2023-2024学年浙江省杭州市淳安县九年级上学期期中数学试题

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1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟；
2．答题时，必须在答题卷上写明姓名、准考证号、贴好条形码；
3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 自由落体公式（为常量），与之间的关系是( )
A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 以上答案都不对
2. 如图是杭州2022年亚运会会徽，在选项的四个图中，能由如图经过旋转得到的是（ ）
A. B. C. D.
3. 县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为，下列理解正确的是（ ）
A. 明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B. 明天千岛湖镇有的地方会下雨
C. 明天千岛湖镇全天有的时间会下雨
D. 明天千岛湖镇一定会下雨
4. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上
C. 不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
5. 如图，已知中，是直径，是弦，，过点作弦为垂足，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，二次数图象如图所示，则点所在的象限是（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A. B. 3C. 6D.
8. 二次函数（是常数且）自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，对应的函数值，有以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③关于的方程有两个异号的实根，而且负实数根在和之间．其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
9. 已知二次函数在时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
10. 如图，在半径为9的中，是直径，是弦，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 的弦的长为，弦的弦心距为，则的半径是______．
12. 一个不透明的袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是______．
13. 已知抛物线顶点为，与轴的交点为，则此抛物线的解析式是___．
14. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器______台．
15. 已知点在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是______．
16. 如图，有一张四边形纸片，已知，小丽和小明各做了如图操作，则小丽所画面积最大扇形的弧长是______，小明所画面积最大扇形的弧长是______（结果保留）．
三．解答题（本大题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？
18. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率；
（2）现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求的值．
19. 如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点．
（1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）
（2）若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径．
20. 已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）若抛物线上有一动点，当时，的最大值是，最小值是，求的值．
21. 如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：．
22. 根据素材解决问题．
23. 如图1，为的直径，弦交于点，且．

（1）求证：；
（2）如图2，点在弧上，且，求证：；

（3）在（2）的条件下，若为直角三角形，求的度数．
24. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点的延长线与球门线交于点，且点均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表：（单位：）
（1）假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，求的值：
（2）求关于的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40
0
1
2
2
2
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1种有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分横截面为矩形EFGH，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
9
12
15
18
21
428
4.82
5
482
4.28