专题2.2 基本不等式及其应用-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1．通过基本不等式证明过程，进一步了解“差比法”的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．以求函数最值问题为载体，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
知识点一
重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
知识点二
基本不等式
1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三
基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．
特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！
知识点四
常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
常考题型剖析
题型一：利用基本不等式证明不等式
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
例1-2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知，，，证明：
(1)；
(2)．
【规律方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式训练】
变式1-1.【多选题】（2023春·安徽·高一校联考期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
题型二：“定和”条件下求最值
例2-1.（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
例2-2.（2023·北京东城·高三专题练习）已知实数满足，则的最大值为______.
例2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【规律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常数代换求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．
【变式训练】
变式2-1.（湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最大值为__________
题型三：“定积”条件下求最值
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）当时，的最小值为_________.
例3-3．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________．
【规律方法】
1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等．
3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式3-2.（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为______.
变式3-3.（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
题型四：“和、积关系”条件下求最值
【典例分析】
例4-1.（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
例4-2．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
例4-3（2023·全国·高一专题练习）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
【规律方法】
1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围，如例4-1，例4-2（1）；
2.变换已知等式，转化成“和”为定值，如例4-2（2）；
3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【变式训练】
变式4-1. （2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
变式4-2.（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
变式4-3.（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知为正实数，若满足；则的最小值为_______；若，则的取值范围是_______．
题型五：“平方关系”条件下求最值
【典例分析】
例5-1.【多选题】（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例5-2．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是_______．
【规律方法】
1.直接利用等不等式放缩，如例5-1，要特别注意，逐次放缩下等号成立条件一致；
2. 应用换元法.常见代数换元和三角换元两种.（1）代数换元：先对等式进行拆、拼、凑等变形，再进行换元，利用函数、导数确定单调性进而求解最值；（2）三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解，如例5-1；
3．应用“消元法”.对含有多元变量的函数求最值时，通常要减少变量的个数加以转化，如例5-2.
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是________.
变式5-2.（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若，且，则的最大值为________.
题型六：基本不等式的实际应用
【典例分析】
例6-1.（江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .
【规律方法】
1.用基本不等式解决实际问题步骤：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式训练】
变式6-1.（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
题型七：基本不等式与其它知识“交汇”问题
【典例分析】
例7-1.（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
例7-3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
例7-4．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【规律方法】
1.基本不等式作为工具，应用非常广泛，它与数学的其它知识交汇考查更为普遍，从近几年高考命题看，命题交汇有：与简易逻辑用语交汇、与函数交汇、与三角函数交汇、与解三角形交汇、与平面向量交汇、与立体几何交汇、与平面解析几何交汇、与概率统计交汇等.
2.解决“交汇”问题的策略是：
(1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点；
(2)要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式；
(3)检验等号是否成立，完成后续问题．
【变式训练】
变式7-1.（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.
变式7-2.（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
变式7-3.（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为______.
变式7-4.（2023·全国·高三专题练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
一、单选题
1．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4.（2023·福建福州·统考二模）若x，y满足x2+xy+y2=3，则（ ）
A．2x+y≤B．2x+y≥-1
C．x2+y2-xy≤8D．x2+y2-xy≥1
5．（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．
8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．
9．（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______.
10．（2022·北京·统考模拟预测）已知，则的最大值为__________．
11.（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知中，，M为线段BN上的一个动点，若（x、y均大于0），则的最小值______．
四、解答题
12．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．