2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　第2讲　圆锥曲线的方程与性质35

这是一份2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　第2讲　圆锥曲线的方程与性质35，共5页。
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(00，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例2 (1)(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是( )
A．F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)
B．椭圆的短轴长为10
C．|PF1|的最小值为1
D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
(2)(2023·东三省四市教研体模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)过点(－2,1)，则其渐近线方程为________．
考向2 离心率问题
例3 (2023·新高考全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(—→))，则C的离心率为________．
规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．
跟踪演练2 (1)(多选)下列关于双曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1说法正确的是( )
A．实轴长为6
B．与双曲线4y2－9x2＝1有相同的渐近线
C．焦点到渐近线的距离为4
D．与椭圆eq \f(y2,15)＋eq \f(x2,2)＝1有同样的焦点
(2)(2023·衡阳名校协作体模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线l与椭圆相交于M，N两点，∠MF2N＝90°，且4|F2N|＝3|F2M|，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(5),5)
考点三 抛物线的几何性质及应用
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
例4 (1)(多选)(2023·常德模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则( )
A．p＝2 B．|AB|≥4
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－4 D．k1k2＝－4
(2)(2023·南昌模拟)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧组成，如图所示．假设圆弧所在圆的方程为C：(x＋25)2＋(y－2)2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如图所示，则该抛物线的轨迹方程为( )
A．y2＝－32(x－1) B．y＝－eq \f(1,64)x2－3
C．x2＝－32(y－1) D．x2＝－36y＋4
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
跟踪演练3 (1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，则此抛物线顶端O到AB的距离为( )
A．180 m B．200 m
C．220 m D．240 m
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则( )
A．焦点F的坐标为(4,0)
B．|AB|＝x1＋x2＋4
C．y1y2＝－8
D.eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(1,2)