江苏省江阴市华士片2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题

这是一份江苏省江阴市华士片2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合．
2. 如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（ ）
A. AB＝ADB. ∠B＝∠DC. BC＝DCD. ∠BAC＝∠DAC
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA、AAS、SAS，即可推出结论．
【详解】解：A．若添加AB=AD，不能判定△ABC≌△ADC， 故A符合题意；
B．若添加∠B=∠D，
证明：∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD， AC＝AC ，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故B不符合题意；
C．若添加BC=DC，
证明：∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
BC＝DC，∠ACB＝∠ACD， AC＝AC ，
∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故C不符合题意；
D．若添加∠BAC=∠DAC，
证明：∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
∠BAC＝∠DAC， AC＝AC，∠ACB＝∠ACD ，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，熟记判定两个三角形全等的一般方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是解题的关键．
3. 下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（ ）个。
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质逐一判定即可．
【详解】解：①等腰三角形的底边的高线、中线、顶角平分线互相重合，故原说法错误；
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原说法错误；
③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故原说法正确；
④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形，故原说法正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识点时解题的关键．
4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°＝75°≠90°，所以不是直角三角形，正确；
B、∵（6x）2+（8x）2=（10x）2，∴是直角三角形，错误；
C、∵∠C=∠A-∠B，
∴∠C+∠B=∠A，
∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；
D、∵b2=a2-c2，∴是直角三角形，错误；
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．
5. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )．
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
【答案】C
【解析】
【详解】
画出示意图如图所示：
设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m，
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
∴AB=12m，
即旗杆的高是12m．
故选C．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=20°，则∠C的度数为（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠AEB=∠EAC+∠C，因为∠C=∠EAC，所以∠AEB=2∠C进行解答即可.
【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC．
∵∠B=90°，∠BAE=20°，
∴∠AEB=2∠C=90°﹣20°=70°，
∴∠C=35°．
故选B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解答此题的关键是推出∠C=∠CAE．
7. 如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，，，利用勾股定理列式求出，从而求出，设，表示出，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：根据折叠的性质可知，，.
在中，，
∴，
∴.
设，则.
在中，由勾股定理，得，
解得，
∴．
∴.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形性质与判定，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明得到，再由平角的定义和三角形内角和定理得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9. 如图所示，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中正确的有（ ）
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：∵大正方形面积为，
∴大正方形边长为，
在直角三角形中，，
故说法①正确；
∵小正方形面积为，
∴小正方形边长为，
∴，故说法②正确；
∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
∴，
∴，故说法③正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，故说法④错误；
∴说法正确是①②③．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的面积，等积变换，完全平方公式的应用．解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
10. 如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，，的度数，找出规律即可求解．
【详解】解：，，
；
，
；
同理得：，，，
一般地，第个等腰三角形的底角的度数是，
第2021个等腰三角形的底角度数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形和数式规律探究，等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角的性质等知识，找出规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于__________．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，再根据三角形周长计算即可，熟练掌握等腰三角形的定义、三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，，满足三角形三边关系，此时周长为；
综上所述，它周长等于17，
故答案为：17．
12. 如图，，若，，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】由全等三角形的性质可得出，从而由求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．
13. 如图，△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质可知：BD=AD，则所求周长即为AC+BC即可.
【详解】因为AB的垂直平分线交AC于D，由垂直平分线上的点到两端点的距离相等可知AD=BD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10.
【点睛】熟练掌握垂直平分线的性质，应用化归的思想.
14. 如图，在中，与的平分线交于点E，过点E作交于点M，交于点N，若，则_________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线和平行的性质，可推出，可得，同理可得，最后做线段的等量代换即可得到．
【详解】解：如图所示，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
故答案为：9．
15. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm 2．
【答案】
【解析】
【详解】设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得A′E=AE=5－x，A′D=AB=3．
根据勾股定理，得，即，
解得．
∴（cm 2）．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，运用勾股定理解决问题，解题的关键是找到运用勾股定理的直角三角形．
17. 如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，
∵在中，，，，，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积是解题的关键．
18. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是_______．

【答案】52cm
【解析】
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为，则易拉罐底面周长是12，高是20
∴
解得：
∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明即可证明．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
20. 如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键．
【详解】解：在中，，，
,
在中，，
，
即,
,
的面积为,
的面积为,
阴影部分面积为，
故阴影部分面积为24．
21. 如图，已知，根据要求作图：

（1）作边上的高线．
（2）用直尺和圆规作过点A将的面积平分的线段．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）直接用直角三角板过A点作边的延长线的垂线，垂足为E点，则就是边上的高；
（2）作边的垂直平分线交边于D点，连接，则线段就是平分的面积的线段．
【小问1详解】
如图，线段即为所求．
【小问2详解】
如图，线段即为所求．
【点睛】本题主要考查了限定工具，按要求作图．熟练掌握作钝角三角形的高和利用尺规作线段的垂直平分线是解题的关键．
22. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）直接写出的面积__________；
（3）在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）作图见详解
（2）
（3）点的位置见详解，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可求解；
（2）长度为个单位的小正方形组成的网格中，过点作的延长线于，可知，，由此即可求解；
（3）由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，即为所求点的位置，连接，在中，，即可求解．
【小问1详解】
解：关于直线成轴对称的如图所示，
【小问2详解】
解：如图所示，过点作的延长线于，

可知，，
∴．
故答案3.
【小问3详解】
解：如图所示，
由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，连接，在中，，
∴图中点为所求点的位置，使得最小，这个最小值是．
【点睛】本题主要考查图形变换，轴对称——最短途径，掌握轴对称的性质，两点之间线段最短是解题的关键．
23. 如图，已知，，与交于O，．

求证∶
（1）；
（2）是等腰三角形；
（3）取中点M，连接，取中点N，连接，求证∶．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题关键．
（1）根据，，得出和为直角三角形，利用HL定理得出，即可证出；
（2）根据，可得出，从而证出，再利用等腰三角形的判定得出即可；
（3）连接，，分别证明，，得，即可求证．
【小问1详解】
，，
，
在和中，
，，
，

【小问2详解】
由（1）
，
，
是等腰三角形 ；
【小问3详解】
连接，，

由（1）（2）得，，，
M是中点，
，
在和中
，
，
N是中点，
，
在和中
，
，
．
24. 如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）当时， ；
（2）当等于多少时，？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）存在，的度数为或
【解析】
【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角的性质，掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
（1）利用三角形外角的性质解题即可；
（2）通过三角形全等得出的长度即可；
（3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出．
【小问1详解】
解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，，
理由如下：∵，，
∴，
由（1）得，
∴时
【小问3详解】
解∵，
∴，
当时，，
∴，
∴点D与点B重合，不符合题意；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，是等腰三角形时，的度数为或
25. 等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．

（1）如图①，当点M、N在边、上，且时，之间数量关系式为______；此时的值是______；
（2）如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．
【答案】（1），
（2）（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系；
（2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立；
（3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出．据此计算即可求解．
【小问1详解】
解：、、之间的数量关系，
此时，
理由如下：，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，，，
，是等边三角形，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：猜想：结论仍然成立，
证明：如图，在的延长线上截取，连接，

，，，
，
，，，
，，
，
，
，
的周长为：，
；
【小问3详解】
证明：如图，在上截取，连接，

同（2）可证，
，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
∵等边的周长为L，
∴，
的周长
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法．
26. 定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
（1）在中，，，．
①如图1，若O为的中点，则射线_____的等腰分割线（填“是”或“不是”）
②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
（2）如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，，垂足为M，N，，，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值．
【答案】（1）①是；②；
（2）的最大值为4．
【解析】
【分析】（1）①由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
②设，由勾股定理得出，解方程可得出答案；
（2）过点A作于点G．由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出．由直角三角形的性质可得出，据此计算则可得出答案．
【小问1详解】
解：①∵中，，O是的中点，
∴，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为：是；
②设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为4．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．