通关练03 空间角的向量求法-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)

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一、单选题
1．（2022·安徽·高二期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南濮阳·高二期末（理））已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽芜湖·高二期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A．若，分别是直线，的方向向量，则直线，所成的角的余弦值是
B．若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是
C．若，分别是平面，的法向量，则平面，所成的角的余弦值是
D．若，分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成的角的正弦值是
4．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高二）在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江苏常州·高二期末）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（ ）
A．B．C．或D．
8．（2022·北京八中高二期末）已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·福建省福州华侨中学高二期末）如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值D．点到平面的距离为
10．（2022·福建福州·高二期末）如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（ ）
A．到直线的最大距离为B．点的轨迹是一个圆
C．的最小值为D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11．（2022·山东聊城·高二期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．存在点M，使平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题
12．（2022·江苏省镇江中学高二期末）在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.
13．（2022·全国·高二课时练习）设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数______.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
15．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
16．（2022·福建龙岩·高二期末）在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
四、解答题
17．（2022·北京延庆·高二期末）在四棱锥中，，，，，，平面，．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
18．（2022·河南开封·高二期末（理））如图，在正三棱柱中，P为的中点，Q为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求AC与平面所成角的正弦值.
19．（2022·陕西渭南·高二期末（理））如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．
(1)求证：；
(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
20．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
21．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
22．（2022·福建·福州金山中学高二期末）在三棱锥中，平面，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若为的中点，且，，求平面与平面所成角的锐二面角的余弦值．
23．（2022·河北·元氏县第四中学高二期末）如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求二面角的余弦值．
24．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）如图 ， 在四棱雉 中， 底面 ， 点在线段 上， ．
(1)求证： ;
(2)若 ， 且 ， 求平面 与平面 夹角的余弦值．
25．（2022·河南开封·高二期末（理））在直三棱柱中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，二面角的余弦值为，求的长．
26．（2022·广东汕尾·高二期末）如图（1）所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图（2）所示的四棱锥.四棱锥的体积为，点为线段上的动点（与端点，不重合）.
(1)求证：平面；
(2)探求是否存在大小为的二面角.如果存在，求出此时线段的长度；若不存在，请说明理由.
27．（2022·内蒙古包头·高二期末（理））在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD.
(1)求二面角的余弦值；
(2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.