2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题三　微重点5　数列的递推关系49

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考点一 构造辅助数列
例1 (1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是( )
A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211
B．若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝2n－1－3
C．若a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，则an＝eq \f(1,3n－2)
D．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n
(2)(2023·吕梁模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100等于( )
A．2100－3 B．2100－2
C．2101－3 D．2101－2
规律方法 (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
(3)形如an＋1＝eq \f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的数列，取倒数可得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(p,q)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(p,q)，构造等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))求通项公式．
(4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
跟踪演练1 (1)已知数列{an}满足a2＝eq \r(3)，a1＝1，且aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝2an－2an－1＋1(n≥2)，则aeq \\al(2,2 023)－2a2 022的值为( )
A．2 021 B．2 022
C．2 023 D．2 024
(2)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2×3n－1－1)
C．{an}为递增数列
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝3n－n
考点二 利用an与Sn的关系
例2 已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，eq \f(nan,2)，Sn－1成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝1－eq \f(9,a\\al(2,n))，若b2·b3·…·bn＝eq \f(89,176)，求正整数n的值．
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规律方法 在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．
跟踪演练2 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn(n∈N*)，则an＝__________________.
(2)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋3(n∈N*)，数列{2anan＋1}的前n项和为Sn，则Sn＝______________.