2024重庆市缙云教育联盟高三下学期2月质量检测试题数学含答案

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高三数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
试卷视频讲解
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C2．D3．B4．A
5．A6．B7．D8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AC10．ABD11．ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）由题意得，的可能取值为，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，，易知，的分布列为：
的数学期望.
（2）证明：当时，不难知道，
，
，
由（1）可知，又，
，
.即.
16．（1）连接，因为是底面半圆弧AB上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以△MON,△NOB都为正三角形，所以，四边形是菱形，
记与的交点为，为和的中点，因为，
所以三角形为正三角形，所以，所以，
因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知为的中点，△OPN为正三角形，所以，
所以底面，因为四边形是菱形，所以，
即两两互相垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，所以，
取，则，设直线与平面的所成角为，
所以，故直线与平面所成角的正弦值为．
17．（1），令，即，
当时，令，所以，
则即，
所以当或时，即或时，无解；
当时，即时，仅有一解；
当即时，有两解，
综上，或时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
（2）若有两个零点，，令，，则，为两解，
则，则，则，
由可得，，则，
所以，所以，
由可得，
所以，则，
由在递减，可得，
所以，所以
令，则
要证成立，
即证：；
即证：，因为显然成立，故原式成立.
18．（1）由题意知，设直线．
联立得，
则，，
则的中点在直线上，
代入可解得，，满足直线与抛物线有两个交点，
所以直线的方程为，即．

（2）当直线的斜率为或不存在时，均不满足题意．
由得或（舍去），故．
方法一：当直线的斜率存在且不为时，设直线．
联立得，所以．
所以．同理得．
由的中点在直线上，
得，
即．
令，则，解得或．
当时，直线的斜率；
当时，直线的斜率不存在．
所以直线的斜率为．
方法二：设，线段的中点，
则．
由，得，即．
所以．
又
，
故可转化为，
即．解得或．
所以直线的斜率．
当时，斜率不存在；当时，斜率．
所以直线的斜率为．

19．（1）.
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是.
（3），.
依题意，，
，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时，，则，，
即，而，因此，
于是，，所以.1
2
3