题4分)(2023·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2018
10．(本题4分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的两个根，则代数式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·江苏无锡·九年级期末）用配方法将方程化成的形式：________．
12．(本题5分)(2023·四川新都·一模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是___．
13．(本题5分)(2023·广东·华南师大附中九年级阶段练习）若直角三角形两边长x，y满足，则其第三条边长为______．
14．(本题5分)(2023·广东越秀·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)(2023·贵州毕节·九年级期中）用适当的方法解下列方程
（1）2（x－1）2＝18；
x2－2x＝2x＋1
16．(本题8分)(2023·山东即墨·九年级期中）解方程
(1)配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；
(2)（x＋2）（x＋3）＝1
17．(本题8分)(2023·山西·介休市第三中学校九年级阶段练习）先阅读材料，然后按照要求答题。
阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为：
①
解得：
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴原方程的解为：，
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解决问题：若，求的值。
18．(本题8分)(2023·江苏丰县·模拟预测）解方程
(1)解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
(2)解不等式组，并写出它的最大负整数解．
19．(本题10分)(2023·上海市建平中学西校八年级阶段练习）我们知道：对于任何实数x．
①∵x2≥0，
∴x2+1＞0；
②∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+＞0．
模仿上述方法解答：
求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；
不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值．
20．(本题10分)（2022·北京·九年级期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，
(1)计算：________；
(2)判断是否为一元二次方程，并求解．
(3)判断方程的根是否为，，并说明理由．
21．(本题12分)（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
22．(本题12分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．
(1)若，求m的值；
(2)令T＝＋，求T的取值范围．
23．(本题14分)（2022·江苏镇江·九年级期末）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程中令，则方程可变形为，
根据关于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．
(1)关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；
(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
(3)【猜想与证明】
双察下表中每个方程的解的特点：
猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；
(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．方程
方程的解
方程
方程的解
，
，
，
，
，
，
……
……
……
……
专题05 一元二次方程的解法 （强化练习）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·河北新乐·九年级期末）一元二次方程的根为（ ）．
A． B． C．，D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程特点，利用直接开平方法，先把方程两边开方，即可求出方程的解．
【详解】
解：，
两边直接开平方，得，
则．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法的基本步骤及方法．
2．(本题4分)(2023·山东·费县第二中学九年级阶段练习）若方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到a是非负数，由此求得a的取值范围．
【详解】
解：∵（x-4）2=a有解，
∴a≥0，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直接开平方法解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．
3．(本题4分)（2022·湖北松滋·九年级期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在方程的左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】

故选D．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
4．(本题4分)(2023·河北·金华中学九年级阶段练习）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21B．，69C．4，21D．，11
【答案】A
【解析】
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
则，
即，
∴，，
故选A．
【点睛】
本题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的求解过程．
5．(本题4分)（2022·云南昆明·九年级期末）一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m＝﹣2C．m＝1D．m＝﹣2或m＝1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程二次项系数不为0，且判别式△=0即可求解．
【详解】
解：∵方程为一元二次方程，
∴m-2≠0，解得m≠2，
∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式△=b²-4ac=4m²-4(m-2)×(-1)=4m²+4m-8=0，
解得：m1=-2，m2=1，
综上所述，m的取值范围为：：m1=-2或m2=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程判别式的使用，当△=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当△=b²-4ac0即可.
【详解】
证明：(1)∵2x2+4x+3
=2(x2+2x)+3
=2(x2+2x+1)+1
=2(x+1)2+1⩾1>0.
2x2+4x+3>0
(2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7)
=3x2−5x−1−2x2+4x+7
=x2−x+6
=(x−)2+>0，
∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值.
【点睛】
本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非负数的性质以及配方法的应用.
20．(本题10分)（2022·北京·九年级期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，
(1)计算：________；
(2)判断是否为一元二次方程，并求解．
(3)判断方程的根是否为，，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是一元二次方程，
(3)不是，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直接代入求值即可；
（2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可；
（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可
(1)
故答案为：
(2)
是一元二次方程
解得：
(3)
的根不是，
，则，即
【点睛】
本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
21．(本题12分)（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ＝y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
【答案】(1)， y， x或x＝﹣1
(2)x
【解析】
【分析】
（1 ）根据换元法设，可得关于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方程的解；
（ 2）根据分式的加减，可得：0，根据换元法，可得答案．
(1)
解：设y，则原方程化为：y，
方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y或2，
经检验：y和2都是方程y的解．
当y时，，解得x＝2；
当y＝2时，2，解得：x＝﹣1．
经检验：x和x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为:，y，x或x＝﹣1
(2)
解：原方程化为：0，
设y，则原方程化为：y0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y0的解．
当y＝1时，1，该方程无解；
当y＝﹣1时，1，解得：x．
经检验：x是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x．
【点睛】
本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注意两次解分式方程都要检验．
22．(本题12分)（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．
(1)若，求m的值；
(2)令T＝＋，求T的取值范围．
【答案】(1)1
(2)0