（全国通用）中考数学总复习 专题17 相似三角形（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题17 相似三角形（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共73页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc258" 【考点1 比例的性质】 PAGEREF _Tc258 \h 1
\l "_Tc13452" 【考点2 比例线段】 PAGEREF _Tc13452 \h 2
\l "_Tc26158" 【考点3 黄金分割】 PAGEREF _Tc26158 \h 3
\l "_Tc10422" 【考点4 平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc10422 \h 6
\l "_Tc26185" 【考点5 相似多边形】 PAGEREF _Tc26185 \h 7
\l "_Tc15292" 【考点6 相似三角形的判定与性质】 PAGEREF _Tc15292 \h 9
\l "_Tc30668" 【考点7 网格中的相似三角形】 PAGEREF _Tc30668 \h 12
\l "_Tc6545" 【考点8 相似三角形中的动点问题】 PAGEREF _Tc6545 \h 13
\l "_Tc20691" 【考点9 相似三角形的应用】 PAGEREF _Tc20691 \h 15
\l "_Tc14858" 【考点10 位似变换】 PAGEREF _Tc14858 \h 17
【要点1 比例的性质】
【考点1 比例的性质】
【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足ab=cd，则以下等式不一定成立的是（ ）
A．ac＝bdB．a+bb＝c+dd
C．a−9b＝c−9dD．a−9ba+9b＝c−9dc+9d
【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4y=5z，则x+y+z的最小值是________．
【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足ba+c=ac+b=ca+b=k，从下列四点：① (1,12)；②(2，1)；③ (1,−12)；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是_______．
【要点2 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【考点2 比例线段】
【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4B．1，2，3，4
C．3，5，9，13D．1，2，2，3
【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000kmB．6000kmC．600kmD．60km
【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB的中段分点．
(1)已知点M、N是线段AB的中段分点．
①若AM=2，MN=3，则BN= ；
②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．
(2)如图2，在ΔABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段FG的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．.
【要点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【考点3 黄金分割】
【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR>RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为______．
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．
【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈________DE.（精确到0.001）

【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一
宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若AD=2，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC⋅AB，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得BCAB=5−12．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若AD=2，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
【要点4 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【要点5 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
【考点4 平行线分线段成比例】
【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE=3，BC=8，则OB的长为___________．
【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线
(2)若AEDE=23,AF=10，求⊙O的半径．
【考点5 相似多边形】
【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则ba的值为（ ）
A．22B．12C．24D．14
【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是( )
A．甲与乙B．乙与丙C．甲与丙D．以上都不对
【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则A1B1AB的值为（ ）
A．12B．22C．14D．24
【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【要点6 相似三角形的判定】
【要点7 相似三角形的性质】
【考点6 相似三角形的判定与性质】
【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A．56B．1C．54D．53
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DEEF的值是______．
【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE=19，则MC+MN的最小值为______．
【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC的长．
【考点7 网格中的相似三角形】
【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）
【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）
（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ．
【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的顶点都是格点（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）．
（1）如图1，在AC边上找点E，使ΔADE与ΔABC相似；
（2）如图2，在BC边上找点F，使ΔDBF与ΔABC相似．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是_____．
【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为t(s)(0(1)当EQ⊥AD时，求t的值；
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边AB的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．
【考点9 相似三角形的应用】
【例9】（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD中点．
（1）收纳盒的长BC=_______；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．
【变式9-1】（2022·广西·统考中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．
【变式9-2】（2022·上海·统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【变式9-3】（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，sin∠CAF=910．求此时拉杆BC的伸长距离．
【要点8 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【考点10 位似变换】
【例10】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAOA'=13，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（ ）
A．4B．6C．16D．18
【变式10-1】（2022·重庆·统考中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9
【变式10-2】（2022·山东青岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是−2,3，先将△ABC绕点−1,0顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1∶2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．4,2B．6,4
C．6,4或−6,−4D．4,2或−4,−2
【变式10-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）如图，在8×11网格图中，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
(1)直接写出：tanC= ______ ；
(2)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A(−1,5)，点C1(2,2)．
①以点C为位似中心，在网格中作出△A2B2C，使△A2B2C和△ABC位似，且位似比为1：2；
②在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，位似中心点P的坐标为______． 比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
判定定理
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如图，如果，，则
．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，如果，则
．
判定定理3：
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
①相似三角形的对应角相等．
如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝12∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
专题17 相似三角形（10个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc258" 【考点1 比例的性质】 PAGEREF _Tc258 \h 1
\l "_Tc13452" 【考点2 比例线段】 PAGEREF _Tc13452 \h 4
\l "_Tc26158" 【考点3 黄金分割】 PAGEREF _Tc26158 \h 6
\l "_Tc10422" 【考点4 平行线分线段成比例】 PAGEREF _Tc10422 \h 12
\l "_Tc26185" 【考点5 相似多边形】 PAGEREF _Tc26185 \h 18
\l "_Tc15292" 【考点6 相似三角形的判定与性质】 PAGEREF _Tc15292 \h 21
\l "_Tc30668" 【考点7 网格中的相似三角形】 PAGEREF _Tc30668 \h 31
\l "_Tc6545" 【考点8 相似三角形中的动点问题】 PAGEREF _Tc6545 \h 36
\l "_Tc20691" 【考点9 相似三角形的应用】 PAGEREF _Tc20691 \h 51
\l "_Tc14858" 【考点10 位似变换】 PAGEREF _Tc14858 \h 58
【要点1 比例的性质】
【考点1 比例的性质】
【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足ab=cd，则以下等式不一定成立的是（ ）
A．ac＝bdB．a+bb＝c+dd
C．a−9b＝c−9dD．a−9ba+9b＝c−9dc+9d
【答案】C
【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．
【详解】解：∵一组不为零的数a，b，c，d，满足ab=cd，
∴ ac=bd，ab+1=cd+1，即a+bb=c+dd，故A、B一定成立；
设ab=cd=k，
∴a=bk，c=dk，
∴a−9ba+9b=kb−9bkb+9b=k−9k+9，c−9dc+9d=kd−9dkd+9d=k−9k+9，
∴a−9ba+9b=c−9dc+9d，故D一定成立；
若a−9b=c−9d则ab−9b=cd−9d，则需9b=9d，
∵b、d不一定相等，故不能得出a−9b=c−9d，故D不一定成立．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，
2.5a=3×1，
解得a=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4y=5z，则x+y+z的最小值是________．
【答案】47
【分析】先设3x=4y=5z=k，再利用等量关系消元，用k表示x+y+z，最后再利用x,y,z都是正整数得出k的最小值即可．
【详解】设3x=4y=5z=k，则x=13k，y=14k，z=15k，
∴x+y+z=13k+14k+15k=4760k，
∵4760>0，
∴x+y+z的值随k的增大而增大，
又∵x，y，z都是正整数，且x=13k，y=14k，z=15k，
∴k是3，4，5的公倍数，
∴k的最小值为60，
∴x+y+z的最小值为4760×60=47，
故答案为：47
【点睛】本题考查了设k法，函数思想，以及函数的最值等要点，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足ba+c=ac+b=ca+b=k，从下列四点：① (1,12)；②(2，1)；③ (1,−12)；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是_______．
【答案】34
【分析】根据先求出k值，进而求得正比例函数的解析式，再根据正比例函数图象上点的坐标特征依次判断四个点，进而利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵a、b、c、满足ba+c=ac+b=ca+b=k，
∴当a+b+c=0时，k=﹣1，
此时正比例函数的表达式为y＝12x，
将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；
当a+b+c≠0时，
k= b+a+ca+c+c+b+a+b= b+a+c2(a+b+c)= 12，
∴正比例函数的表达式为y＝12x，
将四个点代入，点①(1,12)和点②(2，1)在正比例函数y＝12x的图象上，
∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是34，
故答案为：34．
【点睛】本题考查等比性质、正比例函数图象上点的坐标特征、求概率公式，能分类求解k值是解答的关键．
【要点2 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【考点2 比例线段】
【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4B．1，2，3，4
C．3，5，9，13D．1，2，2，3
【答案】A
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4=2×2，故选项符合题意；
B、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
C、3×13≠5×9，故选项不符合题意；
D、1×3≠2×2，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（ ）
A．600000kmB．6000kmC．600kmD．60km
【答案】C
【分析】首先设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程1：2000000＝30：x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
【详解】解：设相距30cm的两地实际距离为xcm，
根据题意得：1：2000000＝30：x，
解得：x＝60000000，
∵60000000cm＝600km，
∴相距30cm的两地实际距离为600km．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例尺的性质．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．
【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【答案】B
【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得bc=ab，又由a：b=12：8，即可求得答案．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，
∴bc=ab
∵a:b=12:8，
∴ab=128=32，
∴b:c=3:2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB的中段分点．
(1)已知点M、N是线段AB的中段分点．
①若AM=2，MN=3，则BN= ；
②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．
(2)如图2，在ΔABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段FG的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．.
【答案】(1)①92，②1或4.
(2)PK是线段FG的比例中段，理由见解析
【分析】（1）根据点M、N是线段AB的中段分点，可得MN2=AM·BN，据此进行计算即可；
（2）设GFAB=k，根据平行线分线段成比例定理，得出GKBN=k，KPMN=k，PFAM=k，再根据MN2=AM·BN，得出KP2=GK·PF，即可得到PK是线段FG的比例中段．
【详解】（1）①由题可得，MN2=AM·BN，AM=2，MN=3，
∴BN=92；
故答案为：92；
②设AM=x，则由题可得：22=x(5−x)，
解得x=1或4，
∴AM的长为1或4；
（2）PK是线段FG的比例中段．
理由如下：设GFAB=k，
∵FG∥AB，
∴ GKBN=GCBC=GFAB=k，
同理，KPMN=k，PFAM=k，
∴GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，
∵MN是线段AB的比例中段，
∴MN2=AM·BN，
∴k2MN2=kMN·kBN，
∴KP2=GK·PF，
即PK是线段FG的比例中段．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
【要点3 黄金分割】
如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【考点3 黄金分割】
【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR>RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为______．
【答案】1
【分析】设AB=a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：设AB=a，
∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR>RB，
∴AR=5−12AB=5−12a，
则BR=AB−AR=a−5−12a=3−52a，
∴S1：S2=(5−12a)2：a×3−52a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查是黄金分割的概念、黄金比值，熟记黄金比值为5−12是解题的关键．
【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．
【答案】5＋2
【分析】根据黄金分割的定义可得：AC=5−12AB，BD=5−12AB，从而可AC+BD=AB+CD=（5﹣1）AB，故可求得AB的长．
【详解】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝5−12AB，BD＝5−12AB，
∴AC＋BD＝（5﹣1）AB，
即AB＋CD＝（5﹣1）AB，
∵CD=1，
∴AB＝5＋2，
故答案为：5＋2．
【点睛】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（5﹣1）AB．
【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈________DE.（精确到0.001）

【答案】0.618
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由DE≈0.618AD得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得EGDE，即可得到答案．
【详解】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx−y≈0.382xx−0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE．
故答案为：0.618．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键．
【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一
宽与长的比是5−12的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若AD=2，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC⋅AB，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得BCAB=5−12．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若AD=2，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再求BN：BC的值即可判断；
（2）如图，连接GE, 设AG=x, 则GK=x,GD=2−x, 再利用轴对称的性质与勾股定理求解KE=5−2, 再利用勾股定理建立方程求解x，从而可得答案．
【详解】证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，
由正方形边长为2，
根据第二步可知，FB=1,
在△FCB中，根据勾股定理， 得FC=22+12=5,
根据第三步可知，FC=FN=5,
∴BN=5−1,
∴ BNBC=5−12.
∴矩形BNMC是黄金矩形．
（2）如图，连接GE, 正方形的边长AD=2,
由对折可得：AF=BF=CE=DE=1,BA=BK=2,AG=GK,∠A=∠GKB=90°,
∴BE=22+12=5,EK=5−2,∠GKE=90°,
设AG=x,
∴GK=x,GD=2−x,
所以由勾股定理可得：
(2−x)2+12=x2+(5−2)2,
解得：x=5−1,
∴AGAD=5−12,
所以G点是AD的黄金分割点．
【点睛】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．
【要点4 平行线分线段成比例定理】
两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．
【要点5 平行线分线段成比例定理的推论】
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理
若或或，则有EF//BC．
【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．
【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可．
【考点4 平行线分线段成比例】
【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据CD∥OB得出ACAO=CDOB，根据AC:OC=1:2，得出ACAO=13，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB=6，即可得出答案．
【详解】解：∵CD∥OB，
∴ACAO=CDOB，
∵AC:OC=1:2，
∴ACAO=13，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD=3−1=2，
∴2OB=13，
解得：OB=6，
∴B点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出ACAO=CDOB=13，是解题的关键．
【变式4-1】（2022·吉林延边·统考二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为______．
【答案】4
【分析】由AB∥CD∥EF，推出ADAF=BCBE，推出35=6BE，可得结论．
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴ADAF=BCBE，
∴35=6BE，
∴BE=10，
∴CE=BE-BD=10-6=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE=3，BC=8，则OB的长为___________．
【答案】5
【分析】由平行线分线段成比例可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形斜边中线的性质可得OB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∴AOAC=OECD，即12=3CD，
∴CD=6，
在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=82+62=10，
∵点O是AC的中点，
∴OB=12AC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，求出CD的长度是本题的关键．
【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线
(2)若AEDE=23,AF=10，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得 (4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得⊙O的半径OA长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OD；
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠DEB；
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接CF，
由（1）知OD⊥DE，
∵DE⊥AB，
∴OD∥AB，
∵OA=OC，
∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CFA=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠CFA=∠BED=90°，
∴DE∥CF，
∴BEEF=BDDC=1
∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，
∴CF=2DE,
∵AEDE=23，
∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，
∵AF=10，
∴BE=EF=AE+AF=2k+10，
∴AC=BA=EF+AE=4k+10，
在Rt△ACF中，由勾股定理，得
AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，
解得：k=4，
∴AC=4k+10=4×4+10=26，
∴OA=13,
即⊙O的半径为13．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线， DE是△FBC的中位线是解题的关键．
【考点5 相似多边形】
【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则ba的值为（ ）
A．22B．12C．24D．14
【答案】B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为14a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴ ab=b14a，
∴a=2b．
即ba的值是12
故选：B．
【点睛】此题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是( )
A．甲与乙B．乙与丙C．甲与丙D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．
【详解】甲：矩形宽与长比为：34；
乙: 矩形宽与长比为：12;
丙: 矩形宽与长比为：24=12,
所以乙和丙的宽与长的比相等，故这两个矩形相似.
故选B.
【点睛】考查相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形．
【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则A1B1AB的值为（ ）
A．12B．22C．14D．24
【答案】B
【分析】根据相似多边形的性质进行求解即可.
【详解】解:
图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分别是两个正方形的边心距, △OC1F 是等腰直角三角形, 因而OF: OC1=22因而则A1B1AB的值为 22.
故选B.
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似, 边心距的比, 半径的比都等于相似比.
【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得ABA′B′≠ADA′D′，即新矩形与原矩形不相似．
【详解】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ABA′B′=CDC′D′=35,ADA′D′=BCB′C′=57，
∴ABA′B′≠ADA′D′，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【要点6 相似三角形的判定】
【要点7 相似三角形的性质】
【考点6 相似三角形的判定与性质】
【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A．56B．1C．54D．53
【答案】A
【分析】根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出BF，求出FH=BH=152，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∼△DFG，根据相似三角形的性质得出EHDF=GHFG，再求出答案即可．
【详解】解析：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，
∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，
∵EH∥CD，
∴FH=BH，
∵BE=CE，
∴EH=12CF=32．
由勾股定理得：BF=BC2+CF2=42+32=5，
∴BH=FH=12BF=52，
∵EH∥CD，
∴△EHG∼△DFG，
∴EHDF=GHFG，
∴323=GH52−GH，
解得：GH=56，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DEEF的值是______．
【答案】37
【分析】先根据勾股定理得出AB=5，根据△ABE的面积是2，求出点E到AB的距离为45，根据Rt△ABC的面积，求出点C到AB的距离为AC⋅BCAB=125，即可得出点C到DF的距离为85，根据相似三角形的判定与性质，得出CDCA=23=DFAB，求出CD=2，DF=103，根据等角对等边求出DA=DE=1，即可求出EF=DF−DE=103−1=73，即可得出最后结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5，
∵△ABE的面积是2，
∴点E到AB的距离为45，
在Rt△ABC中，点C到AB的距离为AC⋅BCAB=125，
∴点C到DF的距离为85，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
∴CDCA=23=DFAB，
∴CD=2，DF=103，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DA=DE=1，
∴EF=DF−DE=103−1=73，
∴DEEF=37，
故答案为：37．
【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点E到AB的距离为45，点C到DF的距离为85．
【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE=19，则MC+MN的最小值为______．
【答案】5172##5217
【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM=MN+AM⩾AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明ΔDCG∽ΔFCE，再由SΔDCGSΔFCE=19，可知CDCF=13，分别求出DE=1，CE=3，CF=12，即可求出AN．
【详解】解：连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM=AM，
∴MN+CM=MN+AM⩾AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD ∥ CF，
∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE+∠DEH=90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH=90°，
∴∠DAE=∠CDG，
∴∠CDG=∠F，
∴ΔDCG∽ΔFCE，
∵ SΔDCGSΔFCE=19，
∴ CDCF=13，
∵正方形边长为4，
∴CF=12，
∵AD ∥ CF，
∴ ADCF=DECE=13，
∴DE=1，CE=3，
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，
∴EF=32+122=317，
∵N是EF的中点，
∴EN=3172，
在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，
∴AE=42+12=17，
∴AN=AE+EN=5172，
∴MN+MC的最小值为5172，
故答案为：5172．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理．
【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)k−1
(3)22
【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；
（2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方形，再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形PKEF是矩形，则有PF=5=1210a，即可求出BC=22．
【详解】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠3=12∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠DCF=12∠DCG=45°．
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴AEEF=AHCE，
∵ABBC=k2，E是BC边的中点，
∴EC=HB=12BC，
∴AH=AB-12BC=12k−1BC，
∴AEEF=k−1；
（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k=3，
∴ABBC=32，
设AB=3a，则BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中点，
∴BE=a，
∴HE=2a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠MEC=45°，
∴∠PME=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEM≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=5a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴AHEC=AEFE=2aa=2，
∵AE=10a
∴EF=102a，
∵∠HEM=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠MEF，
∵∠PEM=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
过点P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PK∥EF，
∵PK=1210a，
∴PK=EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵PF=5，
∴1210a=5，
∴a=2,
∴BC=22．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．
【考点7 网格中的相似三角形】
【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）利用旋转变换的性质作点B的对应点E，CE=CB，CE与格点交于点F，连接BF即可， FC∶BC=FC∶EC=3∶4，tan∠FBC=34，tan∠ABD=34，因此∠EBC=∠ABD，∠ADB=∠BCF=90∘，进而可得△BCF∽△BDA；
（2）作点D关于BC的对称点D'，连接AD'交BC于点H。连接DH，点H即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段CE，点F即为所求，
（2）解：如图，线段DG，点H即为所求，
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，对称的性质及相似三角形的判定，灵活运用以上要点作图是做出本题的关键．
【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．
(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．
(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意找到格点P,Q，画出线段PQ即可
（1）
如图所示，PQ即为所求，
（2）
如图所示，取格点J,K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N连接MN，则MN即为所求，
∵EO//JF
∴△MOE∽△MHF
∴ OEJF=MEMF=23
同理ENNG=23
∴EMMF=ENEG,∠E=∠E
∴△EMN∽△EFG
∴ EMEF=25．
【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）
（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为 ．
【答案】（1）见详解；（2）32，作图见详解．
【分析】（1）过点P作BC的平行线，交AB于点Q或找到格点F，连接PF交AB于点Q，即可；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，再证明∆BDN~∆BMC，列出比例式，即可求解．
【详解】（1）如图①，过点P作BC的平行线，交AB于点Q，即为所求点，找到格点F，连接PF交AB于点Q，即为所求点；
（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，理由如下：
由题意得：BC=3，AC=4，AB=5，
∴BE=14AB=54，HE=BE2−BH2=34，DE=2-HE=54，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分线，
∴以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，
∵MC∥DN，
∴∆BDN~∆BMC，
∴MCDN=BCBN，即MC1=32，解得：MC=32，
∴此时⊙M的半径为：32，
故答案是：32．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理，找准格点位置，掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的顶点都是格点（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）．
（1）如图1，在AC边上找点E，使ΔADE与ΔABC相似；
（2）如图2，在BC边上找点F，使ΔDBF与ΔABC相似．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作以AC为对角线的矩形的中心E，连接DE即可；
（2）作以BC为对角线的矩形的中心F，连接DF即可．
【详解】（1）如图1，△ADE即为所求；
（2）如图2，△DBF即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是_____．
【答案】52π##5π2
【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且ΔAQM∼ΔFQN， NQ:MQ=1:2,点H在以BQ为直径的PN上运动，运动路径长为PN的长，求出BQ及PN的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【详解】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=12AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴ΔAQM∼ΔFQN，
∴NFEM=NQMQ=12
∴NQ=13MN=2
当点E与点A重合时，则NF=12AM=2，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴ΔABF是等腰直角三角形，
∴∠AFB=45°,
∵BP⊥AF，
∴∠PBF=45°
由题意得，点H在以BQ为直径的PN上运动，运动路径长为PN长，取BQ中点O，连接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又∠BNQ=90°,
∴BQ=BN2+NQ2=42+22=25，
∴ON=OP=OQ=12BQ=5，
∴PN的长为90π×5180=52π
故答案为：52π
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为PN长是解答本题的关键．
【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【答案】(1)EPPC=49；
(2)y关于x的函数解析式为y=34x20≤x≤2−34x2+32x+32x2≤x≤4336+23−x−3x433≤x≤23；当x=433时，y的最大值为2+233；
(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析
【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得△AFD~△BFG，可得AFFB=ADBG，根据题意可得AF=83，AE=23，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当2≤x≤433时，E点在BD上，F点在AB上；当433≤x≤23时，点E、F均在BD上，即可求解；
（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 ．
（1）
解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CG∥AD，
∴△AFD~△BFG，
∴AFFB=ADBG，
∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为23秒，
∴AF=83，AE=23，
∵AB=4，AD=2，
∴BF=43， ED=43，
∴8343=2BG，
∴BG=1，
∴CG=3，
∵CG∥AD，
∴△PDE∽△PGC，
∴EPPC=EDGC，
∴EPPC=49；
（2）
解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，AF=3x，
∵DB=23， AB=4，AD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∵ADAB=12，
∴∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
如图，过点E作EH⊥AB交于H，
∴EH=AE⋅sin60°=32x，
∴y=12×AF×EH=12×3x×32x=34x2；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
此时当x=2时，y有最大值3；
当2≤x≤433时，E点在BD上，F点在AB上，
如图， 过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，则EN∥DM，
根据题意得：DE=x-2，
∴BE=23+2−x，
在Rt△ABD中，DM=AD⋅sinA=3，AM=1，
∵EN∥DM，
∴△BEN∽△BDM，
∴ENDM=BEBD，
∴EN3=2+23−x23
∴EN=1+3−12x，
∴y=12×AF×EN=12×(3x)×(1+3−12x)=−34x2+3+32x，
此时该函数图象的对称轴为直线x=3+1 ，
∴当2≤x≤433时，y随x的增大而增大，
此时当x=433时，y有最大值2+233；
当433≤x≤23时，点E、F均在BD上，
过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，过点D作DM⊥AB于点M，
∴AB+BF=3x，DA+DE=x，
∵AB=4，AD=2，
∴BE=23−x+2，DF=4+3，
∵PF∥DM，
∴△BFP∽△BDM，
∴BFBD=PFDM，即3x−423=PF3，
∴PF=32x−2，
∵EQ//DM，
∴△BEQ∽△BDM，
∴BEBD=EQDM，即23+2−x23=EQ3，
∴EQ=3+1−12x，
∴y=12×AB×(EQ−PF)=12×4×(3+1−12x−32x+2)=6+23−1+3x，
此时y随x的增大而减小，
此时当x=433时，y有最大值2+233；
综上所述：y关于x的函数解析式为y=34x20≤x≤2−34x2+32x+32x2≤x≤4336+23−x−3x433≤x≤23
当x=433时，y最大值为2+233；
（3）
解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：
连接DH，如图，
∵AH=13HB，AB=4，
∴．AH=1，
由（2）得：此时AH⊥AB，
∵M是DF的中点，
∴HM=DM=MF，
∵EF∥BD，BD⊥AD，
∴EF⊥AD，
∴EM=DM=FM，
∴EM=HM．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．设运动时间为t(s)(0(1)当EQ⊥AD时，求t的值；
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)165s
(2)S=12t2−3710t+14
(3)存在，t=6529s
【分析】（1）利用△AQE∽△AED得AQAE=AEAD，即t4=45，进而求解；
（2）分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N，证△ABC∽△CAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125，CM=165，再证△BPN∽△BAC得BPBA=PNAC，得出PN=45t，根据S=S四边形PCDQ=S△ABC+S△ACD−S△APQ−S△BPC即可求出表达式；
（3）当PQ∥CD时∠AQP=∠ADC，易证△APQ∽△MCD，得出APMC=AQMD，则5−t165=t135，进而求出t值．
（1）
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=AB2−BC2=25−9=4
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE
∴AD=5，DE=3，AE=4，∠AED=90°，∠BAD=90°
∵EQ⊥AD
∴∠AQE=∠AED=90°
又∠EAQ=∠DAE
∴△AQE∽△AED
∴AQAE=AEAD
∴t4=45
∴t=165
答：当EQ⊥AD时，t的值为165s．
（2）
解：分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N
∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°
∴∠B=∠CAM
又∠BCA=∠AMC=90°
∴△ABC∽△CAM
∴ABCA=BCAM=ACCM
∴54=3AM=4CM
∴AM=125，CM=165
∵∠B=∠B，∠BNP=∠BCA=90°
∴△BPN∽△BAC
∴BPBA=PNAC
∴t5=PN4
∴PN=45t
∴S△ABC=12⋅BC⋅AC=12×3×4=6,S△ACD=12⋅AD⋅CM=12×5×165=8
S△PBC=12⋅BC⋅PN=12×3×45t=65t,S△APQ=12⋅AQ⋅AP=12t(5−t)
∴S=S四边形PCDQ=S△ABC+S△ACD−S△APQ−S△BPC
=6+8−12t(5−t)−65t
=12t2−3710t+14
∴S=12t2−3710t+14
（3）
解：假设存在某一时刻t，使PQ∥CD
∵AD=5,AM=125
∴DM=AD−AM=5−125=135
∵PQ∥CD
∴∠AQP=∠ADC
又∠PAQ=∠CMD=90°
∴△APQ∽△MCD
∴APMC=AQMD
∴5−t165=t135
∴t=6529
∴存在时刻t=6529s，使PQ∥CD．
【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．
【变式8-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边AB的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段DP的长；
(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；
(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．
【答案】(1)3
(2)当0≤t≤1时，DP=13−13t；当1＜t≤2时，PD=13t−13；
(3)35
(4)23或2011
【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得DE=3−3t,PE=2−2t，从而得到A′E=DE−A′D=2−3t，在Rt△A′PE中，由勾股定理可得t=25，即可求解；
（4）分两种情况讨论：当点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点A′（A″）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．
（1）
解：如图，连接DM，
∵AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴DM=AD2−AM2=3，
即点D到边AB的距离为3；
故答案为：3
（2）
解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
DP=13−13t；
当1＜t≤2时，点P在BD边上，PD=13t−13；
综上所述，当0≤t≤1时，DP=13−13t；当1＜t≤2时，PD=13t−13；
（3）
解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，
∵作点A关于直线PM的对称点A′，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，
∴当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，
∴A′D=1，
根据题意得：A′P=AP=13t，DP=13−13t，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴PDAD=DEDM=PEAM，
∴13−13t13=DE3=PE2，
解得：DE=3−3t,PE=2−2t，
∴A′E=DE−A′D=2−3t，
在Rt△A′PE中，A′P2=PE2+A′E2，
∴13t2=2−2t2+2−3t2，解得：t=25，
∴PE=65，
∴S△DPA′=12A′D⋅PE=12×1×65=35；
（4）
解：如图，
当点M、A′、C三点共线时，且点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，
∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在▱ABCD中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴sin∠CMN=CNCM=35，
∵A′ M=2，
∴A′G=2×35=65，
∴MG=85，
∴BG=BM−MG=25，
∴tan∠A′BA=A′GBG=3，
∴tan∠PMF=tan∠A′BA=3，
∴PFFM=3，即PF=3FM，
∵tan∠DAM=DMAM=PFAF=32，cs∠DAM=AMAD=AFAP=213，
∴PF=32AF，
∴3FM=32AF，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴AF=43，
∴4313t=213，解得：t=23；
如图，当点A′（A″）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，PB=213−13t，
过点A″作A″G′⊥AB于点G′，则∠AMA″=∠CMN，取AA″的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，
同理：A″G′=65,AG′=25，
∵HK⊥AB，A″G′⊥AB，
∴HK∥A′′G′，
∴△AHK∼△AA″G′，
∵点H是AA″的中点，
∴HKA″G′=AKAG′=AHAA″=12，
∴HK=35,AK=15，
∴MK=95，
∴tan∠PMT=tan∠HMK=HKMK=13，
∴PTMT=13，即MT=3PT，
∵tan∠PBT=DMBM=PTBT=32，cs∠PBT=BTPB=BMBD=213，
∴BT=23PT，
∴MT=92BT，
∵MT+BT=BM=2，
∴BT=411，
∴411213−13t=213，解得：t=2011；
综上所述，t的值为23或2011．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点A′的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．
【考点9 相似三角形的应用】
【例9】（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD中点．
（1）收纳盒的长BC=_______；
（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．
【答案】 2518cm 7
【分析】（1）由图知BC=BF+FG′+G′C，已知BF=8，根据ΔHAE∽ΔEBF得到FG′=HE=178，在RtΔG′CH′中根据勾股定理得到G′C=15，从而得到结论；
（2）延长HF交BC于G'，如图2所示，由（1）知在RtΔAHE中，HA=HE2−AE2=158，
根据ΔHAE∽ΔFGG′，得到FG′=289120，由FCFG′=732289得到最多有7本书可与边BC有公共点．
【详解】解：（1）如图所示：
在RtΔBEF中，∠B=90°，EF=17，BF=8，则BE=EF2−BF2=172−82=15，
∵AB=16，
∴AE=AB−BE=16−15=1，
连接AH，如图所示：
∵恰好能盖上盒盖，
∴AH⊥AB，
∵词典是长方体，
∴∠HEF=90°，即∠HEA+∠BEF=90°，
在RtΔBEF中，∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠HEA=∠BFE，
∴ΔHAE∽ΔEBF，
∴HEAE=EFBF，即HE1=178，解得HE=178，
∵将词典无滑动向右倒，
∴FG′=HE=178，
∵书角H的对应点H′恰为CD中点，
∴H′C=12CD=12AB=8，
在RtΔG′CH′中，∠C=90°，G′H′=EF=17，H′C=8，则G′C=(G′H′)2−H′C2=172−82=15，
∴BC=BF+FG′+G′C=8+178+15=2518，
∴收纳盒的长BC=2518cm，
故答案为：2518cm；
（2）延长HF交BC于G'，如图2所示：
由（1）知FG=HE=178，
∵∠BFE+∠GFG′=90°，∠HEA+∠AHE=90°，
由（1）知∠HEA=∠BFE
∴∠GFG′=∠AHE，
∴ΔHAE∽ΔFGG′，
∴FG′GF=HEAH，
由（1）知在RtΔAHE中，∠A=90°，HE=178，AE=1，则HA=HE2−AE2=(178)2−12=158，
∴FG′178=178158，解得FG′=289120，
由（1）知FC=2518−8=1718，
∵1718÷289120=732289，
∴最多有7本书可与边BC有公共点．
【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键．
【变式9-1】（2022·广西·统考中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．
【答案】134
【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：∵BF∥ED，
∴∠BAO=∠EDF，
∵∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴BO∶EF=AO∶FD，
∴BO∶2=268∶4，
∴BO=134，
故答案为：134．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比．
【变式9-2】（2022·上海·统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】(1)atanα+b米
(2)3.8米
【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα=AECE ，即可得到AB的高度；
（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到EDDF=ABBF ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到ABBH=GCCH 联立得到二元一次方程组解之即可得；
（1）
解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt∆ACE中，tanα=AECE ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）
由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴∆ABF~∆EDF，
此时EDDF=ABBF
即23=ABBC+1.8+3①，
∵AB∥GC
∴∆ABH~∆GCH，
此时ABBH=GCCH，
21=ABBC+1 ②
联立①②得
ABBC+4.8=23ABBC+1=2，
解得：AB=3.8BC=0.9
答：灯杆AB的高度为3.8米
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．
【变式9-3】（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．
(1)求⊙A的半径长；
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，sin∠CAF=910．求此时拉杆BC的伸长距离．
【答案】(1)⊙A的半径长为8cm
(2)此时拉杆BC的伸长距离为30cm
【分析】（1）如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，证明△ABK∽△ACG，得到BKCG=ABBC，即38−x59−x=5050+35，由此求解即可；
（2）先解直角三角形ACG求出AC的长即可求出BC的长．
（1）
解：如图所示，过点B作BH⊥MN于H交AF于K，设⊙A的半径长为xcm，
∵BH⊥MN，CE⊥MN，MN∥AF，AD⊥MN，
∴BH∥CE，四边形ADHK和四边形ADEG都是矩形，
∴AD=HK=GE=xcm，
∵BH=38cm，CE=59cm，
∴BK=（38-x）cm，CG=（59-x）cm，
∵BH∥CE，
∴△ABK∽△ACG，
∴BKCG=ABBC，即38−x59−x=5050+35，
解得x=8，
∴⊙A的半径长为8cm；
（2）
解：在Rt△ACG中，CG=CE-GE=72cm，
∵sin∠CAF=sin∠CAG=CGAC=910，
∴AC=109CG=80cm，
∴BC=AC-AB=30cm，
∴此时拉杆BC的伸长距离为30cm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【要点8 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【考点10 位似变换】
【例10】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAOA'=13，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（ ）
A．4B．6C．16D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：SABCDSA'B'C'D'=OAOA'2=132=19，
又四边形ABCD的面积是2，
∴四边形A'B'C'D'的面积为18，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
【变式10-1】（2022·重庆·统考中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1∶2B．1∶4C．1∶3D．1∶9
【答案】A
【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似
∴△ABC∽△DEF
∵△ABC与△DEF的位似比是1:2
∴△ABC与△DEF的相似比是1:2
∴△ABC与△DEF的周长比是1:2
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．
【变式10-2】（2022·山东青岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是−2,3，先将△ABC绕点−1,0顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1∶2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．4,2B．6,4
C．6,4或−6,−4D．4,2或−4,−2
【答案】D
【分析】根据△ABC绕−1,0点顺时针旋转90°的△A1B1C1，作出图形，再根据位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
【详解】如图，将△ABC绕点−1,0顺时针旋转90度得到△A1B1C1，此时A1坐标为（2，1），
再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，若△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1∶2，此时A2点应当有两个，分别是4,2或−4,−2，
故选：D.
【点睛】本题主要考查作图-位似变换与旋转变换，解题的关键是熟练掌握位似变换与旋转变换的定义与性质．
【变式10-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）如图，在8×11网格图中，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
(1)直接写出：tanC= ______ ；
(2)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A(−1,5)，点C1(2,2)．
①以点C为位似中心，在网格中作出△A2B2C，使△A2B2C和△ABC位似，且位似比为1：2；
②在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，位似中心点P的坐标为______ ．
【答案】(1)2；
(2)①见解析；②(1,1)．
【分析】（1）作BD⊥AC交于点D，即可求出tanC
（2）①根据点C为位似中心，位似比为1:2作图即可；
②连接AA1、CC1、BB1，它们相交于点P，再写出P点坐标．
【详解】（1）解：作BD⊥AC交于点D，
则tanC=BDCD=42=2，
故答案为：2
（2）解：①∵点A(−1,5)，点C1(2,2)．
∴建系如图所示：△A2B2C如图所示：
②位似中心P如图：
由图可知：P(1,1)
故答案为：(1,1)
【点睛】本题考查正切值，作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.
判定定理
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简称为两角对应相等，两个三角形相似．
如图，如果，，则
．
判定定理2：
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．
简称为三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，如果，则
．
判定定理3：
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．
①相似三角形的对应角相等．
如图，，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图，，则有
（为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．
如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图，∽，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图，∽，则有
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝12∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）