57,山东省临沂市2023-2024学年高二上学期期末学科素养水平监测数学试题
展开1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的一个方向向量为,则的倾斜角为( )
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率,由斜率即可求得倾斜角.
【详解】由题意,,且,
所以.
故选:B
2. 已知三棱锥,点M,N分别为BC,PA的中点,且,用表示,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何体,结合向量的线性运算公式,即可求解.
【详解】
故选:D
3. 已知,若点A,B,C共线,则( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点共线转化为向量共线,即.
【详解】由题意可知,,
即,解得:.
故选:B
4. 已知抛物线的焦点为,点在上,,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦半径公式得到,从而得到,分两种情况,求出答案.
【详解】由焦半径公式可得,解得,
故抛物线,
故,
当时,,
直线的斜率为,
当时,,
直线的斜率为,
综上,直线的斜率为.
故选:D
5. 中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”,即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人,他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁,并且他们的年龄之和恰好为三遂,则最年轻者的年龄为( )
A. 52B. 54C. 58D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.
【详解】将他们的年龄从小到大依次排列为,
所以,,解得.
故选:A.
6. 已知点,直线过点且与线段AB相交,则与圆的位置关系是( )
A. 相交B. 相离C. 相交或相切D. 相切或相离
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线,的斜率,进而可求直线的方程,依据直线与圆的位置关系可得结论.
【详解】直线的斜率为,,
直线经过点且与线段相交,
直线的斜率的范围为,,,
直线的方程为,即,
由圆,可得圆心,,可知圆心在直线的右侧,
且圆心的直线的方程的距离为,
直线的方程为,即,
由圆,可得圆心,,
圆心的直线的方程的距离为,
故直线与圆相切或相离.
故选:D.
7. 一个小球作简谐振动,其运动方程为,其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移,(单位:)为运动时间,则小球的瞬时速度首次达到最大时, ( )
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数即可求解.
【详解】,
故当时,此时瞬时速度最大,,
所以时,此时瞬时速度首次达到最大,
故选:C
8. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B(不重合),且A,B在以点为圆心的圆上,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求点的坐标,以及中点坐标,结合圆的几何性质,列式求解.
【详解】联立,得;
联立,得;
不妨设,,
则线段的中点为,
由题意可知,,整理为,
所以双曲线为等轴双曲线,离心率.
故选:B
二、选择题:本共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的导数公式,结合导数的运算法则和复合函数求导法则,分别进行判断即可.
【详解】,所以A错误;
,所以B正确;
,所以C正确;
,所以D错误.
故选:BC
10. 设数列的前项和为的前项和为,满足,且且,则( )
A. 是等差数列B. 时,的最大值为26
C. 若,则数列是递增数列D. 若,则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,首先得,根据之间的关系得,由此即可判断;对于B,令,解不等式即可判断;对于C,由举出反例即可判断;对于D,代入即可验算.
【详解】对于A,由题意,解得,
所以,,
当时,,
当时,有,故,故A正确;
对于B, 令,解得,故B正确;
对于C,若,则,故C错误;
对于D,若,则,故D正确.
故选:ABD.
11. 已知曲线的方程是.则( )
A. 若是双曲线,则或
B. 若,则表示焦点在轴上的椭圆
C. 若,则的离心率为
D. 若是离心率为的双曲线,则的焦点到其渐近线距离为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项,根据是双曲线得到不等式,求出;B选项,,故表示焦点在轴上的椭圆;C选项,求出,求出离心率;D选项,根据离心率得到方程,求出,得到焦点坐标和渐近线方程,得到答案.
【详解】A选项,若是双曲线,则,解得,A错误;
B选项,若,,
则,所以表示焦点在轴上的椭圆,B正确;
C选项,若,则,则,
的离心率为,C正确;
D选项,若是离心率为的双曲线,,
故,解得,
的焦点坐标为,渐近线方程为,
焦点到其渐近线距离为,D正确.
故选:BCD
12. 如图,在棱长为2的正方体中,M,N分别为棱的中点,则( )
A. B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面的夹角为D. 直线与平面所成的角为
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法逐项分析即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则
,
,
由,可知与不平行,故A错误;
设平面的法向量为,
则,令,则,
所以,
则点到平面的距离为,故B正确;
设平面的法向量为,
则,令,则,
所以,
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面的夹角为,故C正确;
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成的角为,故D错误.
故选:BC
【点睛】思路点睛:建立空间直角坐标系,利用向量来解决线面角,面面角和点到直线的距离.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若直线与互相垂直,则____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据垂直关系得到方程,求出.
【详解】由题意得,解得.
故答案为:
14. 已知空间向量,则在上的投影向量的坐标是____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量投影向量公式计算出答案.
【详解】,,
,
故在上的投影向量的坐标.
故答案为:
15. 已知椭圆的离心率为,直线与交于两点,直线与的交点恰好为线段的中点,则的斜率为____________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据椭圆的离心率可得,设,利用点差法,结合直线与的交点恰好为线段AB的中点,即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆离心率为,
故,,
设,由题意知l的斜率存在,则,
设线段AB的中点为,
则直线l的斜率为,直线的斜率,
由,两式相减得,
即得,即,
故,
故答案为:
16. 已知数列中,,若函数的导数为,则____________.
【答案】64
【解析】
【分析】降次作商得到,并验证时的情况,设,则,两边同时求导,最后代入数据即可.
【详解】因为,
所以,当时,,
所以.
因为也满足,所以.
令,
则,,
所以.
故答案为:64.
【点睛】关键点睛:本题解决的关键是构造函数,将问题转化为,从而得解.
四、解答题:本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)若过点的直线与曲线相切,求的方程.
【答案】(1)1 (2)
【解析】
【分析】(1)根据导数的几何意义求解;
(2)设直线与曲线相切的切点坐标为,由导数的几何意义列式求出,即可求出切线方程.
【小问1详解】
由题可得,
由的斜率为1,得,即.
小问2详解】
由(1)知,,
设切点为,则,
又直线过点,
整理得,,
直线的方程为,即.
18. 已知等比数列的各项均为正数,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)直接由等比数列性质以及基本量的计算即可求解.
(2)由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.
【小问1详解】
设数列的公比为.由,得,
,解得,
由,得,
解得,
的通项公式为.
【小问2详解】
,
,①
,②
①-②得
,
,
.
19. 已知以点为圆心的圆与圆相外切.
(1)求圆方程;
(2)若直线与圆相交于,求的最小值及此时的方程.
【答案】(1)
(2),
【解析】
【分析】(1)根据两圆外切求出圆的半径可得答案;
(2)判断出点在圆内,由圆的几何性质可知,当时弦最小,利用求出,再由求出直线的方程.
【小问1详解】
由已知得圆的圆心坐标为,半径,
圆的半径,
圆的方程为;
【小问2详解】
由已知得直线过定点,
,
在圆内,
由圆的几何性质可知,当时,弦最小,
此时,
又,,
当最小时,,
,
直线的方程为,即.
20. 如图,在直三棱柱中,是AB的中点,是的中点,是与的交点.
(1)在线段上找一点,使得平面;
(2)在(1)的条件下,求PQ与平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)首先以点为原点建立空间直角坐标系,并求平面的法向量,并利用参数表示向量,利用向量,即可证明线面平行;
(2)根据(1)的结果,利用点到平面的距离的向量公式,即可求解.
【小问1详解】
以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
则
,
设平面的法向量,则,即,
令,得,是平面的一个法向量,
设,
则,
若平面,则,
从而,即,解得,
,
当为线段上靠近的三等分点时,平面;
【小问2详解】
由(1)知,
,
到平面的距离为.
21. 已知为等差数列,,记分别为数列的前项和,.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据条件转化为关于等差数列的首项和公差的方程组,列式求解;
(2)根据数列的通项公式,以及数列与的关系,利用分组转化的方法,即可求和.
【小问1详解】
设等差数列公差为,
,
,
整理得,解得
;
【小问2详解】
当n为偶数时,
;
当为奇数时,,
,
当时,上式也成立;
.
22. 欧几里德生活的时期,人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆,长轴长为,从的左焦点发出的一条光线,经内壁上一点反射后恰好与轴垂直,且.
(1)求的方程;
(2)设点,若斜率不为0的直线与交于点均异于点,且在以MN为直径的圆上,求到距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)首先由题意,结合椭圆的性质,求得点的坐标,代入椭圆方程,即可求解;
(2)首先设直线的方程为,与椭圆方程联立,利用韦达定理表示,即可求解直线的定点,并根据几何关系,求点到直线距离的最大值.
【小问1详解】
不妨设是的右焦点,
则轴,
又,
,
不妨设点则,
又,
的方程为.
【小问2详解】
设,直线的方程为,
由,整理得,
则
故,
点在以MN为直径的圆上,
,
,
,
,
即,
整理得:,
,
或,
当时,直线,过定点,
易知点在椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为点,两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线恒过定点
点到的距离最大值为.
【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是求得直线所过的定点.
山东省临沂市2023-2024学年高二上学期1月期末学科素养水平监测数学试题: 这是一份山东省临沂市2023-2024学年高二上学期1月期末学科素养水平监测数学试题,共4页。
山东省临沂市2022-2023学年高一上学期期末学科素养水平检测数学试题: 这是一份山东省临沂市2022-2023学年高一上学期期末学科素养水平检测数学试题,共8页。
山东省临沂市部分区县2023级(高二)2023年11月普通高中学科素养水平监测试卷数学: 这是一份山东省临沂市部分区县2023级(高二)2023年11月普通高中学科素养水平监测试卷数学,共8页。