四川树德中学高2021级高三上学期期末测试数学（问科）试题含答案

这是一份四川树德中学高2021级高三上学期期末测试数学（问科）试题含答案，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5 B． C．2 D．
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述错误的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.若幂函数在上单调递增，则实数的值为
C.，
D.设，则“”是“”的充分不必要条件
5. 平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ）
A．0条 B．4条 C．2条 D．3条
6. 如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的
绿豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（ ）
A. 16.32B. 15.32 C. 8.68 D. 7.68
7． 双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（ ）
A．3或7 B．7 C．5 D．3
8. 某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，
采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，
6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师
的编号之和为（ ）
A．906 B．966 C．1506 D．1566
9. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上的最小值为
B. 为偶函数
C. 图象对称中心是，
D. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象
11. 如图，已知正方体的棱长为为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，若方程有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，，则在方向上的投影等于 ．
14. 已知满足约束条件，则的最大值为 ．
15 . 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若点D为抛物线的准线上一点，且，则直线的斜率为 .
16. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，一直线分△ABC为面积相等的两个部分，且夹在AB、BC之间的线段为MN，则MN长度的最小值为______．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的中位数（数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取
5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不
同组的概率．
18. (本题满分12分）已知数列数列满足， ，其中n∈N*．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19. （本小题满分12分）已知球内接正四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.
（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
20. （本小题满分12分）已知椭圆C:的离心率为，其上顶点到右顶点的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M0,m点，若存在实数m，使得OA+ 2OB=3OM，求实数m的取值范围．
21. (本小题满分12分) 已知函数，.
（1）若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；
（2）已知，若，函数的最小值为，求的值域.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线有2个公共点，求的取值范围．
23. （10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围.
高2021级高三期末考试数学试题（文科）参考答案
一、1－5CDADD 6－10ABDCB 11－12CB
13、 14、4 15、 16、2
三、17、解：（1）由题意可知：，，
解得，；
（2）由频率分布直方图估计众数为，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，则估计中位数数为；
（3）根据分层抽样，和的频率比为，故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有共4个，即，
所以.
18、（1）由得：，故，，，……，，，
以上n-1个式子相乘得，，故；
（2）由，结合（1）可得：，
所以，，
两式相减得，，
所以，故．
19、（1）由球的表面积公式，得，
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连，则，则在，有，即，可得正方形的边长为,侧棱；
在正方形中，，所以是异面直线和所成的角或其补角，
取中点，在等腰中，可得，斜高，
则在中，，
所以异面直线和所成的角的余弦值为；
（2）由为中点，得，
且满足平面平面，所以平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
又因为,
再设到平面的距离为，则由，
可得，即，则，
所以点到平面的距离.
20、解：(1)由题意得， a2+b2= 5,a2=b2+c2,e=ca= 32, 解得 a2=4 ， b2=1 ，所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 ．
(2)当直线 l 不存在斜率时，直线与纵轴有无数或没有交点，不符合题意；
当直线 l 存在斜率时，设直线 l 的方程设为 y=kx+m ，
于是有 x24+y2=1,y=kx+m⇒1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以有 Δ=64k2m2-41+4k24m2-4>0 ，
化简得 4k2-m2+1>0 ．
设 Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，于是有 x1+x2=-8km1+4k2 ， x1x2=4m2-41+4k2 ，因为 OA+2OB=3OM ，
所以 x1,y1+2x2,y2=30,m⇒x1+2x2=0⇒x1=-2x2 ，
代入 x1+x2=-8km1+4k2 中，得 -2x2+x2=-8km1+4k2⇒x2=8km1+4k2 ，于是有 -2x2⋅x2=4m2-41+4k2
⇒-28km1+4k22=4m2-41+4k2 ，化简，得 k2=m2-14-36m2 ，代入 4k2-m2+1>0 中，
得 4⋅m2-14-36m2-m2+1>0⇒1921、解：（1）当时，显然不满足题意，
当时，若函数只有一个零点，即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，即直线与函数（且）的图象只有一个交点.
，令，得，在和上，，在
上，，所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图象如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图象只有一个交点，
则或，综上的取值所构成的集合为.
（2）由题意知，
令得所在上单调递增.
又由零点的存在性定理知存在使得
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故又所以，又，所以.
令在单调递减，
由得.将代入，
得.令，得，
所以在单调递减，又
所以的值域为.
22、（1）因为，，，将曲线的参数方程中的参数消去，并结合可得曲线的普通方程为：．
直线的极坐标方程为，将，代入上式，得直线的直角坐标方程为．
（2）曲线是以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，且圆弧两端点的坐
标分别为和，作出曲线与直线，如图所示，当直线经过点
时，直线与曲线有两个交点，此时．当直线与曲线相切时，有
，解得或（舍去）．数形结合可知的取
值范围为．
23、解：（1），即，利用零点分区间法，对去绝对值，当时，由，得，所以，当时，成立，所以，当时，由，得，所以.综上可知，不等式的解集为.
（2）由题意，可知，由（1）得当时，恒成立，因为，所以时不等式恒成立；
当时，恒成立，所以时不等式恒成立；
当时，恒成立，而，所以时不等式恒成立；
当时，即恒成立，而，所以不等式恒成立.
综上，满足要求的的取值范围为.