专题3.5 指数与指数函数-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以指数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
3. 与对数函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
根式和分数指数幂
1．n次方根
2.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知识点二
指数函数的图象和性质
1.概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
2.指数函数的图象与性质
常考题型剖析
题型一：根式、指数幂的化简与求值
【典例分析】
例1-1. （2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
例1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.
②＝________.
【规律方法】
1.化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
【变式训练】
变式1-1. 计算：×0＋×－＝________.
变式1-2. （2023·全国·高三专题练习）计算化简：
（1）＝________；
（2）＝________.
题型二：根式、指数幂的条件求值
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2-2. 已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
【规律方法】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
【变式训练】
变式2-1. （2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
变式2-2.设，求 的值．
题型三：指数函数的解析式、求值
【典例分析】
例3-1．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若函数为偶函数， 且当时，， 则________.
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，且，，则的解析式为____________．
【方法技巧】
1.确定函数的解析式，常常利用“待定系数法”.
2.求指数函数相关函数值，可以先求解析式，再求值，也可以利用函数的其它性质，如函数的奇偶性，如例3-2.
【变式训练】
变式3-1. （2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.
题型四：指数函数相关定义域、值域问题
【典例分析】
例4-1. 【多选题】（2023·全国·高三专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．的定义域为[0，1]
C．的值域为[2，6]D．的值域为[2，20]
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【总结提升】
指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含
的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解.
【变式训练】
变式4-1. （2020秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）若定义运算，则函数的值域是（ ）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
变式4-2. （山东省高考真题）已知函数的定义域和值域都是，则 .
题型五：指数函数的图象及其应用
【典例分析】
例5-1.（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
例5-2.（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
例5-3．【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
例5-4.（2020·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
= 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
= 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复；
= 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
= 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
【变式训练】
变式5-1. （2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-2.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
变式5-3.（2021·北京高三其他模拟）已知函数则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
变式5-4.（2021·浙江金华市·高三其他模拟）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：指数函数的性质及其应用
【典例分析】
例6-1.（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6-2.（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例6-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
例6-4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．
【变式训练】
变式6-1. （2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变式6-2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式6-3.（2023·全国·高三专题练习）不等式对任意都成立，则实数的取值范围____________．
变式6-4.（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
一、单选题
1．（2023·天津滨海新·统考三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则下列选项中可能为的解析式的是（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2018年新课标I卷文）设函数fx=2−x ， x≤01 ， x>0，则满足fx+1A. −∞ ， −1 B. 0 ， +∞ C. −1 ， 0 D. −∞ ， 0
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
7.（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9.【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数且在上的最大值为，则________.
11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.
12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为eq \r(n,a)
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a＜0
x不存在
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数