专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

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模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1 图2 图3
条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。
飞镖模型结论的常用证明方法：
例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数．
例3．（2022秋·广西八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（ ）
A．B．C．D．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）.

例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；
拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．
模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型

图1 图2
1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
例2．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：．
任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系．
例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．
（1）【定理证明】

已知：如图①，求证：．
（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．
（3）若，，则_______．（4）若，则_______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．
（5）若，，则_________．
（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________．
（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．

模型3、角内翻模型

图1 图2
条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；
条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
例1．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 ．

例2．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．

(1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ．
(2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行．
当时（如下图），则 ．

当时（如下图），则 ．
(3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行．
当时， ．当时， ．
例4．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数；
（2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
课后专项训练
1．（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图，中，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
2．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
3．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·广东八年级课时练习）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则 ．
5．（2023·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则 ．
6．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，，则的度数为 ．

7．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 ．

8．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，若≌，且，，则 ．
9．（2023春·四川·七年级统考期末）在四边形中，，．

(1)如图1，若，则__________度；
(2)如图2，作的平分线交与点E，若，求的度数；
(3)如图3，作和的平分线交于点E，求的度数．
10．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在中，∠A=60°，
（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ；
（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则；
（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，（内部有个点），则 ；
（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，，若，求n的值．
11．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质．
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．
（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
①②③
定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.
下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．
12．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．
（1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．
13．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:
（1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则
③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度
14．（2022秋·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，
研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由．
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由．
15．（2022秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）已知，在四边形ABCD中，．

（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
16．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为一镜面,为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线,此时反射角等于入射角，由此可知等于．
（1）两平面镜、相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B．
①如图2，当为多少度时，光线？请说明理由．
②如图3，若两条光线、所在的直线相交于点E，延长发现和分别为一个内角和一个外角的平分线，则与之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果）
（2）三个平面镜、、相交于点M、N，一束光线从点A出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点E，请直接写出、、与之间满足的等量关系．
17．（2023·江西新余·八年级统考阶段练习）已知，P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在下方且为y轴负半轴上一动点．
(1)如图①，若，，，求；(2)如图②，若、分别平分，P、Q、R在运动过程中，是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在．请说明理由；(3)如图③，若将R点改为y轴正半轴上一动点，且在P、Q及（2）中的条件不变的前提下，又有何数量关系？
18．（2023·山东·八年级假期作业）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用：（1）直接应用：①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．
19．（2023春·山东·七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边DE、分别经过点、，且，已知，则 ；
②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，那么 ；
（2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：①如图4，平分，平分，若，，求度数．②如图5，，的等分线相交于点，若，，则的度数为 ．


20．（2023·广东清远·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，．直接写出与，，之间的关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数．
（3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数．
21．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F．(1)若，则 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由．
22．（2023·江苏·八年级专题练习）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．
小丽的证法
小红的证法
证明：
如图2，连接并延长至点M，
，
（ 依据 ），
又∵，
，
∴．
证明：
∵，
（量角器测量所得），
∴，
（计算所得）．
∴（等量代换）．