通关练06 直线的对称和最值问题的综合-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)

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一、单选题
1．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点关于直线对称的点为，直线的斜率为-1，由对称关系，两点连线与直线垂直，所以，又因为两点连线段的中点在直线上，代入得，解方程，解得，，所以对称点为.
故选：A.
2．（2022·江苏扬州·高三阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，
由题意可得点在直线上，
所以，即，
所以与直线关于轴对称的直线的方程为，
故选：B
3．（2022·贵州·凯里一中高二期中）一束光线从点出发，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设关于的对称点为，则，
又因为点与都在反射光线所在的直线上，
所以反射光线所在直线的斜率，
对于A，方向向量对应的直线斜率为，故A错误；
对于B，方向向量对应的直线斜率为，故B正确；
对于C，方向向量对应的直线斜率为，故C错误；
对于D，方向向量对应的直线斜率为，故D错误.
故选：B.
4．（2022·天津·南开中学高二期中）从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点关于直线的对称点为，
则 ，解得 ，
由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点，
则 ，即反射光线所在直线的斜率为，
故选：B﹒
5．（2022·黑龙江·铁人中学高二阶段练习）已知点，且点在直线上，若使取得最小值，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为代入直线得到，
代入直线得到，
所以在直线的同侧.
设关于直线的对称点为，
则，解得，即
所以，，即.
所以，即.
故选：A
6．（2022·河北·高二阶段练习）在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）．
A．9B．10C．11D．12
【解析】依题意，作图如下：
设点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，
则，，
当与重合于坐标原点时，；
当与不重合时，如图，；
当与重合于坐标原点时，取得最小值10．
故选：B．
7．（2022·江苏·南京外国语学校高二阶段练习）已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设点关于直线的对称点为，
线段的中点为，则点在直线上，
所以，，即，①
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，②
联立①②可得，，即点，
，所以，直线的方程为，
由题意可知，点为直线、的交点，联立，解得，
因此，点的坐标为.
8．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高二期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】
设点，有，解得，，，，结合图可知，.
故选：C．
9．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】,
所以直线的直线方程为 ，
设关于直线对称的点是，
则有， 即，
所以，即，
又因为的中点在直线上，
所以，即，
联立，解得，所以，
又有关于轴对称的点，
由对称性可知，均在直线上，
所以,
由点斜式得，即.
故选:D.
二、多选题
10．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数可能为（ ）
A．2B．C．D．
【解析】在直线上任意取一点，
由题知点关于直线的对称点在直线上，
则整理得，
解得或
故选：AD
11．（2022·广东·广州市第二中学高二期中）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
【解析】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，
圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，
所求圆的方程为：，即，A正确；
对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，
入射光线所在直线经过点，，
入射光线所在直线方程为：，即，B正确；
对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，
，
，则，C错误；
对于D，设，
则圆心到直线的距离，
，
，
则当时，，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2022·江苏·连云港市锦屏高级中学高二阶段练习）点关于直线对称的点的坐标是______．直线关于点对称的直线方程为___________.
【解析】设点关于直线对称的点的坐标为，则
，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标是，
由取可得，取可得，所以直线经过点和点，又点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，所以直线关于点对称的直线方程式为，
故答案为：，.
13．（2022·江苏省清江中学高二阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为__________．
【解析】因为、，所以的中点为，
因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上，
所以，即，
故答案为：
14．（2022·山东·青岛中学高一阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是________.
【解析】设所求直线上任意一点，
点P关于的对称点为,
如图所示：
则有，得
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
故答案为：
15．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高二阶段练习）已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为______．
【解析】作出点关于轴的对称点,则,
最小值即为到直线的距离,
所以的最小值为.
故答案为：.
16．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为___________.
【解析】关于直线的对称点；
，，，
的直线方程为，
联立，解得，．
；
到的距离；
的面积．
故答案为：．
17．（2022·福建省厦门第六中学高二期中）点在轴上运动，点在直线上运动，若，则的周长的最小值为___________.
【解析】设A关于轴的对称点关于的对称点，
的周长，
取等号时即共线时，的周长的值最小，
即的长度即为三角形周长的最小值，
由题意，
设点 ，
解得，所以，
由两点距离公式知.
故答案为：.
18．（2022·江苏·高二专题练习）在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为__．
【解析】如图，作出关于直线的对称点，
作出关于轴的对称点，
连结，交直线于，交轴于，
，，
三角形的周长为线段的长，
由两点间线段最短得此时三角形的周长最小，
三角形的周长最小时，最小值为：．
故答案为：．
19．（2022·河南·高二期中）已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为_________.
【解析】如图，由题设点B在原点O的右侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，
所以的方程为，即，
令，则，所以为，
所以的方程为，即，
故答案为：
20．（2022·湖北恩施·高二期中）一条光线从点处射到轴上，经轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线的倾斜角是______．
【解析】由题意可得点关于轴对称的点为，
则反射光线所在直线的斜率，
所以，反射光线所在直线的倾斜角为．
故答案为：
21．（2022·河南·濮阳南乐一高高二阶段练习）函数的最小值为_________．
【解析】，
根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，
如图所示，作出点关于轴的对称点，
连接，交轴于点，连接，
可得，
又由，
当且仅当点与重合时，等号成立，
所以，即函数的最小值为
故答案为：
四、解答题
22．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二阶段练习）已知三个点，，.
(1)求直线的方程；
(2)求点关于直线的对称点的坐标.
【解析】（1）由题意得，
所以直线的方程为，即，
（2）设，
因为点关于直线的对称点为，
所以，即，解得，
所以点的坐标为.
23．（2022·河北·高碑店市崇德实验中学高二阶段练习）已知直线的方程为，，且与轴交于点．
(1)求直线和的交点坐标；
(2)与轴、轴分别交于，两点，点关于直线的对称点为，求的面积．
【解析】（1）因为直线的方程为，，
所以，又与轴交于点，
所以的方程为，，
由解得交点坐标为；
（2）设关于的对称点为，
由题意得解得，
则到：的距离,
由：，令得，令得，，
所以的面积.
24．（2022·湖北·高二阶段练习）在中，，其中直线，是和的平分线．
(1)求点关于的对称点的坐标；
(2)求直线的方程．
【解析】（1）设，则，解得：，.
（2）设点关于的对称点为，则，解得：，
；
是和的平分线，均在直线上，
直线的方程为：，即.
25．（2022·广东·普宁市勤建学校高二阶段练习）已知直线过点和，直线：．
(1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．
(2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.
【解析】（1）直线的方程为，即，
取直线上的一点，设关于直线的对称点为，
则，解得.
由解得，
所以直线过点和点，
所以直线的方程为，即.
（2）
直线斜率不存在时，可得，
点与直线的距离为，符合题意.
当直线斜率存在时，设直线斜率为，
故可得直线的方程为，
即，
因为点到直线的距离为，
即，
解得，
故可得直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为：或．
26．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知的顶点边上的中线所在的直线方程为的平分线所在直线方程为.
(1)求直线的方程；
(2)在线段上是否存在点，满足，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知，在角平分线上，设，则的中点，
在直线上，所以，解得：，故.
设关于的对称点为，则，可得，即
由在直线上，则，
所以直线为，即.
（2）为直线与直线的交点，联立可得
在线段上，为在线段上，设，
因为，所以，解得，
因为，所以存在.
27．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高二阶段练习）已知点，直线.求：
(1)直线l关于点A的对称直线的方程；
(2)直线关于直线l的对称直线的方程.
【解析】（1）解：由直线，
可得直线上的两点，
设两点关于对称的点分别为，
则两点在直线上，
则，解得，故，
，解得，故，
则，
所以直线的方程为，即；
（2）
解：联立，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
在直线上取点，
设点关于直线l对称的点为，
则直线过点和点，
当时，点和点所在直线与直线不垂直，
所以，
则，解得，即，
则，
所以直线的方程为，即.
28．（2022·辽宁·大连二十四中高二期中）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为.
(1)求点的坐标；
(2)求直线的方程.
【解析】（1）由，得，所以直线的斜率为，
因为,所以，即，
所以直线的直线方程为：，即，
由，解得.
所以点的坐标为.
（2）由题意根据内角平分线的性质，可得关于直线的对称点在直线上.
设，则由和垂直，且的中点在上，
可得，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
29．（2022·全国·高二单元测试）已知直线l：，点.求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.
【解析】（1）设，由l：得，
则，解得，故.
（2）
在直线m上取一点，如，则关于直线l的对称点必在m′上，
设对称点为，则，解得，即，
设m与l的交点为N，则由，解得，
又m′经过点，故，
所以直线m′的方程为，即.
（3）
法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.
由中点坐标公式可得，故
所以l′的方程为，即.
法二：设为l′上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为Q′在直线l上，所以，
即直线l′的方程为.
30．（2022·辽宁沈阳·高二阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M．
(1)使最大值；
(2)使最小．
【解析】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上，
所以，得，则，
由，则，
要使最大，只需共线，.
（2）
如上图，要使最小，只需共线，
所以.
31．（2022·天津市汇文中学高二阶段练习）在直线上求一点P，使得：
(1)P到和的距离之差最大；
(2)P到和的距离之和最小.
【解析】（1）画出直线和点和，如图：在两侧，
作B关于直线的对称点，连接,
则直线和直线l的交点即为P，
设D为l上异于P的一点，则 ,
故,
故最大，即此时P到和的距离之差最大，
设，则 ，解得 ，
故直线方程为，联立 ，解得 ，
即；
（2）如图：在同侧，
作C关于直线的对称点，连接,
则直线和直线l的交点即为P，
设E为l上异于P的一点，则 ,
故,
故最小，即此时P到和的距离之和最小.，
设，则 ，解得 ，
故直线方程为，联立 ，解得 ，
即即；
32．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二阶段练习）已知△三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.
(1)求直线的方程.
(2)点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.
【解析】（1）直线的斜率为,所以直线的斜率为.
而线段的中点为(6,2),所以直线的方程为,即.
（2）由(1)得点关于直线的对称点为点,所以直线与直线的交点即为最小的点.
由，得直线的方程为,即.
联立方程，解得，所以点的坐标为.
33．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称.
(1)求直线的方程；
(2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标.
【解析】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，
因为点到直线的距离为，
所以，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
当时，，
则直线与轴交于点，
点，关于点的对称轴分别为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
（2）设原点为关于直线的对称点为，则，
所以，
所以当三点共线时取等号，
设，则，解得，即，
所以，
所以直线的方程为，即，
由，解得，即.