2023-2024学年贵州省六盘水市高一上学期1月期末质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省六盘水市高一上学期1月期末质量监测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=−1,0,1,B=1,2，则A∪B=( )
A. 1B. −1,0,2C. 0,1,2D. −1,0,1,2
2.设命题p:∀x>0,ex−lnx>2，则p的否定为
( )
A. ∀x≤0,ex−lnx>2B. ∀x>0,ex−lnx≤2
C. ∃x>0,ex−lnx≤2D. ∃x≤0,ex−lnx≤2
3.函数fx=1 1−x的定义域为
( )
A. −1,+∞B. −1,+∞C. −∞,1D. −∞,1
4.“α=π6”是“tanα= 33”的条件
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
5.达−芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧AC所对的圆心角α为60∘，弦AC的长为10cm，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧AC的长为(单位：cm)( )
A. 600πB. 1003πC. 103πD. 53π
6.已知a>0且a≠1,lga13>1,a15<1，则a的取值范围是
( )
A. 15,13B. 15,1C. 13,1D. 1,3
7.已知函数fx=1−x21+x2，则f12024+f12023+⋯+f12+f0+f2+⋯+f2023+f2024=( )
A. 0B. 1C. 2024D. 2025
8.定义在R上的函数fx满足：
①∀x1,x2∈R，且x1≠x2，都有x2−x1fx1−fx2>0；
②∀x∈R，都有fx−1+f1−x=0．
若fa2−5ab+f8b2−ab≥0(ab>0)，则aa+b的取值范围是
( )
A. 23,45B. 0,23∪45,+∞
C. 15,13D. 0,15∪13,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，函数fx与gx是同一个函数的是
( )
A. fx=x0,gx=1B. fx=x,gx= x2
C. fx=x,gx=(3x)3D. fx=x2,gx=(x+1)2
10.已知a,b,c∈R且0( )
A. 1a>1bB. 1a<1b−aC. ac11.已知函数fx=xα(α为常数)，则下列说法正确的是
( )
A. 函数fx的图象恒过定点1,1
B. 当α=−1时，函数fx是减函数
C. 当α=3时，函数fx是奇函数
D. 当α=12时，函数fx的值域为0,+∞
12.一般地，若函数fx 的 定义域为a,b，值域为ka,kb，则称a,b为fx的“k倍美好区间”，特别地，当k=1时，则称a,b为fx的“完美区间”.则下列说法正确的是
( )
A. 若1,b为函数fx=x2−2x+2的“完美区间”，则b=2
B. 函数fx=lg2x，存在“12倍美好区间”
C. 函数fx=2x−2，不存在“完美区间”
D. 函数fx=2x，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ax−1+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 ．
14.已知a>0,b>0,a+b=3，则ab的最大值为 ．
15.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”；fx=x,x表示不超过x的最大整数，例如，−2.5=−3,2.5=2，则不等式2−x≥0的解集为 ．
16.已知函数fx=lg2−x,x<0−x2+2x,x≥0，关于x的方程fx2−1=aa∈R的实数根的个数为n，则n的所有可能取值组成的集合为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合A={x2a(1)若a=−3，求∁RA∩B；
(2)若A⊆B，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)计算：eln2+lg 10−0.12513−π0
(2)已知sinθ=35,θ是第二象限角，求sin2π+θcsπ2+θcsπ−θ的值．
19.(本小题12分)
已知函数fx是偶函数，当x>0时，fx=x2−2x．
(1)求f−1的值，并作出函数fx在区间−3,3上的大致图象；
(2)根据定义证明fx在区间1,3上单调递增．
20.(本小题12分)
已知函数fx=2cs2ωx+π3(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值，并求fx的单调递减区间；
(2)求fx在0,π2上的值域．
21.(本小题12分)
近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，但这并没有让华为怯步．2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机x(单位：千部)需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为Rx(单位：万元)，且Rx=10x2+50x,0(1)写出此款手机的年利润Wx(单位：万元)关于年产量x(单位：千部)的函数解析式；(利润=销售额−成本)
(2)根据(1)中模型预测2024年此款手机产量为多少(单位：千部)时，所获利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数fx=lnmx+2−lnx+2，其中m<0且f1+f−1=0．
(1)求m的值，判断fx的奇偶性并证明；
(2)函数gx=f2x+ln2x+2a有零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】按并集的运算直接求解．
【详解】由并集的概念可得：A∪B=−1,0,1,2．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定格式，直接写出答案即可．
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
命题p:∀x>0,ex−lnx>2的否定为“∃x>0,ex−lnx≤2”
故选：C
3.【答案】D
【解析】【分析】根据函数有意义的条件，求函数定义域．
【详解】函数fx=1 1−x有意义，则1−x>0，解得x<1，
所以函数fx=1 1−x的定义域为−∞,1．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【详解】试题分析：若α=π6，则tanπ6= 33；若tanα= 33，则α=kπ+π6，推不出α=π6.所以“α=π6”是“tanα= 33”成立的充分不必要条件．故选 A．
考点：充分必要条件．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据扇形弧长公式l=αR代入求解即可．
【详解】因为圆弧AC所对的圆心角α=60∘=π3，所以▵OAC为等边三角形，
如图所示：
所以OA=OC=AC=10，即圆弧的半径R=10，
所以圆弧AC的长为AC⌢=αR=π3×10=10π3．
故选：C
6.【答案】C
【解析】【分析】结合指数函数和对数函数的单调性求a的取值范围．
【详解】已知a>0且a≠1．
由lga13>lgaa⇒13综上：13故选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】由fx=1−x21+x2，得f1x+fx=0，利用结论可得．
【详解】由fx=1−x21+x2，得f1x=1−1x21+1x2=x2−11+x2，
所以f1x+fx=x2−11+x2+1−x21+x2=0，
f12024+f12023+⋯+f12+f0+f2+⋯+f2023+f2024
=f0+f12+f2+⋯+f12024+f2024=1+0=1
故选：B
8.【答案】A
【解析】【分析】由①②可推导fx的奇偶性以及单调性，结合性质可建立a,b的不等关系，求出ba的范围，代入aa+b中即可求出结果．
【详解】对于①，∀x1,x2∈R，且x1≠x2，都有x2−x1fx1−fx2>0，即x2−x1与fx2−fx1符号相反，所以fx为R上的减函数；
对于②，∀x∈R，都有fx−1+f1−x=0，即fx+f−x=0，则fx为R上的奇函数；
若fa2−5ab+f8b2−ab≥0(ab>0)，则fa2−5ab≥−f8b2−ab，即fa2−5ab≥fab−8b2，
由fx单调性知a2−5ab≤ab−8b2，
因为ab>0，化简可得：8ba2−6ba+1≤0，解得：14≤ba≤12．
则aa+b=11+ba∈23,45．
故选：A
9.【答案】BC
【解析】【分析】看对应法则以及定义域是否均相同，逐一判断每一选项即可．
【详解】对于A，fx=x0的定义域为−∞,0∪0,+∞，gx=1为全体实数，故此时函数fx与gx不是同一个函数，
对于B，fx=x=gx= x2对全体实数都成立，所以此时函数fx与gx是同一个函数，
对于C，fx=x=gx=(3x)3对全体实数都成立，所以此时函数fx与gx是同一个函数，
对于D，fx=x2≠gx=(x+1)2，对应法则不同，此时函数fx与gx不是同一个函数．
故选：BC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】对于选项A，B利用作差法即可判断；对于选项C，D利用不等式的性质即可判断．
【详解】∵a,b,c∈R且00,ab>0，
对于选项A:∵1a−1b=b−aab>0,∴1a>1b，故选项 A正确；
对于选项B:∵1a−1b−a=b−2aab−a,而b−2a正负性不确定，故选项 B错误；
对于选项C:∵0对于选项D:∵0故选：AD．
11.【答案】AC
【解析】【解析】
【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可．
【详解】f1=1α=1， A正确；
当α=−1时，fx=1x分别在−∞,0,0,+∞上单调递减，在定义域上不单调， B错误；
当α=3时，fx=x3的定义域为R，且f−x=−x3=−x3=−fx，
所以函数fx是奇函数， C正确；
当α=12时，fx= x的值域为0,+∞， D错误．
故选：AC
12.【答案】ABD
【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误．
【详解】因为函数fx=x2−2x+2的对称轴为x=1，故函数fx在1,b单调递增。
所以值域1,b2−2b+2，又1,b为函数fx=x2−2x+2的“完美区间”，
所以b2−2b+2=b，得b=2或b=1，因为b>1，所以b=2，故 A对；
假设函数fx=lg2x，存在“12倍美好区间”设定义域为a,b，值域为12a,12b，
当0所以lg2a=12alg2b=12b，解得a=2b=4，故 B对；
因为fx=2x−2在1,+∞上单调递增，在−∞,1上单调递减，
假设函数fx=2x−2存在“完美区间”a,b，
当a则2−2a=b2−2b=a，解得a=0b=1，即假设成立，故 C错；
假设函数fx=2x定义域内任意子区间a,b，
因为fx=2x在R上单调递增，所以值域为2a,2b，故R内任意一个子区间都是fx=2x“2倍美好区间”，故D对
故选：ABD
13.【答案】(1,3)
【解析】【分析】
本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么关系．
根据所有的指数函数过(0,1)点，函数f(x)=ax−1+2，当指数x−1=0，即x=1时，y=3，得到函数的图象恒过(1,3)．
【解答】
解：根据指数函数过(0,1)点，
∴函数f(x)=ax−1+2，
当指数x−1=0即x=1时，y=3，
∴函数的图象恒过(1,3)
故答案为：(1,3)．
14.【答案】94
【解析】【分析】由基本不等式求积的最大值．
【详解】a>0,b>0,a+b=3，
由基本不等式可知ab≤a+b22=94，
当且仅当a=b=32时等号成立，即ab的最大值为94．
故答案为：94
15.【答案】xx<3或−∞,3
【解析】【分析】由所给“高斯函数”的概念，直接求解．
【详解】由x≤2⇒x<3
故答案为：x|x<3
16.【答案】2,4,5,6
【解析】【分析】作分段函数f(x)的图象，根据数形结合，分类讨论a对方程f(t)=a根的个数的影响及t与−1的大小关系，可得出t=x2−1的根的个数，从而得出原方程的根的个数．
【详解】作函数fx=lg2−x,x<0−x2+2x,x≥0的图象，如图，
令t=x2−1≥−1，
则方程f(t)=a的根可结合图象分析如下：
当a>1时，方程f(t)=a有两不相等实根，其中满足t>−1的只有1个根，
此时t=x2−1有2个不相等的实根，即方程fx2−1=a有2个不相等的实根；
当a=1时，方程f(t)=a有3个不相等实根，其中满足t>−1的有2个根，
此时t=x2−1有4个根，即方程fx2−1=a有4个根；
当0−1的有3个根，
此时t=x2−1有6根，即方程fx2−1=a有6个根；
当a=0时，方程f(t)=a有3个根，其中满足t>−1的有2个根，满足t=−1的有1个根，此时t=x2−1有5个根，即方程fx2−1=a有5个根；
当a<0时，方程f(t)=a有1个根，满足t>−1，此时t=x2−1有2个根，即方程fx2−1=a有2个根，
综上，方程fx2−1=aa∈R的实数根个数可能为2，4，5，6．
故答案为：2,4,5,6
17.【答案】解：(1)当a=−3时，A={x−6所以∁RA∩B={xx≤−4或x≥−2}．
(2)因为A⊆B，则当A=⌀时，2a≥a+1，因此a≥1，
当A≠⌀时，2a所以a的取值范围为−2,+∞．

【解析】(1)把a=−3代入，利用交集、补集的定义求解即得．
(2)利用包含关系，按集合A是否为空集分类列式求解．
18.【答案】解：(1)eln2+lg 10−0.12513−π0=2+lg1012−0.5313−1=2+12−12−1=1；
(2)sin2π+θcsπ2+θcsπ−θ=sinθ−sinθ⋅−csθ=1csθ，
又因为sinθ=35，θ为第二象限角，所以csθ=− 1−sin2θ=−45．
所以原式=1csθ=−54．

【解析】(1)根据指数幂和对数的运算求解；
(2)先根据诱导公式将所求式子化简，利用平方关系求出csθ，得解．
19.【答案】解：(1)因为函数fx是偶函数，所以f−1=f1=1−2=−1，
作出图象如图所示：
(2)∀x1,x2∈1,3，且x1=x1−x2⋅x1+x2−2x1−x2=x1−x2⋅x1+x2−2，
由1≤x10，
所以x1−x2⋅x1+x2−2<0，
即fx1所以函数fx在区间1,3上单调递增．

【解析】(1)由偶函数可得f−1=f1=1−2=−1，可以先画出x>0时的图象，然后利用关于y轴对称画出另一半即可．
(2)由函数单调性的定义证明即可．
20.【答案】解：(1)由题意可知2π2ω=π.所以ω=1
即fx=2cs2x+π3
所以2kπ≤2x+π3≤π+2kπ,k∈Z
所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z
所以fx的单调减区间为−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z
(2)因为0≤x≤π2，所以π3≤2x+π3≤4π3，
所以−1≤cs2x+π3≤12，所以−2≤fx≤1，
所以函数fx在0,π2上的值域为−2,1．

【解析】(1)根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可；
(2)根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数求解．
21.【答案】解：(1)由题意可得
Wx=650x−10x2−50x−200,0即Wx=−10x2+600x−200,0(2)当0当x=30时，Wx取最大值，W30=8800(万元)；
当x≥50时，Wx=−x−10000x+9280，
Wx=−x+10000x+9280≤−2 x⋅10000x+9280=9080，
Wx≤9080(万元)，当且仅当x2=10000，即x=100时，等号成立，
因为8800<9080，
故当年产量为100(千部)时所获利润最大，最大利润为9080(万元)．

【解析】(1)由已知条件，根据销售额和成本计算利润；
(2)由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值．
22.【答案】解：(1)因为f1+f−1=0，
所以lnm+2−ln3+ln−m+2−ln1=0，
所以ln4−m2=ln3得m2=1，又m<0，所以m=−1，
所以fx=ln−x+2−lnx+2，
函数fx为奇函数．
证明如下：
因为−x+2>0x+2>0，所以−2所以函数fx的定义域为−2,2，
∀x∈−2,2都有−x∈−2,2，
f−x=lnx+2−ln−x+2=−ln−x+2−lnx+2=−fx，
所以fx为奇函数．
(2)因为gx=ln−2x+2−ln2x+2+ln2x+2a，
由−2x+2>0,2x+2>0,2x+2a>0，所以x∈−∞,1，
因为函数gx有零点，
所以ln−2x+2−ln2x+2+ln2x+2a=0有根，
即ln2x+2a=ln2x+2−2x+2，
有2x+2a=2x+2−2x+2，
所以2a=2x+2−2x+2−2x=4−2x+2−1−2x=4−2x+2−2x+2−3，
令t=−2x+2,0<2x<2,0<2−2x<2，得0所以2a=4t+t−3,0令ℎt=4t+t−3,0所以ℎt>42+2−3=1，
所以2a>1得a>0．
综上，a的取值范围是0,+∞．

【解析】(1)根据条件f1+f−1=0运算求得m，利用奇偶性定义判断证明；
(2)函数gx有零点，转化为2a=4−2x+2−2x+2−3，换元令t=−2x+2，即2a=4t+t−3,0思路点睛：第二问，函数gx有零点，即ln−2x+2−ln2x+2+ln2x+2a=0有根，转化为2a=4−2x+2−2x+2−3有解，换元令t=−2x+2，上式转化为2a=4t+t−3,0