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贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A B. C. D.
3. 命题，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则它们的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的定义域是
C. 在上为减函数D. 为奇函数
6. 设函数，则使得成立的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，若函数在上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则（ ）
A. B.
C. D. 这段曲线解析式是
12. 已知函数设的实数解个数为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则________．
14. 函数的最大值为________．
15. 将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是________．
16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若集合满足条件：①；②；③是的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
18. （1）计算．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：）．
19. （1）计算．
（2）已知，且，求的值．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值、最小值．
21. 已知奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若不等式恒成立，求时实数的取值范围．
22. 若函数的定义域为R，且
（1）求的值，并证明函数是偶函数；
（2）判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷
高一数学
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
【详解】因为集合，
所以，
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】.
故选：A
3. 命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定即可得到答案.
【详解】因为命题，
所以根据含有一个量词的否定可知，
故选：C.
4. 已知，则它们的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及指数、对数运算判定大小即可.
【详解】易知在定义域上单调递增，故，
又也在定义域R 单调递增，所以，
所以.
故选：D
5. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的定义域是
C. 在上为减函数D. 为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.
【详解】设幂函数，由，解得，
由，A选项错误；
的定义域是，B选项错误；
在上减函数，C选项正确；
由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误.
故选：C
6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数性质，得为偶函数且在上单调递增，不等式等价于，解出即可.
【详解】函数，定义域为，
，函数为偶函数，
当时，，
由函数和在上都单调递增，得在上单调递增，
则在上单调递减，
由，得，即，解得或，
所以的取值范围是.
故选：B
7. 设函数，若函数在上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函数的图象与性质计算即可.
【详解】由题意可知，即在上恰有3个解，
因为，
所以由正弦函数的图象与性质可知：.
故选：B
8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.
【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故A正确；
对于B选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故B错误；
对于C选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故D正确，
故选：AD.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由基本不等式求各选项是否正确.
【详解】已知，且，
，当且仅当等号成立，A选项正确；
，当且仅当等号成立，B选项正确；
，，当且仅当等号成立，C选项错误；
，当且仅当，即等号成立，D选项正确；
故选：ABD
11. 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则（ ）
A. B.
C. D. 这段曲线解析式是
【答案】AC
【解析】
【分析】由最值求出，由周期求出，由曲线上的点求出，验证各选项即可.
【详解】依题意有，解得，B选项错误；
函数最小正周期，得，A选项正确；
时，，则，
得，由，得，C选项正确；
所以这段曲线的解析式是，D选项错误.
故选：AC
12. 已知函数设的实数解个数为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 函数的值域为
【答案】CD
【解析】
【分析】利用函数图像，得到函数值域，由实数解的个数，判断的取值范围.
【详解】利用二次函数和对数函数的图像和性质，作出的函数图像，如图所示，
，，
由函数图像可知，当时，，A选项错误；
当时，，B选项错误；
当时，，C选项正确；
函数的值域为，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：
方程的根或函数零点个数的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据，求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故答案为：.
14. 函数的最大值为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用基本不等式，求出时，的最小值，可得函数的最大值.
【详解】时，，
当且仅当，即时等号成立，
则有，
所以当时，函数的最大值为.
故答案为：
15. 将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是________．
【答案】（答案不唯一，如）
【解析】
【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，
再把所得图象上各点横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，得的图象，
所以函数的解析式是.
故答案为：
16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先设的对称中心为，根据函数为奇函数可得，构造方程组即可解得.
【详解】根据题意，设对称中心为，
则由函数为奇函数可得，
变形可得，即；
整理可得，所以；
解得，所以其对称中心为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若集合满足条件：①；②；③是的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由补集和并集的定义直接求解；
（2）由所选条件，得两个集合的包含关系，列不等式求实数的取值范围．
【小问1详解】
由，得，则或，
所以或．
【小问2详解】
选择①
因为，所以，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
选择②
因为，所以，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
选择③
因为是的必要条件，所以，
当时，有，解得，此时符合；
当时，由，有，解得
所以实数的取值范围为
18. （1）计算．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：）．
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】（1）由指数式和对数式的运算规则化简计算．
（2）由题意列指数不等式，利用两边取对数的方法，结合对数式的运算规则求解.
【详解】（1）
.
（2）设经过次过滤，产品达到市场要求，
则，即，
所以，即，
即，
所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．
19. （1）计算．
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和辅助角公式化简求值；
（2），利用同角三角函数的关系和两角差的余弦公式求值.
【详解】（1）
；
（2）因为，
所以，所以，
，
所以
，
又因为，所以．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值、最小值．
【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为
（2）最大值是，最小值是
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由公式计算最小正周期及单调递减区间；
（2）由函数定义区间，利用正弦函数的图像和性质，求出值域.
【小问1详解】
，
所以，函数的最小正周期．
由，得：，
所以函数的单调递减区间为．
【小问2详解】
由，得，则，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是．
21. 已知是奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若不等式恒成立，求时实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性，求的值；
（2）利用函数的单调性解不等式.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，
，，所以．
因为是偶函数，所以，
即：，得，
所以，得，解得.
【小问2详解】
由（1）知，
因为为增函数，为减函数，所以在上单调递增，
不等式恒成立，只需，
即：，
所以，
因为函数在定义域内都单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
【点睛】思路点睛：函数单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中，函数不等式问题，运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用，对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.
22. 若函数的定义域为R，且
（1）求的值，并证明函数是偶函数；
（2）判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值
【答案】（1）1，证明见解析
（2）是周期函数，理由见解析，
【解析】
【分析】（1）令，可求的值；令，得可证明函数是偶函数；
（2）令，有，通过代换，有，可证明周期并求值.
【小问1详解】
令，则，
因为，所以．
令，则，
因为，所以，
即：，所以函数是偶函数．
【小问2详解】
是周期函数，理由如下．
令，则，
即：，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数是周期为3的周期函数．
所以，
因为，令，得，
所以，
因为为偶函数，所以．
【点睛】方法点睛：
探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等.
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A B. C. D.
3. 命题，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则它们的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的定义域是
C. 在上为减函数D. 为奇函数
6. 设函数，则使得成立的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，若函数在上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则（ ）
A. B.
C. D. 这段曲线解析式是
12. 已知函数设的实数解个数为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则________．
14. 函数的最大值为________．
15. 将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是________．
16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若集合满足条件：①；②；③是的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
18. （1）计算．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：）．
19. （1）计算．
（2）已知，且，求的值．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值、最小值．
21. 已知奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若不等式恒成立，求时实数的取值范围．
22. 若函数的定义域为R，且
（1）求的值，并证明函数是偶函数；
（2）判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷
高一数学
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
【详解】因为集合，
所以，
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】.
故选：A
3. 命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定即可得到答案.
【详解】因为命题，
所以根据含有一个量词的否定可知，
故选：C.
4. 已知，则它们的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及指数、对数运算判定大小即可.
【详解】易知在定义域上单调递增，故，
又也在定义域R 单调递增，所以，
所以.
故选：D
5. 已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的定义域是
C. 在上为减函数D. 为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.
【详解】设幂函数，由，解得，
由，A选项错误；
的定义域是，B选项错误；
在上减函数，C选项正确；
由定义域可知，函数为非奇非偶，D选项错误.
故选：C
6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数性质，得为偶函数且在上单调递增，不等式等价于，解出即可.
【详解】函数，定义域为，
，函数为偶函数，
当时，，
由函数和在上都单调递增，得在上单调递增，
则在上单调递减，
由，得，即，解得或，
所以的取值范围是.
故选：B
7. 设函数，若函数在上恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函数的图象与性质计算即可.
【详解】由题意可知，即在上恰有3个解，
因为，
所以由正弦函数的图象与性质可知：.
故选：B
8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.
【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故A正确；
对于B选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故B错误；
对于C选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故D正确，
故选：AD.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由基本不等式求各选项是否正确.
【详解】已知，且，
，当且仅当等号成立，A选项正确；
，当且仅当等号成立，B选项正确；
，，当且仅当等号成立，C选项错误；
，当且仅当，即等号成立，D选项正确；
故选：ABD
11. 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则（ ）
A. B.
C. D. 这段曲线解析式是
【答案】AC
【解析】
【分析】由最值求出，由周期求出，由曲线上的点求出，验证各选项即可.
【详解】依题意有，解得，B选项错误；
函数最小正周期，得，A选项正确；
时，，则，
得，由，得，C选项正确；
所以这段曲线的解析式是，D选项错误.
故选：AC
12. 已知函数设的实数解个数为，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 函数的值域为
【答案】CD
【解析】
【分析】利用函数图像，得到函数值域，由实数解的个数，判断的取值范围.
【详解】利用二次函数和对数函数的图像和性质，作出的函数图像，如图所示，
，，
由函数图像可知，当时，，A选项错误；
当时，，B选项错误；
当时，，C选项正确；
函数的值域为，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：
方程的根或函数零点个数的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根据，求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故答案为：.
14. 函数的最大值为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用基本不等式，求出时，的最小值，可得函数的最大值.
【详解】时，，
当且仅当，即时等号成立，
则有，
所以当时，函数的最大值为.
故答案为：
15. 将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是________．
【答案】（答案不唯一，如）
【解析】
【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，
再把所得图象上各点横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，得的图象，
所以函数的解析式是.
故答案为：
16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先设的对称中心为，根据函数为奇函数可得，构造方程组即可解得.
【详解】根据题意，设对称中心为，
则由函数为奇函数可得，
变形可得，即；
整理可得，所以；
解得，所以其对称中心为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若集合满足条件：①；②；③是的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由补集和并集的定义直接求解；
（2）由所选条件，得两个集合的包含关系，列不等式求实数的取值范围．
【小问1详解】
由，得，则或，
所以或．
【小问2详解】
选择①
因为，所以，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
选择②
因为，所以，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
选择③
因为是的必要条件，所以，
当时，有，解得，此时符合；
当时，由，有，解得
所以实数的取值范围为
18. （1）计算．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：）．
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】（1）由指数式和对数式的运算规则化简计算．
（2）由题意列指数不等式，利用两边取对数的方法，结合对数式的运算规则求解.
【详解】（1）
.
（2）设经过次过滤，产品达到市场要求，
则，即，
所以，即，
即，
所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．
19. （1）计算．
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的关系和辅助角公式化简求值；
（2），利用同角三角函数的关系和两角差的余弦公式求值.
【详解】（1）
；
（2）因为，
所以，所以，
，
所以
，
又因为，所以．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值、最小值．
【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为
（2）最大值是，最小值是
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由公式计算最小正周期及单调递减区间；
（2）由函数定义区间，利用正弦函数的图像和性质，求出值域.
【小问1详解】
，
所以，函数的最小正周期．
由，得：，
所以函数的单调递减区间为．
【小问2详解】
由，得，则，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是．
21. 已知是奇函数，是偶函数．
（1）求的值；
（2）若不等式恒成立，求时实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性，求的值；
（2）利用函数的单调性解不等式.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，
，，所以．
因为是偶函数，所以，
即：，得，
所以，得，解得.
【小问2详解】
由（1）知，
因为为增函数，为减函数，所以在上单调递增，
不等式恒成立，只需，
即：，
所以，
因为函数在定义域内都单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
【点睛】思路点睛：函数单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中，函数不等式问题，运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用，对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.
22. 若函数的定义域为R，且
（1）求的值，并证明函数是偶函数；
（2）判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值
【答案】（1）1，证明见解析
（2）是周期函数，理由见解析，
【解析】
【分析】（1）令，可求的值；令，得可证明函数是偶函数；
（2）令，有，通过代换，有，可证明周期并求值.
【小问1详解】
令，则，
因为，所以．
令，则，
因为，所以，
即：，所以函数是偶函数．
【小问2详解】
是周期函数，理由如下．
令，则，
即：，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数是周期为3的周期函数．
所以，
因为，令，得，
所以，
因为为偶函数，所以．
【点睛】方法点睛：
探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等.
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