2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.经过两点P(0,−3),Q(− 3,0)的直线的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为( )
A. (1,1)，2B. (1,1), 2C. (−1,−1)，2D. (−1,−1), 2
3.已知{an}是等差数列，a6=8，a8=6，则a14=( )
A. −14B. −6C. 0D. 14
4.已知函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值点的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.若椭圆C的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则C的离心率为( )
A. 2 19−110B. 4 13−217C. 45D. 35
6.若函数y=a+csxx在区间(0,π)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. [−π2,+∞)B. (−∞,−π2]C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)
7.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,n∈N*.记数列{an+1(an+3)(an+1+3)}的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，都有k>Tn，则实数k的取值范围为( )
A. [110,+∞)B. (110,+∞)C. [15,+∞)D. (15,+∞)
8.已知a=ln1311,b=213,c=sin1311−1113，则( )
A. a>b>cB. c>a>bC. b>c>aD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. {an2}为等比数列B. {lg|an|}为等差数列
C. 若an+1>an，则q>1D. 若Sn=3n+r，则r=−1
10.已知直线l：mx+ny=4与圆O：x2+y2=4相切.椭圆C：x29+y25=1.则( )
A. 点P(m,n)在圆O内B. 点P(m,n)在圆O上
C. 点P(m,n)在椭圆C内D. 点P(m,n)在椭圆C上
11.已知函数f(x)=2x3−5x2−1，则( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 当a>b时，f(a)+5a2>f(b)+5b2
D. 过点(0,0))可作三条直线与曲线y=f(x)相切
12.已知双曲线C：x2−y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是( )
A. PF1+PF2的最小值为4
B. 与C仅有公共点P的直线共有三条
C. 若P(4,3)，且P为线段MN的中点，则l的方程为y=x−1
D. 若l与C相切于点P(x0,−1)，则M，N的纵坐标之积为−4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线ax+y−a+1=0与直线(2a−1)x+ay−a=0平行，则实数a的值为______．
14.已知抛物线C：x2=y的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为38，则与C相切于弦AB端点的一条直线的方程为______．
15.已知P是椭圆C：y216+x27=1上的一个动点，点A(1,−1)，B(0,−3)，则PA+PB的最小值为______．
16.若实数t是方程ex−lnx=x+1x的根，则etlnt的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1：x+y+2=0，l2：x+y=0，直线l过点(10,−4)且与l1垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)设l分别与l1，l2交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn−n+2,n∈N*．
(1)证明：{Sn−n+1}为等比数列；
(2)设bn=n2(an−1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−alnx+1，a∈R．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F( 3,0)，且过(1, 32)．
(1)求C的方程；
(2)若过点(32,0)的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a)ex+a+b，a，b∈R．
(1)当a=0时，试判断f(x)的单调性；
(2)若f(x)>0，且a的取值集合中恰有3个整数，求b的取值范围．
22.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点P(1,2)，直线l与C交于A，B两点，且PA⊥PB．
(I)当l垂直于x轴时，求△PAB的面积；
(2)若PD⊥AB，D为垂足，求点D到直线4x−3y+13=0的距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：P(0,−3),Q(− 3,0)，
则kPQ=−3−00−(− 3)=− 3，
直线的倾斜角范围为[0,π)，
故所求的倾斜角为23π，即120°．
故选：C．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为(−1,−1)， 2．
故选：D．
直接利用圆的方程求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，{an}是等差数列，设其公差为d，
若a6=8，a8=6，则d=a8−a62=−1，
则a14=a8+6d=0．
故选：C．
根据题意，设该数列的公差为d，由通项公式求出d，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：f′(x)>0，函数f(x)单调递增，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
由导函数f′(x)的图象知，函数f(x)在(a,b)内，与x轴有四个交点，从左向右看，
第一个点处导数左正右负，是极大值点，
第二个点处导数左负右正，是极小值点，
第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，
第四个点处导数左正右负，是极大值点，
所以函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个．
故选：A．
根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得2×2b=2a+2c，所以4b2=a2+c2+2ac，而b2=a2−c2，
所以3a2−2ac−5c2=0，
即5e2+2e−3=0，解得e=35或−1(舍)．
故选：D．
由等差数列，可得a，b，c的关系，再由椭圆的性质整理可得椭圆的离心率的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及等差数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由y=a+csxx可得y′=−xsinx−a−csxx2，
依题意可得y′≥0在(0,π)上恒成立，即a≤−xsinx−csx在(0,π)上恒成立，
令f(x)=−xsinx−csx，x∈(0,π)，则f′(x)=−xcsx，
显然当x∈(0,π2)时，f′(x)<0，此时f(x)在(0,π2)上单调递减；
当x∈(π2,π)时，f′(x)>0，此时f(x)在(π2,π)上单调递增；
所以f(x)在x=π2时取得最小值，即f(x)min=f(π2)=−π2，
因此只需满足a≤−π2即可，即实数a的取值范围是(−∞,−π2]．
故选：B．
根据题意可知将问题转化为a≤−xsinx−csx在(0,π)上恒成立，利用导函数求出函数f(x)的最小值，即可得实数a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：满足a1=2,an+1=3an+2,n∈N*，可得an+1+1=3(an+1)，
则{an+1}是首项和公比均为3的等比数列，即an+1=3n，即an=3n−1，
则an+1(an+3)(an+1+3)=3n(3n+2)(3n+1+2)=12(13n+2−13n+1+2)，
可得数列{an+1(an+3)(an+1+3)}的前n项和为Tn=12(15−111+111−129+...+13n+2−13n+1+2)=12(15−13n+1+2)<110，
由对任意的n∈N*，都有k>Tn，可得k≥110．
故选：A．
对已知数列的递推式两边同时加上1，结合等比数列的通项公式可得an，再由数列的裂项相消求和，可得Tn，由不等式恒成立思想可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令f(x)=lnx−(1−1x)，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1x−1x2=x−1x2，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)=x−1x2>0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
则f(1311)=ln1311−(1−1113)=ln1311−213>f(1)=0，即ln1311>213，
故a>b，
因为sin1311<1，所以sin1311<1113+213，即sin1311−1113<213，故c所以a>b>c．
故选：A．
令f(x)=lnx−(1−1x),x>0，利用导数求得f(x)为递增函数，得到1311>213，得出a>b；再由sin1311<1，sin1311−1113<213，求得c本题考查了利用导数研究函数的单调性，正弦函数的性质，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于数列{an2}，有an+12an2=q2，则数列{an2}为等比数列，A正确；
对于B，对于数列{lg|an|}，有lg|an+1|−lg|an|=lg|an+1an|=lg|q|，故数列{lg|an|}是等差数列，B正确；
对于C，当a1<0，0an，C错误；
对于D，若Sn=3n+r，
当n=1时，有a1=S1=3+r，
a2=S2−S1=(9+r)−(3+r)=6，
a3=S3−S2=(27+r)−(9+r)=18，
则有(3+r)×18=62=36，解可得r=−1，D正确．
故选：ABD．
根据题意，由等比数列的定义分析A，由等差数列的定义分析B，举出反例可得C错误，由等比数列前n项和求出数列的前三项，由等比数列的定义求出r的值，可得D正确，综合可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为直线与圆相切，所以4 m2+n2=2，即m2+n2=4，可得P在圆上，
所以n2=4−m2，
将P(m,n)代入椭圆的方程可得m29+n25=m29+4−m25=5m2+36−9m245=36−4m245<1，
所以P点在椭圆内部．
故选：BC．
由直线与圆相切，可得m，n的关系，判断出P在圆上，将P点的坐标代入椭圆方程的左边，整理可得小于右边，判断出P点在椭圆内部．
本题考查直线与圆相切的性质的应用及点与椭圆的位置关系的判断，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：A.f(x)的定义域为R，f′(x)=6x2−10x=2x(3x−5)，
当x>53或x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0故x=0为极大值点，x=53为极小值点，共2个极值点，A正确；B选项，
极大值f(0)=−1<0，极小值f(53)=2×12527−5×259−1=−15227<0，
又f(3)=−1<0，f(4)=47>0，结合A选项中函数单调性及零点存在性定理，
可知有且只有x0∈(3,4)，使得f(x0)=0，故函数只有1个零点，B错误；
C.令g(x)=f(x)+5x2=2x3−1，则g′(x)=6x2≥0，
故g(x)在R上单调递增，故当a>b时，f(a)+5a2>f(b)+5b2，C正确；
D.由f(0)≠0，可得点(0,0)不是函数f(x)上的点，
设切点为(m,2m3−5m2−1)，f′(x)=6x2−10x，故f′(m)=6m2−10m，
故切线方程为y−(2m3−5m2−1)=(6m2−10m)(x−m)，
将点(0,0)代入切线方程中，得4m3−5m2+1=0，
可以看出m=1是方程4m3−5m2+1=0的根，
故4m3−5m2+1=(m−1)(4m2−m−1)，
令4m2−m−1=0，两根为m=1± 178，
综上，过点(0,0)可作三条直线与曲线y=f(x)相切，D正确．
故选：ACD．
A.求定义域，求导，得到函数单调性和极值点情况判断A；B.结合A得到函数的极值情况，结合函数单调性与零点存在性定理得到B；C.得到g(x)=f(x)+5x2=2x3−1，求导得到函数单调性判断C；D.设出切点，由导数的几何意义得到切线方程，将(0,0)代入，得到方程，求出3个解，判断D．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想和方程思想，属难题．
12.【答案】BC
【解析】解：由题意，双曲线x24−y23=1，可得a=2,b= 3，则c= a2+b2= 7，
所以焦点F1(− 7,0),F2( 7,0)，且|PF1|−|PF2|=2a=4，
设P(x0,y0)，则x0≥2，双曲线C的两条渐近线的方程为y=± 32x，
A：由|PF1|−|PF2|=4,|PF2|≥ 7−2，所以|PF1|+|PF2|>4，故A错误；
B：过点P作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线，
这3条直线与双曲线仅有公共点P，故B正确；
C：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l的方程为y−3=k(x−4)，
则x1+x2=8，y1+y2=6，
x124−y123=0x224−y223=0，两式相减得(x1+x2)(x1−x2)4=(y1+y2)(y1−y2)3，
即2(x1−x2)=2(y1−y2)，
所以k=y1−y2x1−x2=1，所以直线l的方程为y−3=x−4，即y=x−1，故C正确；
D：设直线l的方程为x=my+n，
联立方程组x=my+nx24−y23=1，整理得(3m2−4)y2+6mny+3n2−12=0，
若直线l与双曲线C相切，则Δ=36m2n2−4(3m2−4)(3n2−12)=0，
整理得n2=4−3m2，
联立方程组x=my+ny= 32x，解得y=n2 33−m，即点M的纵坐标为y1=n2 33−m，
联立方程组x=my+ny=− 32x，解得y=−n2 33+m，即点N的纵坐标为y2=−n2 33+m，
则点M，N的纵坐标之积为y1y2=n2 33−m⋅−n2 33+m=−n243−m2=−3(4−3m2)4−3m2=−3，故D错误．
故选：BC．
设P(x0,y0)，结合双曲线的定义即可判定A；过P作双曲线的切线和平行于渐近线的直线即可判定B；利用点差法和中点的坐标公式求出直线l的斜率即可判断C；设直线l方程为x=my+n，联立方程组，结合Δ=0，得到n2=4−3m2，再化简y1y2=−3，即可判定D．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：因为两条直线平行，所以a⋅a=1⋅(2a−1)，且−a⋅1≠(−a+1)⋅a，
解得a=1．
故答案为：1．
写出两条直线平行的充要条件，解得a的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】2x−y−1=0或8x+16y+1=0
【解析】解：由抛物线的的方程可得焦点F(0,14)，
设直线AB的方程为y=kx+14，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+12x2=y，整理可得：x2−kx−14−0，
x1+x2=k，x1x2=−14，
由题意可知x1+x22=k2=38，解得k=34，
方程为4x2−3x−1=0，解得x1=1或x2=−14，
x=1时，y=1，当x=−14，y=116，
不妨设A(1,1)，B(−14,116)，
y′=2x，所以函数在点A(1,1)处的导数y′=2，此时切线方程为y−1=2(x−1)，
即2x−y−1=0；函数在点B(−14,116)处的导数y′=−12，此时切线方程为y−116=−12(x+14)，即8x+16y+1=0．
综上可知，与C相切于弦AB端点的一条直线的方程为2x−y−1=0或8x+16y+1=0．
故答案为：2x−y−1=0或8x+16y+1=0．
首先联立直线与抛物线方程，根据中点坐标，求直线的方程，并求点A，B的坐标，利用导数的几何意义可得切线方程．
本题考查直线与抛物线的综合应用，用导数的方法求过曲线上的点的切线的斜率，属于中档题．
15.【答案】8− 17
【解析】解：因为P是椭圆C：y216+x27=1上的一个动点，可得a=4，b= 7，
所以c= a2−b2= 16−7=3，
所以B(0,−3)为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点B′(0,3)，
又因为116+17<1，所以A在椭圆内部，
PB+PA=2a−PB′+PA=2a−(PB′−PA)≥2a−AB′=8− 12+(−1−3)2=8− 17．
故答案为：8− 17．
由题意可得B为椭圆的下焦点，设上焦点B′，由椭圆的定义可得PB+PA=2a−PB′+PA=2a−(PB′−PA)≥2a−AB′，可得PA+PB的最小值．
本题考查椭圆的性质的应用及三点共线时线段之差的值最大的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】−1
【解析】解：根据题意，方程ex−lnx=x+1x，即ex−lnx=lnex+1x，
变形可得：ex−lnex=1x−ln1x，
实数t是方程ex−lnx=x+1x的根，则有et−lnet=1t−ln1t，
设f(x)=x−lnx，(x>1)，方程et−lnet=1t−ln1t等价于f(et)=f(1t)，
有f′(x)=1−1x=x−1x，由于x>1，则f′(x)>0，
即f(x)在区间(1,+∞)上为增函数，
而f(et)=f(1t)，必有et=1t，则有tet=1①，
在et=1t的两边同时取对数可得：lnet=ln1t，即t=−lnt②，
联立①②可得：−etlnt=1，变形可得etlnt=−1．
故答案为：−1．
根据题意，方程ex−lnx=x+1x，变形可得ex−lnex=1x−ln1x，进而可得et−lnet=1t−ln1t，设f(x)=x−lnx，(x>1)，求出f(x)的导数分析f(x)的单调性，可得et=1t，结合对数的运算性质分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的导数与单调性的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)直线l1：x+y+2=0，l2：x+y=0，直线l过点(10,−4)且与l1垂直，
故直线l的斜率k=1，故直线l的方程为y+4=x−10，整理得x−y−14=0．
(2)由于l分别与l1，l2交于点A，B，
故x−y−14=0x+y+2=0，解得x=6y=−8，故A(6,−8)；
同理x−y−14=0x+y=0，解得x=7y=−7，故B(7,−7)．
由于圆经过点A(6,−8)，B(7,−7)，O(0,0)，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，
故36+64+6D−8E=049+49+7D−7E=0，解得D=−6E=8，
故圆的方程为x2+y2−6x+8y=0．
【解析】(1)直接利用直线的垂直求出直线l的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程；
(2)利用直线间的关系建立方程组，进一步求出A和B的坐标，最后利用圆的一般式求出圆的方程，
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：依题意，由Sn+1=2Sn−n+2，
两边同时减去n，
可得Sn+1−n=2Sn−n+2−n=2(Sn−n+1)，
则有Sn+1−(n+1)+1=2(Sn−n+1)，
∵S1−1+1=a1−1+1=2，
∴数列{Sn−n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可得，Sn−n+1=2⋅2n−1=2n，
∴Sn=2n+n−1，n∈N*，
则当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=2n+n−1−[2n−1+(n−1)−1]
=2n−1+1，
∵当n=1时，a1=2也符合上式，
∴an=2n−1+1，n∈N*，
∴bn=n2(an−1)
=n2⋅(2n−1+1−1)
=n2n，
则Tn=b1+b2+…+bn=121+222+323+…+n2n，
12Tn=122+223+…+n−12n+n2n+1，
两式相减，
可得12Tn=121+122+123+…+12n−n2n+1
=121−12n+11−12−n2n+1
=1−n+22n+1，
∴Tn=2−n+22n．
【解析】(1)先将题干中的递推公式两边同时减去n，进一步推导即可发现数列{Sn−n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而证得结论成立；
(2)先根据第(1)题的结论计算出数列{Sn−n+1}的通项公式，再计算出Sn的表达式，然后结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2即可计算出数列{an}的通项公式，进一步计算出数列{bn}的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)∵当a=−1时，f(x)=x2+lnx+1，f′(x)=2x+1x，
f′(1)=2+11=3，f(1)=1+ln1+1=2，
∴f(x)在点(1,f(1))处切线方程为y−2=3(x−1)，即y=3x−1．
(2)∵f(x)=x2−alnx+1，a>0，f′(x)=2x−ax=2x2−ax，
令f′(x)>0，解得：x> a2；令f′(x)<0，解得：0∴f(x)在(0, a2)上单调递减，在( a2,+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f( a2)=a2−aln a2+1=2⇒a2−a2lna2−1=0，
则令t=a2>0，设g(t)=t−lnt−1，g′(t)=1−1t=t−1t．
令g′(t)>0，解得：t>1；令g′(t)<0解得：0∴g(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴g(t)≥g(1)=1−ln1−1=0，则t=a2=1⇒a=2．
故a=2．
【解析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；
(2)对f(x)求导，得到f(x)的单调性，可得f(x)min=f( a2)=a2−aln a2+1，再令g(t)=t−lnt−1，证得g(t)≥g(1)=0，即t=a2=1，可得出答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为椭圆C的右焦点为F( 3,0)，且过(1, 32)，
所以c= 31a2+34b2=1a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，
则椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)依题意，直线l的斜率存在且不为0，
不妨设直线l的方程为x=my+32，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x24+y2=1x=my+32，消去x并整理得(m2+4)y2+3my−74=0，
由韦达定理得y1+y2=−3mm2+4，y1y2=−74(m2+4)，
则△OAB的面积S=12|OP||y1|+12|OP||y2|=34|y1−y2|，
因为|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2=4 m2+74m2+4，
不妨令t= m2+74(t≥ 72)，
此时m2=t2−74，
则|y1−y2|=4 m2+74m2+4=4tt2+94=4t+94t，
因为t+94t≥2 t⋅94t=3，
当且仅当t=32> 72，m2=12时，等号成立，
则|y1−y2|=4t+94t≤43，
故△OAB面积S=34|y1−y2|≤1．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
(2)设出直线l的方程和A，B两点的坐标，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、换元法以及三角形面积公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=xex+b，则f′(x)=(x+1)ex>0⇒x>−1，
∴f(x)在(−∞,−1)单调递减，在(−1,+∞)上单调递增．
(2)∵f(x)=(x−a)ex+a+b，f′(x)=(x−a+1)ex，
∴当xa−1，则f′(x)>0，即f(x)递增；
∴f(x)≥f(a−1)=a−ea−1+b，由f(x)>0，有b>ea−1−a，
令g(a)=ea−1−a，则g′(a)=ea−1−1，
当a<1时，g′(a)<0，g(a)递减；当a>1时，g′(a)>0，g(a)递增，
∴g(a)≥g(1)=0，而g(−1)=1e2+1，g(0)=1e，g(2)=e−2，g(3)=e2−3，
由a的取值集合中恰有3个整数，g(0)∴a取0，1，2，e−2故b的取值范围为(e−2,1e2+1]．
【解析】(1)应用导数研究函数的单调性即可；
(2)利用导数研究f(x)>0成立得b>ea−1−a，构造g(a)=ea−1−a，研究单调性求最小值并确定对应a，结合题设有a取0，1，2，结合g(−1)，g(0)，g(2)，g(3)大小关系确定b的范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数不等式问题，属于难题．
22.【答案】解：(1)由抛物线过点P(1,2)，得22=2p⋅1，
解得p=2，
当直线l垂直于x轴时，不妨设A(y024,y0)，y0>0，则B(y024,−y0)，
所以PA=(y024−1,y0−2)，PB=(y024−1,−y0−2)，
所以PA⋅PB=(y024−1)2−(y0+2)(y0−2)=0，
解得y0=2 5，
|PA|= 42+(2 5−2)2=2 10−2 5，
|PB|= 42+(2 5+2)2=2 10+2 5，
所以S△PAB=12|PA||PB|=12⋅2 10−2 5⋅ 10+2 5=8 5．
(2)设直线l的方程为x=my+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y2=4xx=my+b，得y2−4my−4b=0，
所以Δ=(−4m)2−4×1×(−4b)=16m2+16b>0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4b，
由PA⋅PB=(y024−1)−(y0+2)(y0−2)=0，
得(2m+2)2=(b−3)2，
解得b=2m+5或b=−2m+1，
当b=−2m+1时，直线l的方程为x=my+b=my−2m+1，
令y=2，得x=2m−2m+1=1，
此时直线l恒过定点(1,2)与点P重合，不成立，
当b=2m+5时，直线l的方程为x=my+b=my+2m+5，
令y=−2，则x=−2m+2m+5=5，
此时直线l恒过定点Q(5,−2)，
因为PD⊥AB，D为垂足，
所以点D在以PQ为直径的圆上，
此时圆心为PQ中点(3,0)，半径为2 2，
所以点D在圆(x−3)2+y2=8上，
所以点D到直线4x−3y+13=0的距离最大值为圆心(3,0)到直线的距离加上半径，
即|4×3−3×0+13| 42+(−3)2+2 2=5+2 2，
所以点D到直线4x−3y+13=0的距离最大值为5+2 2．
【解析】(1)由抛物线过点P(1,2)，得22=2p⋅1，解得p，当直线l垂直于x轴时，不妨设A(y024,y0)，y0>0，则B(y024,−y0)，由PA⋅PB=0，解得y0，进而可得答案．
(2)设直线l的方程为x=my+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由PA⋅PB=0，得b=2m+5或b=−2m+1，分情况讨论：点D到直线4x−3y+13=0的距离最大值，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．