河北省正定中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份河北省正定中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设f(x)是可导函数，且Δx→0limf(1−3Δx)−f(1)Δx=2，则f′(1)=( )
A. 2B. −23C. −1D. −2
2.圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0的位置关系是( )
A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离
3.在三棱柱ABC−A1B1C1中，M为B1C1中点，若AB=a，CA=b，A1A=c，则下列向量中与BM相等的是( )
A. −12a−12b−cB. 12a+12b+c
C. −12a−12b+cD. 12a−12b+c
4.已知数列{an}满足lg3an+1=lg3an+1(n∈N*)，且a2+a4+a6=9，则lg13(a3+a5+a7)=( )
A. 5B. 991C. 4D. −3
5.已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 2 3
6.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，M(−2,1)是椭圆C的一条弦AB的中点，点N(1,4)在直线AB上，则椭圆的离心率为( )
A. 22B. 2C. 33D. 52
7.将一个顶角为120°的等腰三角形(含边界和内部)的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Kch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是( )
A. 1681B. 2081C. 827D. 1027
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，点P在AB1上运动(不含端点)，点E是AC上一点(不含端点)，设EP与平面ACD1所成角为θ，则csθ的最小值为( )
A. 13B. 33C. 53D. 63
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)满足f(1)=3，f′(1)=−3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是( )
A. f(x)的图象在x=1处的切线斜率大于0
B. f(x)的图象在x=1处的切线斜率小于0
C. f(x)的图象在x=1处位于x轴上方
D. f(x)的图象在x=1处位于x轴下方
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a4+a11>0，a7⋅a8S9
C. 当n=7时，Sn最大D. 当Sn>0时，n的最大值为14
11.如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A. OM⊥AP
B. 存在点M，使OM/​/平面SBC
C. 存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D. 点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
12.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设∠F1MF2=θ，过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是( )
A. |F2M|的最小值为b2a
B. |MP|·|MQ|为定值
C. 若当θ=π2时，△OMF2(O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为 3+1
D. 当θ=π6时，若直线F1M与圆x2+y2=a2相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为3− 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线2x−y+1=0与直线x+ay+3=0平行，则a= ．
14.设空间向量a=(1,2,1)，b=(1,−1,0)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为______．
15.已知点p(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2−2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为______．
16.著名的斐波那契数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an，其通项公式为an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，则a12+a22+…+a20232a2023是该数列的第______项；(1+ 52)12+(1− 52)12= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知曲线y=13x3+x．
(1)求曲线在点P(1,43)处的切线方程；
(2)求该曲线的切线倾斜角的取值范围．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a6=16，S5=30．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：1S1+1S2+⋯+1Sn0)的焦点，点E(4,m)在抛物线C上，且|EF|=8，O为坐标原点．
(1)求抛物线方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求△AOB的面积．
20.(本小题12分)
如图，已知△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2 3．
(1)求点D到平面MBC的距离；
(2)求平面MBC与平面MAD的夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2，{an⋅bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn，且不等式λ≥n(3−Tn)对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+ 2=0相切．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点)，当|PA−PB|0，a80，a4+a11=a7+a8>0，a7⋅a80，a8⋯，则λ≥f(n)max=f(2)=72．
∴实数λ的取值范围为[72,+∞)．
【解析】(1)由an，Sn求{an}通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出{bn}通项公式；
(2)应用错位相减法、等比数列前n项和公式求Tn，问题化为λ≥2n2+3n2n对一切n∈N*恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意知e=ca= 22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12．
即a2=2b2.(2分)
又因为b= 2 1+1=1，所以a2=2，
故椭圆C的方程为x22+y2=1.(4分)
(Ⅱ)由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)，
由y=k(x−2)x22+y2=1.得(1+2k2)x2−8k2x+8k2−2=0.△=64k4−4(2k2+1)(8k2−2)>0，k2