通关练12 双曲线的离心率及其应用-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)

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一、单选题
1．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2．（2023·北京顺义·统考一模）若双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·天津河西·高三校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为的左顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2023秋·广东·高三校联考期末）设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
10．（2023秋·北京房山·高二统考期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角为某一范围内变动，，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点为､，在双曲线上存在点满足，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，抛物线的焦点为，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023秋·湖北·高二江夏一中校联考期末）已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023秋·河北保定·高二统考期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知双曲线，直线过坐标原点并与双曲线交于两点（在第一象限），过点作的垂线与双曲线交于另一个点，直线交轴于点，若点的横坐标为点横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·湖南永州·统考二模）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
21．（2023秋·河北秦皇岛·高二秦皇岛一中校考期末）已知，是双曲线E：的左、右焦点且，过作倾斜角为的直线与y轴交于点M，与双曲线右支交于点P，且，下列判断正确的是（ ）
A．B．E的离心率等于2
C．双曲线渐近线的方程为D．△PF1F2的内切圆半径是
22．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）不过原点的直线与双曲线交于两点，为的中点，为坐标原点，若直线的斜率小于，则的离心率的值可能为（ ）
A．2B．3C．D．
23．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（ ）
A．直线，的斜率之积为B．的离心率为2
C．的最小值为D．四边形的面积可能为
24．（2023秋·江苏·高三统考期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的左､右顶点分别为，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则（ ）
A．a2e=1B．
C．顶点到渐近线的距离为eD．的外接圆的面积为
25．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线 的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线与双曲线的一条渐近线垂直
D．
26．（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）已知双曲线，则（ ）
A．C的离心率为
B．的渐近线方程为
C．直线与有2个公共点
D．过右焦点的直线与的交点分别为，当时，这样的直线有3条
27．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知双曲线的左右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于、两点，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
28．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，且交C的左半支于点P，若△AFH是等腰三角形，则（ ）
A．C的渐近线方程为B．C的离心率为2
C．△AFH的面积为D．
29．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，过双曲线：右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于，两点，交轴于点，、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使，且，则双曲线的离心率为
三、填空题
30．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为______.
31．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）若双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积等于2，则双曲线C的离心率为__________．
32．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知双曲线经过点，双曲线C的离心率为，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离为_______．
33．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）设双曲线的右焦点为，中心为，斜率为2的直线过且与的两条渐近线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________．
34．（2023秋·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为___________．
35．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与双曲线的左支交于，两点，且，线段的中垂线恰好经过点，则双曲线的离心率是______________.
36．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）如图，已知斜率为—3的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C且，则该双曲线的离心率为___________.
37．（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
四、解答题
38．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.
(1)求的值及双曲线的渐近线方程；
(2)直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.
39．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.
(1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围.
40．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率是2，直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的右支交于两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)记双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于点，试问点是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.
41．（2023秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.