人教版七年级下册5.1.1 相交线课时练习

这是一份人教版七年级下册5.1.1 相交线课时练习，共40页。试卷主要包含了5°．，5°，等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC=37°，求∠BOE的度数．
(2)若∠BOD:∠BOC=3:6，求∠AOE的度数．
2．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠COB的角平分线．
(1)∠AOC的对顶角是 ___________；
(2)若∠BOC=130°，求∠BOD、∠DOE的度数．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA=55°，求∠BOF的度数.
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，KF⊥OE垂足为点O，且∠DOF:∠BOE=3:2．
(1)如图，求∠AOC的度数．
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠BOE互余的角．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图：已知AO⊥BC，DO⊥OE，B，O，C在同一条直线上.
(1)∠AOE的余角是_________，∠BOE的补角是_________.
(2)如果∠AOD=35°，求∠BOE的度数.
(3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由.
6．（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF=142°，∠BOD：∠BOF=1：3，求∠AOF的度数.
7．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
8．（2022·内蒙古·呼和浩特市第二十六中学七年级期中）如图，O 是直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD
(1)求 ∠AOC 的度数．
(2)试猜想 OD 与 AB 的位置关系，并说明理由．
9．（2021·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期中）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
(1)若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
(2)试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
10．（2022·重庆市江津第五中学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
11．（2022·辽宁·大连高新技术产业园区普罗旺斯学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE=28°，且OE⊥OF．求∠AOC和∠AOF的度数．
12．（2022·广东广州·七年级期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．
(1)求∠AOF的度数．
(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．
13．（2022·四川·成都市盐道街中学外语学校七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
(1)若∠EOF=55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，求∠DOE的度数．
14．（2022·广东·大亚湾经开区三中七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠BOC=2∠AOC，求∠DOE的度数．
15．（2021·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE=50∘，求∠AOF的度数．
16．（2022·山东滨州·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．
(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
17．（2022··七年级期末）如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．
(1)若∠AOB=70°，∠DOE=20°，求∠BOC的度数．
(2)若∠AOE=136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数．
(3)若∠DOE=20°，∠AOE+∠BOD=220°，求∠BOD的度数．
18．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
(1)若∠AOC=50°，请求出∠AOD的度数；
(2)若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD=13∠AOE，请求出∠BOC的度数．
19．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
20．（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD=7：11．
(1)求∠COE；
(2)若OF⊥OE，∠AOC=70°，求∠COF．
21．（2022·全国·七年级期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数；
(2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数．
22．（2022·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：
(1)∠BOD的度数；
(2)写出图中互余的角；
(3)∠EOF的度数．
23．（2022·全国·七年级期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
24．（2022·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
(1)若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数．
25．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
(1)若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
(2)猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
26．（2022·陕西延安·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠EOC=23∠EOD，求∠BOD的度数．
27．（2022·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
(1)∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
28．（2022·广西百色·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝60°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3．
(1)求∠BOE的度数．
(2)过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
29．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)在图3中，延长线段NO得到射线OD，判断OD是否平分∠AOC，请说明理由．
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为______．（直接写出答案）
30．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=∠ECB=90°．
①若∠ECD=35°，则∠ACB=______；若∠ACB=140°，则∠ECD=_____；
②猜想：请直接写出∠ACB与∠ECD的数量关系：_______．
(2)如图乙若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点虫重合在一起，∠ACD=∠AFG=90°，则请直接写出∠GAC与∠DAF的数量关系______；
(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系： _______．
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.6相交线及其所组成的角大题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC=37°，求∠BOE的度数．
(2)若∠BOD:∠BOC=3:6，求∠AOE的度数．
【答案】(1)53°
(2)150°
【分析】（1）根据平角的定义和角的和差关系进行计算即可；
（2）根据∠BOD:∠BOC=3:6，以及互为补角的定义可求出∠BOD=60°，再根据对顶角相等以及角的和差关系得出答案．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠AOC=37°，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE
=180°−37°−90°
=53°；
（2）∵∠BOD:∠BOC=3:6，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°×33+6=60°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=60°，
∵∠COE=90°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+60°=150°．
【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题的关键．
2．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠COB的角平分线．
(1)∠AOC的对顶角是 ___________；
(2)若∠BOC=130°，求∠BOD、∠DOE的度数．
【答案】(1)∠BOD
(2)50°，115°
【分析】（1）根据对顶角定义直接解答即可；
（2）由邻补角定义求出∠BOD的度数，再根据角平分线定义求出∠BOE，即可得到∠DOE的度数．
【详解】（1）解：由对顶角的定义可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故答案为：∠BOD；
（2）∵∠BOC=130°，∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠BOD=180°−130°=50°，
又∵OE是∠COB的角平分线．
∴∠BOE=∠COE=12∠BOC=65°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE
=50°+65°
=115°，
答：∠DOE的度数为115°．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角定义，对顶角定义，正确理解各定义并理解图形中各角的位置关系及数量关系是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA=55°，求∠BOF的度数.
【答案】∠BOF=110°
【分析】依据EO⊥OD，∠EOA=55°，可得∠AOD=90°−55°=35°，再根据OD平分∠AOF，即可得出∠AOF=2∠AOD=70°，依据平角定义得到∠BOF．
【详解】解：∵EO⊥OD，
∴∠EOD=90°.
∵∠EOA=55°.
∴∠1=∠EOD−∠EOA=90°−55°=35°.
∵OD平分∠AOF.
∴∠1=12∠AOF=35°.
∴∠AOF=70°.
∵∠BOA=∠BOF+∠AOF=180°
∴∠BOF=180°−∠AOF=180°−70°=110°．
【点睛】本题主要考查了垂线的意义，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，KF⊥OE垂足为点O，且∠DOF:∠BOE=3:2．
(1)如图，求∠AOC的度数．
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠BOE互余的角．
【答案】(1)108°
(2)∠AOE，∠BOF，∠COK，∠DOF
【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠EOF=90°，再根据平角的定义得到∠COE+∠DOF=90°，再根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOE则∠DOF:∠COE=3:2，据此求出∠BOC=72°，即可利用平角的定义求出∠AOC；
（2）根据余角的定义进行推理即可．
【详解】（1）解：∵KF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠COE+∠DOF=180°−∠EOF=90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠DOF:∠BOE=3:2，
∴∠DOF:∠COE=3:2，
∴∠COE=90°×22+3=36°，
∴∠BOC=2∠COE=72°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=108°；
（2）解：∵KF⊥OE，
∴∠EOK=∠EOF=90°，
∴∠COK+∠COE=90°，∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠∠AOE=∠BOF，∠DOF=∠COE，
∴∠COE+∠DOF=90°，∠BOE+∠AOE=90°，
∵∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∴∠BOE+∠COK=90°，∠BOE+∠DOF=90°，
∴∠BOE的余角有∠AOE，∠BOF，∠COK，∠DOF．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，余角的定义，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图：已知AO⊥BC，DO⊥OE，B，O，C在同一条直线上.
(1)∠AOE的余角是_________，∠BOE的补角是_________.
(2)如果∠AOD=35°，求∠BOE的度数.
(3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由.
【答案】(1)∠AOD、∠COE；∠COE、∠AOD
(2)145°
(3)∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，理由见（1）详解
【分析】（1）∠AOB=∠AOC=∠DOE=90°根据垂直的定义得到，再根据同角或等角的余角相等得到∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，最后根据补角和余角的定义求解即可；
（2）根据补角的定义进行求解即可；
【详解】（1）解：∵AO⊥BC，DO⊥OE，
∴∠AOB=∠AOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，∠AOE+∠AOD=90°，∠AOE+∠COE=90°，
∴∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，
∴∠AOE的余角是∠AOD、∠COE，∠BOE的补角是∠COE、∠AOD，
故答案为：∠AOD、∠COE；∠COE、∠AOD；
（2）解：∵∠AOD=35°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=55°，
（3）解：由（1）得∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE．
【点睛】本题主要考查了与余角补角有关的计算，熟知余角与补角的定义是解题的关键．
6．（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，∠EOF=142°，∠BOD：∠BOF=1：3，求∠AOF的度数.
【答案】∠AOF=102°
【分析】根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，根据∠EOF=142°，可得∠DOF=52°,根据角的倍分关系，可得∠BOF的度数，根据∠BOF与∠AOF是邻补角，可得答案．
【详解】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠EOF=142°，
∴∠DOF=142°-90°=52°，
∵∠BOD：∠BOF=1：3，
∴∠BOD=12∠DOF=26°，
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=78°，
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-78°=102°．
∴∠AOF=102°．
【点睛】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
【答案】55°
【分析】根据对顶角和角平分线的定义求出∠BOE的度数，再根据已知求出∠BOF的度数，即可求出∠EOF的度数．
【详解】解：∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝12∠BOD＝35°，
又∵∠DOF＝90°，
∴∠BOF=90°-70°=20°
∴∠EOF=20°+35°=55°．
【点睛】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键．
8．（2022·内蒙古·呼和浩特市第二十六中学七年级期中）如图，O 是直线AB上一点，∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD
(1)求 ∠AOC 的度数．
(2)试猜想 OD 与 AB 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)∠AOC 的度数为45°
(2)OD⊥AB，理由见解析
【分析】（1）设∠AOC=x，根据题意得∠BOC=3x，再根据平角的定义进而求解即可；
（2）根据角平分线的定义即可得到解答．
【详解】（1）解：设∠AOC=x，
∵∠BOC=3∠AOC，
∴∠BOC=3x，
∵直线AB，
∴x+3x=180°，
解得x=45°，
∴∠AOC 的度数为45°；
（2）解：OD⊥AB，理由如下，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=45°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，
∴OD⊥AB．
【点睛】此题考查了垂线，平角的定义以及角平分线的定义，对定义的熟练掌握是解题的关键．平角：等于180°的角叫做平角；角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
9．（2021·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期中）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
(1)若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
(2)试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠COE＝20°；
(2)∠BOD＝3∠COE，理由见解析．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据∠AOE＝2∠DOE计算可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60−x，再利用∠AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【详解】（1）解：∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE＝13∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD−∠DOE＝60°−40°＝20°；
（2）解：∠BOD＝3∠COE，理由如下：
设∠COE＝x，则∠DOE＝60−x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60−x）＝180−3x，
∴∠BOD＝180−∠AOD＝180−（180−3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
【点睛】本题主要考查了邻补角、平角、角的和差，用代数式表示各个相关的角是解题关键．
10．（2022·重庆市江津第五中学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
【答案】(1)∠BOF=33°
(2)∠AOC=72°
【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．
（2）利用角平分的定义得出∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，进而表示出各角求出答案．
【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=12∠BOD=38°
∴∠COE=142°，
∵OF平分∠COE．
∴∠EOF=12∠COE=71°，
又∠BOE+∠BOF=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠EOD=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得x=36°，
故∠AOC=72°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）．
11．（2022·辽宁·大连高新技术产业园区普罗旺斯学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠DOE=28°，且OE⊥OF．求∠AOC和∠AOF的度数．
【答案】∠AOC=56°，∠AOF=118°
【分析】根据题意和角平分线的性质得∠DOE=∠EOB=28°，根据对顶角相等可得∠AOC=56°，根据EO⊥OF得∠EOF=90°，可得∠BOF=62°，即可得．
【详解】解：∵OE平分∠BOD，∠DOE=28°，
∴∠DOE=∠EOB=28°，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠DOE+∠EOB=28°+28°=56°，
∵EO⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=90°−28°=62°，
∴∠AOF=180°−∠BOF=180°−62°=118°．
【点睛】本题考查了角平分线，对顶角，邻补角，解题的关键是掌握角平分线的性质，对顶角相等并认真计算．
12．（2022·广东广州·七年级期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．
(1)求∠AOF的度数．
(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．
【答案】(1)108°
(2)OE⊥OF，理由见解析
【分析】（1）设∠1=x°，则∠2=4x°，求出∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°，根据∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．
（2）根据（1）的结论得出∠EOF=180°−∠1+∠2=90°，即可求解．
（1）
解：设∠1=x°，则∠2=4x°，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
∴∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴8x+2x=180，
∴x=18，
∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，
∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．
（2）
由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，
∴∠EOF=180°−∠1+∠2=90°,
∴OE⊥OF．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
13．（2022·四川·成都市盐道街中学外语学校七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
(1)若∠EOF=55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，求∠DOE的度数．
【答案】(1)70°
(2)50°
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BOE=∠DOE，根据垂线的定义以及已知条件求得∠DOE=35°，继而求得∠BOD=70°，根据对顶角相等即可求解；
（2）根据角平分线的性质可得∠COF=∠EOF，∠BOE=∠DOE，设∠DOE=∠BOE=x，则∠COF=x+15°，根据平角的定义建立方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠EOF=55°，OD⊥OF，
∴∠DOE=35°，
∴∠BOE=35°，
∴∠BOD=70°
∴∠AOC=70°；
（2）
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠EOF，
∵∠BOF=15°，
设∠DOE=∠BOE=x，则∠COF=x+15°，
∴x+15°+x+15°+x=180°，
解得：x=50°，
故∠DOE的度数为：50°．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
14．（2022·广东·大亚湾经开区三中七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠BOC=2∠AOC，求∠DOE的度数．
【答案】150°
【分析】由EO⊥AB可得∠BOE=90°，由∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠AOC，可得∠AOC，从而可得∠BOD，这样由∠DOE=∠BOE+∠BOD即可求得∠DOE的度数．
【详解】解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠AOC，
∴∠AOC+2∠AOC=180°
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=90°+60°=150°，
答：∠DOE的度数为150°．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，求出∠AOC的度数是解题的关键．
15．（2021·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE=50∘，求∠AOF的度数．
【答案】70°
【分析】根据垂直的定义，求得∠COE=90∘，根据∠BOC=∠COE+∠BOE，以及对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=140∘，然后根据角平分线的定义即可求解．
【详解】∵EO⊥CD，∠BOE=50∘，
∴∠COE=90∘，
∴∠BOC=∠COE+∠BOE=90∘+50∘=140∘，
∴∠AOD=∠BOC=140∘，
又∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=12∠AOD=70∘．
【点睛】本题考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合求得∠AOD=∠BOC=140∘是解题的关键．
16．（2022·山东滨州·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．
(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；
(2)∠EOF＝60°
【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；
（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数．
（1）
解：OF⊥OD，
理由：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE，
∵∠DOE＝∠BOD，
∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝12×180°＝90°，即∠FOD＝90°，
∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；
（2）
∵∠AOC：∠AOD＝1：5，
∴∠AOC＝16×180°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝12∠AOE＝60°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．
17．（2022··七年级期末）如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内三条射线，OB平分∠AOE，OD平分∠COE．
(1)若∠AOB=70°，∠DOE=20°，求∠BOC的度数．
(2)若∠AOE=136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数．
(3)若∠DOE=20°，∠AOE+∠BOD=220°，求∠BOD的度数．
【答案】(1)30°
(2)45°
(3)60°
【分析】对于（1），由角平分线的定义求出∠BOE和∠COE，再根据∠BOC=∠BOE−∠COE即可求解；
对于（2），先求出∠COE，再根据角平分线的定义求出∠DOE和∠BOE，然后根据∠BOD=∠BOE-∠DOE即可求解；
对于（3），由角平分线的定义得∠AOE=2∠BOE，结合已知条件可得2∠BOE+∠BOD=220°，∠BOE−∠BOD=20°，即2∠BOE−2∠BOD=40°，进而得出3∠BOD=180°，可得答案．
【详解】（1）∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，
∴∠BOE=∠AOB=70°，∠COE=2∠DOE=40°，
∴∠BOC=∠BOE−∠COE=70°−40°=30°；
（2）∵AO⊥CO，
∴∠AOC=90°．
∵∠AOE=136°，
∴∠COE=∠AOE−∠AOC=136°−90°=46°．
∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，
∴∠BOE=12∠AOE=68°，∠DOE=12∠COE=23°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=68°−23°=45°；
（3）∵OB平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠BOE．
∵∠AOE+∠BOD=220°，
∴2∠BOE+∠BOD=220°．
∵∠BOE−∠BOD=∠DOE，
∴∠BOE−∠BOD=20°，
∴2∠BOE−2∠BOD=40°，
∴3∠BOD=180°，
∴∠BOD=60°．
【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．
18．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
(1)若∠AOC=50°，请求出∠AOD的度数；
(2)若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD=13∠AOE，请求出∠BOC的度数．
【答案】(1)∠AOD＝25°
(2)∠BOC＝120°
【分析】(1)根据角平分线的定义，即可求得；
(2)首先根据∠AOD和∠DOE互余，可得∠AOE=90°，再根据∠AOD=13∠AOE，可求得∠AOD=30°，可求得∠AOC=60°，据此即可求得．
（1）
解：∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，，
∴∠AOD=12∠AOC=25°；
（2）
解：∵∠AOD和∠DOE互余，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
∴∠AOD=13∠AOE=30°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，准确找到角与角之间的关系是解决本题的关键．
19．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
（1）
证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）
解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
20．（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD=7：11．
(1)求∠COE；
(2)若OF⊥OE，∠AOC=70°，求∠COF．
【答案】(1)∠COE=145°
(2)∠COF=125°
【分析】（1）根据邻补角的性质和已知求出∠AOC和∠AOD的度数，根据对顶角相等求出∠BOD和∠COB的度数，根据角平分线的定义求出∠BOE的度数，可以得到∠COE的度数；
（2）根据垂直的定义得到∠EOF=90°，根据互余的性质求出∠DOF的度数，计算得到答案．
（1）
解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC：∠AOD=7：11，
∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，∠COB=∠AOD=110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOD=35°，
∴∠COE=∠COB+∠BOE=145°．
（2）
解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=35°，
∴∠DOF=90°−∠DOE=55°，
∴∠COF=180°−∠DOF=125°．
【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
21．（2022·全国·七年级期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数；
(2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数．
【答案】(1)∠DOF=108°；
(2)∠DOF=112.5°．
【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE=∠BOE=90°，再根据角平分线定义求出∠COF=72°，然后由∠DOF=180°-∠COF即可求解；
（2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，则∠COF=3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF=∠COF=3x°，所以∠AOE=4x°，由垂直的定义可知∠AOE=90°，则4x=90，解之，求出x即可．
【详解】（1）解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°；
∵∠COE=54°，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠COF=12∠AOC=72°，
∴∠DOF=180°-∠COF=108°；
（2）解：设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，
∴∠COF=3x°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF=∠COF=3x°，
∴∠AOE=4x°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴4x=90，解得x=22.5，
∴∠COF=3x°=67.5°，
∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度适中．
22．（2022·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：
(1)∠BOD的度数；
(2)写出图中互余的角；
(3)∠EOF的度数．
【答案】(1)70°
(2)∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余
(3)55°
【分析】（1）根据对顶角相等即可得到∠BOD=∠AOC=70°；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）先根据角平分线的定义求出∠DOE=35°，则∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．
【详解】（1）解：由题意得∠BOD=∠AOC=70°；
（2）解：∵∠COF=90°，
∴∠DOF=180°-∠COF=90°，
∴∠BOF+∠BOD=90°，∠EOF+∠EOD=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠EOF+∠BOE=90°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOF+∠AOC=90°，
∴∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余；
（3）解：∵∠BOD=70°，OE平分∠BOD，
∴∠DOE=35°，
∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，对顶角相等，余角的定义，熟知相关知识是解题的关键.
23．（2022·全国·七年级期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝23∠COE，利用角的和差进行计算即可；
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝12∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝23∠COE，
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴23∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝23∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣23∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
24．（2022·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
(1)若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数．
【答案】(1)54°
(2)120°
【分析】（1）先由垂直的定义得到∠EOD=90°，再由对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=36°，由此求解即可；
（2）根据平角的定义结合已知条件求出∠BOD的度数，进而求出∠BOE的度数，最后根据平角的定义即可求出∠AOE的度数．
【详解】（1）解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=54°；
（2）解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，
∴∠BOC=5∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴6∠BOD=180°，
∴∠BOD=30°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=60°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=120°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，垂线的定义，对顶角，熟知相关知识是解题的关键．
25．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
(1)若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
(2)猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30°．
(2)∠CBE= 90°＋∠DBF，理由见解析
【分析】（1）由垂线的定义可得∠DBF＋∠DBE=90°，结合已知条件即可求解．
（2）根据∠CBE=∠ABD，∠ABD=∠ABF+∠DBF，可得∠CBE=∠ABF＋∠DBF． 由BF⊥AE，得出∠ABF=90°， 即∠CBE= 90°＋∠DBF．
（1）
解：∵BF⊥AE，
∴∠DBF＋∠DBE=90°，
∵∠DBE=60°，
∴∠DBF=90°－∠DBE=30°．
（2）
∠CBE=∠DBF ＋90°．理由如下：
∵∠CBE=∠ABD，∠ABD=∠ABF+∠DBF，
∴∠CBE=∠ABF＋∠DBF．
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBE= 90°＋∠DBF．
【点睛】本题考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
26．（2022·陕西延安·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠EOC=23∠EOD，求∠BOD的度数．
【答案】36°
【分析】根据平角的定义可求出∠EOD=108°，∠EOC=72°，再根据角平分线的定义以及对顶角相等得出答案．
【详解】解：∵∠EOC=23∠EOD，∠EOC+∠EOD=180°，
∴∠EOD=180°÷(1+23)=108°，∠EOC=23∠EOD=72°，
∵OA平分∠EOC．
∴∠AOC=∠AOE=12∠EOC=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，解题的关键是理解对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提．
27．（2022·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
(1)∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
【答案】(1)75°；135°
(2)①平分，理由见解析；②60°或者240°
【分析】（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD=75°分析，它们之间有什么关系．根据对顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；
（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；
②考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置与OF在上方位置．
【详解】（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°
∵∠AOE＝23∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝53∠COE＝75°，
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE＝30°，
∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，
∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，
故答案为：75°，135°；
（2）①当OF平分∠BOE时
∵∠BOF＝12∠BOE＝12（∠COE+∠BOC）＝12×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠BOD＝75°，
∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．
②当OA⊥OF时，且OF在下方时，
∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，
∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，
当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，
∴α＝60°+180°＝240°．
综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
28．（2022·广西百色·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝60°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3．
(1)求∠BOE的度数．
(2)过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
【答案】(1)24°
(2)54°或126°
【分析】（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x；有对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝60°，再由∠BOD＝∠BOE+∠DOE列关于x的方程求得x，进而求得∠BOE;
（2）如图1、图2分两种情况，分别根据余角和角的和差计算即可．
（1）
解：（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∵∠BOD＝∠BOE+∠DOE，
∴2x+3x＝60°，
∴x＝12°，
∴∠BOE＝2×12°＝24°．
（2）
解：如图1，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠DOE＝60°-24°=36°，
∴∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE＝90°﹣36°＝54°；
如图2，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝∠FOE+∠EOD＝90°+36°＝126°．
∴∠DOF的度数是54°或126°．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等、角的和差、垂直、余角等知识点，灵活运用相关知识和方程思想成为解答本题的关键．
29．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)在图3中，延长线段NO得到射线OD，判断OD是否平分∠AOC，请说明理由．
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为______．（直接写出答案）
【答案】(1)∠CON=150°
(2)OD平分∠AOC；理由见解析
(3)30或12秒
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）先由对顶角性质得∠AOD=∠BON=30°，再由∠DOC=∠AOC−∠AOD=60°−30°=30°，得∠AOD=∠BON，从而得出结论；
（3）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解．
【详解】（1）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=12∠BOC=120°÷2=60°，
∴∠COM=180°−∠AOC−∠BOM=60°，
∴∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°；
（2）解：∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°．
∴∠AOD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠AOC−∠AOD=60°−30°=30°．
∴∠AOD=∠BON
∴OD平分∠AOC
（3）解：30或12．
设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，
∠AOF=120∠AOC=30°，
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
如图，当ON平分∠AOC时，
∠CON=12∠AOC=30°，
∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
30．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=∠ECB=90°．
①若∠ECD=35°，则∠ACB=______；若∠ACB=140°，则∠ECD=_____；
②猜想：请直接写出∠ACB与∠ECD的数量关系：_______．
(2)如图乙若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点虫重合在一起，∠ACD=∠AFG=90°，则请直接写出∠GAC与∠DAF的数量关系______；
(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系： _______．
【答案】(1)①145°，40°；②∠ACB+∠ECD=180°
(2)∠GAC+∠DAF=120°
(3)∠AOD+∠BOC=α+β
【分析】（1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；②根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠ECD的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；
（2）根据（1）解决思路确定∠GAC与∠DAF的大小并证明；
（3）由于∠AOB=α，∠COD=β（α，β都是锐角），而∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC，进而得出结论．
【详解】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠DCB=90°−35°=55°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°，
∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=140°−90°=50°，
∵∠ECB=90°，
∴∠DCE=90°−50°=40°，
故答案为：145°，40°；
②猜想得∠ACB+∠ECD=180°（或∠ACB与∠ECD互补），
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB， ∠DCE=∠ECB−∠DCB=90°−∠DCB，
∴∠ACB+∠ECD=180°；
故答案为：∠ACB+∠ECD=180°
（2）∠GAC+∠DAF=120°，
理由如下：由于∠GAC=∠GAD+∠DAF+∠FAC，
故∠GAC+∠DAF =∠GAD+∠DAF+∠FAC+∠DAF =∠GAF+∠DAC =60°+60° =120° ；
故答案为：∠GAC+∠DAF=120°
（3）∠AOD+∠BOC=α+β，
理由：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOD=∠COD−∠BOC，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC ，
即∠AOD=α+β−∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC=α+β．
故答案为：∠AOD+∠BOC=α+β
【点睛】本题考查余角与补角，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．