四川省宜宾市翠屏区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省宜宾市翠屏区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．要使有意义，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球D．3个球中有白球
3．是关于的一元二次方程的解，则的值是（ ）
A．B．1C．D．2
4．如图，在中,为的中点，则的长为（ ）
A．5B．C．6D．
5．如图，为边上的一点．若的面积为3，则的面积为（ ）
A．6B．8C．9D．12
6．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上,和均为直角，与相交于点D．测得，则小树高是（ ）
A．B．C．D．
7．将一元二次方程配成的形式，则的值是（ ）
A．B．1C．D．
8．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若 ，则的值是 （ ）
A．B．C．D．
9．已知关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．总有两个不相等的实数根B．总有两个相等的实根
C．无实根D．总有实数根
10．将矩形如图放置于平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点则点B的坐标是 （ ·）
A．B．C．D．
11．如图，点C是线段的中点，，若则的长是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中， 是边上的点，是线段上的点，过点分别作，分别交于点，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．化简 ．
14．“任意画一个三角形，其内角和是”是 事件．（填“随机”或“确定”）
15．方程的解为 ．
16．南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步? 设矩形的长为步，则可列出方程为 ．
17．如图，在中，是的中点，是上的一个动点，当与相似时，则的长是 ．
18．如图，以为顶点分别作等腰直角，； 连接，当时，延长交相交于点，交于点，若，则的长是 ．
三、解答题
19．计算:
(1)；
(2)．
20．解方程:
(1)；
(2)．
21．如图，在边长为1的小正形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点的对应点分别为、．
(1)在第一象限内画出；
(2)求的面积．
22．将正面分别写着数字0、1、2的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片， 记该卡片上的数字为，组成一数对．
(1)请用树状图或列表的方法求出所有可能出现的结果；
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢． 你认为这个游戏公平吗? 请说明理由．
23．如图，宜宾的著名建筑夹镜楼始建于清代初年，有诗曰：“两水夹明镜，双桥落彩虹； 巍峨夹镜楼，一楼镇三江”． 某校数学爱好者小明决定利用数学方法计算夹镜楼的高度．用无人机在夹镜楼的顶端C处测得地面上A、B两点的俯角分别为和又测得A、B两点的距离为，且点D、A、B在同一水平直线上，于是很快算出夹镜楼的高度． 请你写出解答过程．（结果精确到． 参考数据 ）
24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个不相等的实数根是、，求的值．
25．如图，在中，平分．
(1)如图1，过点D作于点E，求证: ；
(2)如图1，求的值；
(3)如图2，F为上的一点，以为对称轴，点C的对称点落在上，求的长．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方式非负，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使有意义，
，解得，
故选：A．
2．B
【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可.
【详解】袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球，
故选项A、C、D都是可能事件，不符合题意，选项B是不可能事件，符合题意，
故选：B.
【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，把握相关概念，正确进行分析是解题的关键.
3．C
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程解得定义、代数式整体代入求值等知识，根据题意，将代入一元二次方程得到，恒等变形后整体代入即可得到答案，熟记一元二次方程解得定义是解决问题的关键．
【详解】解：是关于的一元二次方程的解，
将代入一元二次方程得到，即，
，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征量，先计算，根据为斜边上的中线，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查相似三角形的性质，涉及相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识，根据题意，由相似三角形性质得到的面积，进而得到答案，熟记相似三角形性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
的面积为3，
，则，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据和均为直角，得到，得到，列比例式计算即可．
【详解】∵和均为直角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，涉及配方法等知识，将一元二次方程一般式利用配方法恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
【详解】解：一元二次方程，
配方得，即，
将一元二次方程配成的形式，
，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理，余弦函数的计算，设，则，根据勾股定理，再根据余弦计算即可．
【详解】∵的垂直平分线交于点D，，
∴设，
则，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，涉及一元二次方程判别式的正负确定其根的情况，计算，即可得到答案，熟记一元二次方程根与判别式的关系是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程，
，
关于的一元二次方程总有实数根，
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，过点A作轴于E，过点C作轴于F，先求出，则，证明，求出，则，再由矩形对角线中点坐标相同，可得．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于E，过点C作轴于F，
∴，
∵，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵矩形对角线中点坐标相同，
∴，即，
故选：B．
11．D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，过点D作，交的延长线于点M，根据正切和勾股定理计算即可．
【详解】解：过点D作，交的延长线于点M，
∵点C是线段的中点，
∴，
设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选D．
12．A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及相似三角形的判定与性质求线段长等知识，延长交于，如图所示，由平行线性质，得到、、，利用相似三角形性质，利用相似比列方程求解即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于，如图所示：
，
，
，
，即，
设，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，解得，
故选：A．
13．
【分析】分子，分母都乘以即可得到答案.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分母有理化，掌握分子分母都乘以分母的有理化因式进行分母有理化是解题的关键.
14．确定
【分析】本题考查事件的判定，涉及事件的分类及事件定义等知识，熟记事件的概念是解决问题的关键．
【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和是”是确定事件，
故答案为：确定．
15．，
【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可，此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握方法的灵活选择．
【详解】解：
整理得到，，
∴，，
故答案为：，
16．
【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程，读懂题意，设矩形的长为步，找到等量关系列方程即可得到答案．
【详解】解：设矩形的长为步，则宽为步，
，
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质、中点性质、三角形相似的判定与性质等知识，根据题意，要使与相似，分两种情况讨论即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，分两种情况：①当时，如图所示：

则，
，
是的中点，
，
，
，解得；
② 如图所示：
则，
，
是的中点，
，
，
，解得；
综上所述，当与相似时，则的长是或，
故答案为：或．
18．
【分析】根据两个三角形全等的判定定理证明，再利用全等三角形的性质得到，进而确定四边形是正方形，由勾股定理列方程求出正方形边长，再由得到，可得，代值求解即可解决问题．
【详解】解：与均是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
设正方形的边长为，在中，，，则由勾股定理可得，即，解得或（负值舍去），
由正方形中，
，
，
，
，即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似形综合题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
19．(1)5
(2)4
【分析】本题考查了二次根式混合运算，特殊角三角形函数值计算，零指数幂，绝对值．
（1）根据二次根式混合运算法则计算即可．
（2）根据特殊角三角形函数值计算，零指数幂，绝对值计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，涉及十字相乘因式分解法解一元二次方程、平方差公式因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
（1）利用十字相乘因式分解法解一元二次方程即可得到答案；
（2）利用平方差公式因式分解法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
解得，；
（2）解：，
，
，即，
解得，．
21．(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查网格中位似作图及求三角形面积，涉及位似性质和在网格中间接求三角形面积，数形结合，掌握位似性质是解决问题的关键．
（1）根据位似图形性质，数形结合，将的坐标扩大2倍即可得到答案；
（2）数形结合，间接表示，用矩形面积减去三个顶点构成的直角三角形面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
．
22．(1)列表法得到所有可能结果见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查概率综合，涉及列举法求事件发生所有可能结果、列举法求事件概率等知识，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用列表法求解即可得到答案；
（2）根据题意，利用列表的得到两张卡片数字和，再由简单概率公式代值求解后比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：列表如下：
（2）解：游戏不公平，
理由如下：列表得
由上表可知，数字和为奇数的有4种等可能的情况；偶数的有5种等可能的情况，则（甲赢）；（乙赢）；
（甲赢）（乙赢），
游戏不公平．
23．23m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
在中，设，则．
在中，
，
，
，
，
解得
夹镜楼的高度为23m．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程根与系数关系、解不等式和分式化简求值等知识，熟记一元二次方程相关性质是解决问题的关键．
（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，列不等式求解即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，利用分式的混合运算化简，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得；
（2）解：、是一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）利用两角相等的两个三角形相似即可得到结论；
（2）先证明，则有，，再利用即可求出长，然后求出正切值即可；
（3）连接，过作于点G，根据角平分线可以得到，即，设，在中，利用勾股定理列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
（3）解：连接，过作于点G，
则，
设，则，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
即，
解得：（舍去）或，
∴．
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
3
2
2
3
4