专题26.10反比例函数与几何压轴大题专练-九年级数学下册尖子生培优必刷题

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班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
1．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D．

(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①74；②存在，(32,0)或(54,0)
【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数表达式求得k值，再验证点B即可；
（2）①S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF，即可求解；
②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵点A1,1，点C3,3，四边形ABCD是正方形，
∴点D1,3，B3,1，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3，
∴反比例函数表达式为：y=3x，
当x=3时，得y=1，
∴反比例函数y=kx的图象也经过点B；
（2）解：2①平移后点M、N、P、Q的坐标分别为：1,0、3,0，3,2、1,2，
则平移后点F横坐标为3，则点F3,1，
同理点E32,2，
∴S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF=2×2−12×2×12−12×2×1−12×32×1=74；

②点F、E的坐标分别为：3,1、32,2，
设点Gm,0，
则EF2=(3−32)2+(2−1)2=134，FG2=(m−3)2+1，GE2=(m−32)2+4，
当EF=EG时，即134=(m−3)2+1，
解得：m=92或32，
当m=92时，点E、F、G三点共线，故舍去，
∴m=32，
当EF=GE时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当EG=GF时，同理可得：m=54，
故点G的坐标为：32,0或54,0，使得△GEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
2．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）已知：如图是反比例函数y=k−4x图象的一支，

(1)求k的取值范围；
(2)若该函数图象上有两点M2,a，N6,b，则a______b（填“>”“<”或“=”），并求出b与a的关系式；
(3)若一次函数y=12x+1的图象与该反比例函数图象，交于点A4,m，与x轴交于点B，连接OA；
①求出m、k的值；
②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点P，使得△POB的面积等于△AOB的面积的一半，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)k>4
(2)>；a=3b
(3)①m=3，k=16；②存在，点P的坐标为8,32
【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解；
（2）将点M2,a，N6,b代入反比例函数进行计算即可求解；
（3）①将点A4,m代入一次函数可求出m的值，即点A的坐标，再代入反比例函数即可求出k的值；②根据题意可算出点B的坐标，设△POB的高为ℎ，根据S△POB=12S△AOB即可求解；
【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限，
∴k−4>0，
∴k>4．
（2）解：∵M2,a，N6,b在反比例函数y=k−4x的图象上，
∴a=k−42，b=k−46，
∴k−4=2a=6b，
∴a=3b，
∴a>b，
故答案为：>．
（3）解：①∵A4,m在函数y=12x+1的图象上
∴m=12×4+1=3，则A4,3，
∵A4,3在函数y=k−4x的图象上，
∴3=k−44，
∴k=16，则反比例函数解析式为y=16−4x=12x，
∴m=3，k=16；
②当y=0时，0=12x+1，
∴x=−2，
∴B−2,0， 则OB=2，且A4,3，
∴SΔAOB=12×2×3=3，
∵S△POB=12S△AOB，设△POB的高为ℎ，
∴12×2×ℎ=12×3，
∴ℎ=32，
∴P点的纵坐标为32，
将y=32代入反比例函数得32=12x，
∴x=8，
∴存在点P8,32．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
3．（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝kx（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
【答案】(1)32
(2)4
(3)89≤x≤72
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED=90°．利用正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得到∠EDA=∠OCD，则利用“AAS”可判断△AED≌△DOC，从而得到OD=EA=4，于是确定点D的纵坐标为4，即可求出答案；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，设OD′=a，OC′=b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△D′A′M，利用全等的性质得C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，则A′a,a+b，B′a+b,b，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a(a+b)=8，b(a+b)=8，解方程组求出a、b，从而得到D′、B′两点的坐标，即可求出答案；
（3）先利用待定系数法求出直线A′B′解析式为y=−x+6，直线C′D′解析式为y=−x+2，设点A的坐标为(m,2m)，则点D坐标为(0,m)，若当A点在直线C′D′上时，则2m=−m+2，解得m=23，可确定此时点A的坐标，从而得到此时k的值；当点D在直线A′B′上时，则m=6，同样可确定此时点A的坐标和k的值，所以可确定当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时k的取值范围．
【详解】（1）解：如图（1），过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED=90°，

∵点A的坐标为(4,8)，
∴AE=4，OE=8，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ODC+∠EDA=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD，
在△AED和△DOC中，
∠AED=∠DOC∠EDA=∠OCDAD=DC，
∴△AED≌△DOCAAS，
∴DE=OC，OD=AE=4，
∴OC=DE=OE−OD=4，
根据勾股定理得，CD2=OC2+OD2=32，
∴正方形ABCD的面积为32；
（2）解：如图（2），过点A′作A′M⊥y轴于M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，

设OD′=a，OC′=b，则D′(0,a)，
同（1）的方法得，△B′C′N≌△C′D′O≌△D′A′M AAS，
∴C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，
∴A′a,a+b，B′a+b,b，
∵点A′、B′在反比例函数y=8x的图象上，
∴a(a+b)=b(a+b)=8，
∴a=b=2或a=b=−2（舍去），
∴B′的坐标为(4,2)，D′0,2，
∴B′D′=(4−0)2+(2−2)2=4，
即B′D′的长为4；
（3）解：设直线A′B′的解析式为y=mx+n，
把A′2,4，B′4,2代入得
2m+n=44m+n=2，
解得m=−1n=6，
∴直线A′B′解析式为y=−x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y=−x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为(m,2m)，点D坐标为(0,m)，
当A点在直线C′D′上时，则2m=−m+2，解得m=23，
此时点A的坐标为(23,43)，
∴k=23×43=89；
当点D在直线A′B′上时，有m=6，此时点A的坐标为(6,12)，
∴k=6×12=72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为89≤k≤72．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）如图，一次函数y1=k1x+2的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于点A3,−1和点B，直线AB与y轴交于点C．

(1)求反比例函数y2的解析式和点B的坐标；
(2)①直接写出当y2>y1时，x的取值范围；
②连接OA和OB，求△AOB的面积；
(3)点P为线段AC（不含端点）上一动点，过点P作PQ⊥x轴交反比例函数于点Q，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当C，D，E，F四点构成的四边形为正方形时，写出点P的坐标．
【答案】(1)y2=−3x,B−1,3
(2)①−13；②4
(3)P点的坐标为2,0，1,1或23−3,5−23
【分析】（1）利用待定系数可得答案；
（2）①根据A,B的横坐标，结合函数图象，即可求解；
②根据一次函数求得C的坐标，进而根据S△AOB=S△AOC+S△COB，即可求解；
（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分CD为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将A3,−1代入y2=k2x，得k2=3×−1=−3，
∴反比例函数的表达式为y2=−3x，
将A(3,−1)代入y1=k1x+2，
得3k1+2=−1解得k1=−1，
∴一次函数的表达式为y1=−x+2，
联立方程组y=−x+2y=−3x消y得−x+2=−3x，
即x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
由A3,−1可知点B的横坐标为−1，代入y1=−x+2得点B的纵坐标为3，
∴点B的坐标为−1,3
（2）①∵A3,−1，−1,3，
根据函数图象可得当y2>y1时，−13；
②由y1=−x+2得点C为0,2，
∴OC=2
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12OC⋅xB+12OC⋅xA=1+3=4
即△AOB的面积为4；
（3）分两种情况讨论：
①当CE⊥CD时，如图，过C作CN⊥DQ于N，

∵QP∥y轴，
∴∠EOC=∠OCN=∠CND=90°，
∵四边形DCEF为正方形，
∴EC=DC，∠ECD=90°=∠OCN，
∴∠ECO=∠DCN，
∴△ECO≌△DCNAAS，
∴CN=CO，
∵C0,2，而A3,−1，
同理可得：直线AC的解析式为y=−x+2，
∵CN=2，点P在直线AC上，
∴点P的横坐标为2，
当x=2时，y=0，
∴P2,0；
②当CD⊥DE时，如图，过D作DM∥x交AC于点H，交y轴于M，交反比例函数图象于N，过N作NE⊥x轴于E，

则四边形OMNE是矩形，
∴OM=EN，
∴∠CMD=∠DNE=90°，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
同理可得：△CDM≌△DENAAS，
∴MD=EN=OM，
由①知直线AC的解析式为y=−x+2，与x轴交于点2,0，与y轴的交点为0,2，
∴∠ACB=45°，
∴△CMH为等腰直角三角形，
∴MH=CM，∠CHM=45°，
∴△QDH为等腰直角三角形，
∵MD+DH=OM+OC，
∴DH=OC=2，
∴DH=QD=2，
∵D是PQ的中点，
∴PQ=4，
设Pa,−a+2，Qa,−3a，
∴−a+2+3a=4，
∴a=−3（舍去）或a=1，
∴−a+2=−1+2=1，
∴P1,1，
当CE⊥DE时，若点E在CD左侧时，记QD与x轴的交点为G，

同理可得：EG=OC=2，OE=DG，
设Em,0，则D2+m,m，
∵直线AC为y=−x+2，
∴P2+m,−m，Q2+m,−32+m，
∴2m=−m−3m+2，
解得m1=m2=−1，
∴P1,1，
当点E在CD右侧时，同理可得△COE≌△EGDAAS，

设Em,0，则Dm−2,−m，
∴Qm−2,−3m−2，
∴DQ=−m+3m−2，
∵D为PQ中点，
∴PQ=−2m+6m−2，
∴Pm−2,−2m+3m−2，而P在直线y=−x+2上，
∴−m−2+2=−2m+3m−2，
解得m=−1±23，且满足分式方程，
∵m>0，
∴m=−1+23，
∴P23−3,5−23，
综上，P点的坐标为2,0，1,1或23−3,5−23．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
5．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y=kxk≠0与直线AD交于E、F两点．
(1)求证：△AOD≌△DGC；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式3x+3>kx的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)E1，6，F−2，−3
(3)−21
【分析】（1）根据正方形的性质，得AD=CD，∠ADC=90°，结合CG⊥y轴，得∠CDG+∠DCG=90°，则∠ADO=∠DCG，证明△AOD≌△DGCAAS；
（2）根据直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，易得D0，3，A−1，0，结合△AOD≌△DGCAAS，得CG=OD=3，DG=OA=1，所以C3，2，即可作答；
（3）结合（2）中的E1，6，F−2，−3，由图象知，不等式3x+3>kx的取值范围是−21．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDG=90°，
∵CG⊥y轴，
∴∠CGD=90°，
∴∠CDG+∠DCG=90°，
∴∠ADO=∠DCG，
在△AOD和△DGC中，
∠AOD=∠DGC∠ADO=∠DCGAD=CD，
∴△AOD≌△DGCAAS
（2）解：依题意，直线AD：y=3x+3，
令x=0，则y=3，
∴D0，3，
∴OD=3，
令y=0，则3x+3=0，
∴x=−1，
∴A−1，0，
∴OA=1，
由（1）知，△AOD≌△DGC，
∴CG=OD=3，DG=OA=1，
∴C3，2，
故将点C代入反比例函数y=kx中，
得k=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x①，
∵直线AD的解析式为y=3x+3②，
联立①②得y=6xy=3x+3，
解得x=−2y=−3或x=1y=6，
∴E1，6，F−2，−3
（3）解：由图象知，结合（2）中的E1，6，F−2，−3，
不等式3x+3>kx的取值范围是−21．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6．（2022·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC=30°，BC=4，双曲线y=kx经过点A．

(1)求k；
(2)直线AC与双曲线y=−33x在第四象限交于点D．求△ABD的面积．
【答案】(1)k=3
(2)43
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得AC=2，∠ACB=60°，进而可得CE=1，AE=3，然后可得点A1,3，最后问题可求解；
（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为y=−3x+23，然后联立直线AC的解析式与反比例函数y=−33x，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：

∵∠ABC=30°，BC=4，∠BAC=90°，
∴AC=12BC=2，∠ACB=60°，
∴∠EAC=30°，
∴EC=12AC=1，
∴在Rt△AEC中，AE=AC2−CE2=3，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴A1,3，
∴k=1×3=3；
（2）解：由（1）可得：A1,3，C2,0，
∴设直线AC的解析式为y=kx+b，
则把点A、C的坐标代入得：k+b=32k+b=0，
解得：k=−3b=23，
∴直线AC的解析式为y=−3x+23，
联立y=−3x+23与反比例函数y=−33x可得：−3x+23=−33x，
解得：x1=3,x2=−1（不符合题意，舍去），
∴点D3,−3，
∴S△ABD=S△ABC+S△BCD=12×4×3+3=43．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
7．（2022上·广东佛山·九年级校考期末）如图，在直角坐标系中，点A3,1和点Ba,−3是一次函数y=kx−2和反比例函数y=mx图象的交点．

(1)求一次函数、反比例函数的表达式和点B的坐标．
(2)不等式kx−2>mx的解集为：______．
(3)C为线段AB上一点，且横坐标为正，作CD∥y轴与反比例函数y=mx交于点D，当△OCD的面积最大时，求C点的坐标．
【答案】(1)一次函数表达式为：y=x−2，反比例函数表达式为y=3x，B−1，−3；
(2)13
(3)1，−1
【分析】（1）由一次函数y=x−2求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标；
（2）根据图象即可求得；
（3）设C(x，x−2)则D(x， 3x )，根据题意表示出△OCD即可得到结论．
【详解】（1）解：把A(3，1)代入y=kx−2可得，
k=1，即y=x−2，
∴1= m3，解得m=3，
∴反比例函数表达式为y= 3x，
解y=x−2y=3x，得x=3y=1或x=−1y=−3，
∴B(−1，−3)；
（2）解：由图象可得，
当kx−2>m3时，−13；
（3）解：如图1所示，设Cx，x−2 (x>0)，则D（x,3x），
∴CD= 3x−x+2
∴=12x·(3x −x+2)=−12 x−12+2，
∴当x=1时，△OCD的面积最大，此时，C的坐标为(1，−1)．
故答案为：(1，−1)．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
，
8．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）Rt△ABC在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，∠ACB=90°，CB∥x轴，双曲线y=kxk≠0经过C点及AB的中点D，S△BCD=4，求k的值．

【答案】−8
【分析】OA=a，AE=b，则C点坐标(a,ka)，B点坐标(b，ka )，根据S△BCD=S△ACD=4，得出S△ACB=10=12AC⋅BC=12⋅(−ka)b得出bk=−20a①，先求得D的坐标，根据点D在双曲线上，得出(12b+a)(12⋅ka)=k，则b=2a②，结合①②，即可求得k的值．
【详解】解：设OA=a，AE=b，则C点坐标(a,ka)，B点坐标(a+b，ka )，
∵AD=BD，
∴S△BCD=S△ACD=4，
∴S△ACB=8=12AC⋅BC=12⋅(−ka)⋅b，
得bk=−16a，
∵B点坐标(a+b，ka )，
∴点D在抛物线上，D点坐标(12b+a，12⋅ka)，
则(12b+a)(12⋅ka)=k，
则b=2a，
解bk=−16ab=2a，
得k=−8．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k是解题的关键．
9．（2023下·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，已知点Aa,0，B0,b，且a、b满足a+1+a+b+32=0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=kx经过C、D两点．

(1)a=______，b=______；
(2)求反比例函数表达式；
(3)动点Px,0在x轴的正半轴上运动，当线段PD与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标；
(4)如图，过C作CH⊥x轴于H点，H1，H2，H3，…，Hn，…是x轴上的点，且HH1=H1H2=H2H3=⋅⋅⋅=Hn−1Hn⋅⋅⋅=1，分别过点H1，H2，H3，…，Hn，…作x轴的垂线交反比例函数y=kx（x>0）的图象于点C1，C2，C3，…，Cn，…，过点C1作C1Q⊥CH于点Q，过点C2作C2Q1⊥C1H1于点Q1，过点C3作C3Q2⊥C2H2于点Q2…，记△CC1Q的面积为S1，△C1C2Q1的面积为S2…，△CnCn+1Qn的面积为Sn+1，求S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sn+1．

【答案】(1)−1；−2
(2)y=4x
(3)P3,0
(4)n+1n+3
【分析】（1）由非负计算式相加等于0，得出各式值均为0，计算即可；
（2）由点A和点B坐标，及中点E得到点D横坐标，再利用平行四边形对边平行且相等得到点D和点C坐标关系，最后代入解析式计算即可；
（3）由两边之差小于第三边得到差值最大时三点共线，再利用直线解析式求出点P即可；
（4）由三角形面积算法得到各三角形面积表达式，再加减相消计算即可．
【详解】（1）∵ a+1+a+b+32=0
又∵a+1≥0，a+b+32≥0，
∴a+1=0，a+b+32=0，
∴a=−1，b=−2．
（2）∵点E为AD中点，A(−1,0)，且点E在y轴上，
∴xD=1，
∵▱ABCD，
∴AB∥DC 且AB=DC，
又B(0,−2)，
∴C(xD+1,yD−2)即∴C(2,yD−2)，
将点C、D代入反比例函数y=kx中得k=yD=2(yD−2)，
解得k=yD=4，
∴反比例函数表达式为y=4x．
（3）∵PD−PC≤CD，
当点C、D、P三点共线时取等号，此时PD与PC的差值最大，
设经过点C、D的直线解析式为y=mx+n，
代入点C(2,2)、D(1,4)得2=2m+n4=m+n，
解得m=−2n=6，
∴CD直线解析式为y=−2x+6，
代入点Px,0得x=3，
∴P3,0．
（4）S1=12(CQ×HH1)=12(yC−yC1)，S2=12(C1Q1×H1H2)=12(yC1−yC2)，同理计算得Sn+1=12(CnQn×HnHn+1)=12(yCn−yCn+1)，
∵点Hn+1(n+3,0)，Cn+1(n+3,4n+3)，
∴ S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sn+1
=12(yC−yC1)+12(yC1−yC2)+...+12(yCn−yCn+1)
=12(yC−yCn+1)
=12(2−4n+3)
=n+1n+3．
【点睛】本题考查反比例函数综合计算，在计算中采用设坐标代入解析式，再列方程求解的方法．规律计算时采用迭代法，可快速得到第n个图形的计算式，并且验算可以提供准确率．
10．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，一次函数y=kx+bk≠0与反比例函数y=mxm≠0的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知点A的坐标是(2,3)，BC=2．

(1)求反比例函数与一次函数的关系式．
(2)根据图象，直接写出不符式kx+b>mx的解集．
(3)点P为反比例函数y=mx在第一象限图象上的一点，若S△POC=2S△ABC，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)y=6x，y=x+1
(2)−32
(3)910,203
【分析】（1）根据反比例函数y=mx过点A(2,3)得反比例函数的关系式为y=6x，根据BC=2得B的纵坐标为−2，当y=−2时，−2=6x，计算得B−3,−2，根据A2,3，B−3,−2两点在y=kx+b上得2k+b=3,−3k+b=−2,进行计算即可得；
（2）根据函数图象即可得；
（3）设P(a,6a)，根据BC=2得S△ABC=5，根据S△POC=2S△ABC得SPOC=10，即可得SPOC=12OC·6a=10，进行计算得6a=203，根据点P为反比例函数y=6x在第一象限图象上的一点得6a=203，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=mx过点A(2,3)，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
∵BC=2，
∴B的纵坐标为−2，
当y=−2时，−2=6x，
解得x=−3，
∴B−3,−2，
∵A2,3，B−3,−2两点在y=kx+b上，
2k+b=3,−3k+b=−2,
解得：k=1b=1,
∴一次函数的关系式为y=x+1．
（2）解：根据函数图象得，−32．
（3）解：设P(a,6a)，
∵BC=2，
∴S△ABC=12×2×5=5，
∵S△POC=2S△ABC，
∴SPOC=2S△ABC=2×5=10，
∴SPOC=12OC·6a=10，
12×3×6a=10，
6a=203，
∵点P为反比例函数y=6x在第一象限图象上的一点
∴6a=203，
a=910，
∴P910,203．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质，一次函数的性质．
11．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）如图，直线AB经过点B0,−2，并与反比例函数y=kx交于点A3,−1．

(1)求直线AB和反比例函数的表达式；
(2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；
(3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=13x−2，y=−3x
(2)M(−3,1)
(3)(2，0)或1,1或23−3,5−23
【分析】（1）利用待定系数可得答案；
（2）将直线AB向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为y=13x+b，与反比例函数解析式联立，通过Δ=0，从而解决问题；
（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分CD为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将A3,−1代入y=kx，
∴k=3×−1=−3，
∴反比例函数的表达式为y=−3x，
设直线AB的解析式为y=k1x+b，
将A3,−1与B0,−2代入可得：b=−23k1+b=−1，
∴k1=13b=−2，
∴直线AB的解析式为y=13x−2；
（2）将直线AB向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，
设直线l的解析式为y=13x+n，
∴方程13x+n=−3x有两个相等的实数根，
整理得x2+3nx+9=0，
∴Δ=3n2−4×9×1=0，
解得n=2或−2，
∵直线l与y轴交于正半轴，
∴n=−2舍去，
解方程13x+2=−3x，得x=−3，
∴y=−3−3=1，
∴M−3,1；
（3）分两种情况讨论：
①当CE⊥CD时，如图，过C作CN⊥DQ于N，

∵QP∥y轴，
∴∠EOC=∠OCN=∠CND=90°，
∵四边形DCEF为正方形，
∴EC=DC，∠ECD=90°=∠OCN，
∴∠ECO=∠DCN，
∴△ECO≌△DCNAAS，
∴CN=CO，
∵C与B关于原点对称，
∴OC=OB=2，CN=OC=2，
∴C0,2，而A3,−1，
同理可得：直线AC的解析式为y=−x+2，
∵CN=2，点Q在直线AC上，
∴点Q的横坐标为2，
当x=2时，y=0，
∴Q2,0；
②当CD⊥DE时，如图，过D作DM∥x交AC于点H，交y轴于M，交反比例函数图象于N，过N作NE⊥x轴于E，

则四边形OMNE是矩形，
∴OM=EN，
∴∠CMD=∠DNE=90°，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
同理可得：△CDM≌△DENAAS，
∴MD=EN=OM，
由①知直线AC的解析式为y=−x+2，与x轴交于点2,0，与y轴的交点为0,2，
∴∠ACB=45°，
∴△CMH为等腰直角三角形，
∴MH=CM，∠CHM=45°，
∴△QDH为等腰直角三角形，
∵MD+DH=OM+OC，
∴DH=OC=2，
∴DH=QD=2，
∵D是PQ的中点，
∴PQ=4，
设Qa,−a+2，Pa,−3a，
∴−a+2+3a=4，
∴a=−3（舍去）或a=1，
∴−a+2=−1+2=1，
∴Q1,1，
当CE⊥DE时，若点E在CD左侧时，记QD与x轴的交点为G，

同理可得：EG=OC=2，OE=DG，
设Em,0，则D2+m,m，
∵直线AC为y=−x+2，
∴Q2+m,−m，P2+m,−32+m，
∴2m=−m−3m+2，
解得m1=m2=−1，
∴Q1,1，
当点E在CD右侧时，同理可得△COE≌△EGDAAS，

设Em,0，则Dm−2,−m，
∴Pm−2,−3m−2，
∴DP=−m+3m−2，
∵D为PQ中点，
∴PQ=−2m+6m−2，
∴Qm−2,−2m+3m−2，而Q在直线y=−x+2上，
∴−m−2+2=−2m+3m−2，
解得m=−1±23，
∵m>0，
∴m=−1+23，
∴Q23−3,5−23，
综上，Q点的坐标为2,0，1,1或23−3,5−23．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
12．（2023上·广东广州·九年级广东实验中学校考阶段练习）如图1，直线y=−x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=kx（x<0）于点N，S△OBN=10．

(1)求双曲线的解析式．
(2)已知点H是双曲线上一动点，若S△HON=203，求点H的坐标．
(3)如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=−6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．
【答案】(1)y=−5x
(2)点H的坐标为−3,53或−13,15
(3)y=−x−316
【分析】（1）作NG⊥x轴于H．根据解析式确定B4，0，C0，4，由三角形面积可求NG=5，N(−1，5)，代入反比例函数解析式求解；
（2）作NM⊥x轴于M，HE⊥x轴于E．设H(m,−5m)．由S四边形HEON=S△HNO+S△HEO=S△NMO+S梯形MNHE，可得S△OHN=S梯形NMHE，于是12(5−5m)⋅m+1=203，根据绝对值性质分情况求解，得H的坐标为(−3,53)或(−13,15)；
（3）可求证∠GCB=∠GBC，于是GC=GB，得证OG垂直平分BC，于是P、Q关于直线OG对称，点Q在y=−5x上，可求Q(56,−6)，待定系数法确定PQ的解析式为y=−x−316．
【详解】（1）（1）如图1中，作NG⊥x轴于H．

∵直线y=−x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B4，0，C0，4，
∵S△NOB=12OB⋅NG，
∴12×4×NG=10，
∴NG=5，
∴N(−1，5)，
∵反比例函数y=kx经过点N(−1，5)，
∴k=−5，
∴y=−5x．
（2）如图2中，作NM⊥x轴于M，HE⊥x轴于E．设H(m,−5m)．

∵S△HEO=S△NMO=52，
又∵S四边形HEON=S△HNO+S△HEO=S△NMO+S梯形MNHE，
∴S△OHN=S梯形NMHE，
∴12(5−5m)⋅m+1=203，
当m<−1时，整理得3m2+8m−3=0，解得m=−3或13（舍弃），
当0>m>−1时，整理得3m2−8m−3=0，解得m=−13或3（舍弃）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为(−3,53)或(−13,15)；
（3）如图3中，

∵GP=GQ，
∴∠GPQ=∠GQP，
∵BC∥PQ，
∴∠GCB=∠GPQ，∠GBC=GQP，
∴∠GCB=∠GBC，
∴GC=GB，
∵OC=OB，
∴OG垂直平分BC，
∴P、Q关于直线OG对称，
∵点P在y=−5x上，
∴点Q也在y=−5x上，
又∵点Q在直线y=−6上，
∴Q(56,−6)，
设直线PQ的解析式为y=−x+b，
∴−6=−56+b
∴b=−316．
∴直线PQ的解析式为y=−x−316．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数k系数的几何意义，函数图象平移，垂直平分线的性质；理解反比例函数的性质是解题的关键．
13．（2023上·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图，已知一次函数y=x−2与反比例函数y=kx的图象相交于点A5,m，与x轴相交于点B．

(1)求m和k的值；
(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．
【答案】(1)m=3，k=15
(2)5+13,3
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；
（2）由一次函数解析式可先求得B点坐标，从而可求得AB的长，则可求得C点坐标，利用平移即可求得D点坐标．
【详解】（1）解：把A点坐标代入一次函数解析式可得m=5−2=3，
∴A(5,3)，
∵A点在反比例函数图象上，
∴k=5×3=15；
（2）在y=x−2中，令y=0可得x=2，
∴B(2,0)，
∵A(5,3)，
∴AB=(5−2)2+(3−0)2=32，
∵四边形ABCD为菱形，且点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，
∴BC=AB=32，
∴点C由点B向右平移32个单位得到，
∴点D由点A向右平移32个单位得到，
∴D5+13,3．
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、菱形的性质、勾股定理、坐标的平移和数形结合思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式，在（2）中利用平移的知识更容易解决．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
14．（2023上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为(4,2)，反比例函数y=kx的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，连接OD，OE．

(1)反比例函数y=kx的表达式是______，点E的坐标为______；
(2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y=kx图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=4x，E(4,1)；
(2)M(0,32)；
(3)存在，Q1(43,3)，Q2(−4,−1)；
【分析】（1）根据四边形OCBA是矩形得到BA⊥y轴，BC⊥x轴，结合点B的坐标为(4,2)得到A(0,2)，C(4,0)，从而得到D(2,2)，代入解析式求解即可得到答案；
（2）设点M(0,m)，根据三角形面积关系列式求解即可得到答案；
（3）设点P(p,0)，根据平行四边形对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点Q，代入解析式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵四边形OCBA是矩形，
∴BA⊥y轴，BC⊥x轴，
∵点B的坐标为(4,2)，
∴A(0,2)，C(4,0)，
∵D是AB的中点，
∴D(2,2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点D，
∴2=k2，
解得：k=4，
∴y=4x，
当x=4时，
∴y=44=1，
∴E(4,1)；
（2）解：设点M(0,m)，
∵B(4,2)，D(2,2)，E(4,1)，
∴S△MBO=12×4m=2m，S△ODE=4×2−12×2×2−12×4×1−12×2×1=3，
当△MBO的面积等于△ODE的面积时，
3=2m，
解得：m=32，
∴M(0,32)；
（3）解：设点P(p,0)，
∵点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
当以DE为对角线时，
xQ=xD+xE−xP=2+4−p=6−p，yQ=yD+yE−yP=2+1−0=3，
即Q(6−p,3)，
∵点Q在y=4x上，
∴3=46−p，解得：p=143，
∴Q1(43,3)；
当以PE为对角线时，
xQ=xP+xE−xD=4+p−2=2+p，yQ=yP+yE−yD=0+1−2=−1，
即Q(2+p,−1)，
∵点Q在y=4x上，
∴−1=42+p，解得：p=−6，
∴Q2(−4,−1)；
当以PD为对角线时，
xQ=xD+xP−xE=2+p−4=p−2，yQ=yD+yP−yE=0+2−1=1，
即Q(p−2,1)，
∵点Q在y=4x上，
∴1=4p−2，解得：p=6，
∴Q3(4,1)，与点E重合，不符合题意舍去；
综上所述：存在，Q1(43,3)，Q2(−4,−1)；
【点睛】本题考查反比例函数动点问题，解题的关键是设出动点分类讨论．
15．（2023上·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图所示，直线y1=kx+b与反比例函数y2=mxx>0的图象交于点P2,a，Q8,1，与坐标轴交于A、B两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，当x>0时，直接写出不等式kx+b(3)连接PO、QO，求三角形POQ的面积．
【答案】(1)y1=−12x+5；y2=8x
(2)08
(3)15
【分析】（1）把Q(8,1)代入y2=mx，求出m=8，得到反比例函数的解析式，把点P(2,a)代入反比例函数解析式，求出a=4，即P(2，4)，再将P、Q两点的坐标代入y1=kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据P、Q两点的坐标以及两函数的图象即可得出结论；
（3）解出A、B两点坐标，利用S△POQ=S△AOB−S△AOP−S△BOQ计算即可；
【详解】（1）解：把Q(8,1)代入y2=mx得：m =8×1=8，
∴反比例函数的解析式为y2=8x．
把P(2,a)代入y2=8x得：2a=8，解得a=4，
∴P(2,4)．
把P(2,4),Q(8,1)分别代入y1=kx+b得：
2k+b=48k+b=1，解之得：k=−12b=5，
∴一次函数的解析式为y1=−12x+5；
（2）∵P(2,4)，Q(8,1)，
由图象可得：当08时，一次函数图象在反比例函数y2=mxx>0下方，
故当x>0时，不等式kx+b8；
（3）由一次函数y1=−12x+5与坐标轴交于A、B两点，
令x=0，解得A0,5，
令y=0，解得B10,0，
∴S△POQ=S△AOB−S△AOP−S△BOQ
=12AO⋅BO−12AO⋅xP−12BO⋅yQ
=12×5×10−12×5×2−12×10×1
=25−5−5
=15．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次区数与几何变换，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
16．（2023上·山东青岛·八年级青岛超银中学校考自主招生）已知边长为1的正方形ABCD，将AB边n（n≥2）等分，点M是离点A最近的一个分点，正方形ABCD截去以AM为边长的正方形后，余下部分的面积记为Sn，记S=S2⋅S3⋅⋯⋅Sn．
(1)当n=2023时，求S的值；
(2)若函数y=kxk≠0的图象与点n,S−12所在反比例函数图象交于A，B两点，过点A作x轴平行线与过点B作y轴平行线交于点P，则△ABP的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)10122023
(2)1
【分析】(1)分别表示S2、S3、S4、S5、S2023, 再求 S=S2⋅S3⋅⋯⋅S2023的值即可；
(2)根据S的值，确定点n,S−12就是点 (n，12n)，此时反比例函数的k=12，为定值，进而得到△ABP的面积为定值，根据反比例函数的几何意义求出面积的定值.
【详解】（1）由题意得:S2=1−122=1−12×1+12=12 ×32，
S3=1−132=1−13×1+13=23×43 ，
S4=1−142=1−14×1+14=34 ×54 ，
S5=1−152=1−15×1+15=45 ×65，
⋯⋯，
S2023=1−120232=1−12023×(1 +12023)=20222023×20242023，
∴S=S2⋅S3⋅S4⋅⋯⋅S2023
=12×25×23×43×34×54×45×65×20222023×20242023
=12×20242023=10122023.
（2）由 (1)得: S=S2⋅S3⋅S4⋅⋅Sn=12×32 ×23×43×34×54×45×65×⋯×n−1n×n+1n=12×n+1n，
∴S−12=12×n+1n−12=12 ×n+1n−1=12n
∴点n,S−12就是点 (n，12n)代入反比例函数关系式得k=12,
根据反比例函数几何意义得：过反比例函数图象上的点发别作x轴、y轴的平行线，
与坐标轴围成的长方形的面积为 |k|=12,
∴S△ABP=12+14×2=1，
答:△ABP的面积是定值，为1.
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质以及规律性的结论探索，理解题意和正确的化归形式是解决问题的关键.
17．（2022下·湖南郴州·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为0，2，点B的坐标为0，−3，反比例函数y=kx的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C和点A．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)写出ax+b>kx的解集；
(3)点P是反比例函数图象上的一点，若△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点坐标．
【答案】(1)y=−15x，y=−x+2
(2)x<−3或0(3)25,−35或−25,35
【分析】（1）根据正方形的性质求出点C坐标，然后利用待定系数法分别求出反比例函数与一次函数的解析式即可；
（2）联立两函数解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象可得答案；
（3）设P点的坐标为x,y，根据△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积列方程求出x，然后可得对应的P点坐标．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD，A0，2，B0，−3，
∴BC=AB=2−−3=5，
∴C5，−3，
把C5，-3代入y=kx得：−3=k5，
∴k=−3×5=−15，
∴反比例函数解析式为y=−15x；
把A0，2，C5，−3代入一次函数y=ax+b得：b=25a+b=−3，
解得a=−1b=2，
∴一次函数解析式为y=−x+2；
（2）联立y=−x+2y=−15x，
解得：x=5y=−3或x=−3y=5，
∴M−3，5，C5，−3，
由函数图象可得，ax+b>kx的解集是：x<−3或0（3）设P点的坐标为x,y，
∵S△OAP=S正方形ABCD，
∴12×2x=52，
解得：x=±25，
当x=25时，y=−1525=−35；
当x=−25时，y=−15−25=35；
∴P点的坐标为25,−35或−25,35．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积计算等知识．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键．
18．（2022上·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为0,3，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=ax+b的图象过点D和M，反比例函数y=kx在第二象限的图象经过点D，与BC的交点为N．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若点P在反比例函数y=kx的图象上，且使△OMP的面积等于3，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−6x，y=−x−1
(2)P1−1,6或P21,−6
【分析】（1）根据正方形的性质，以及点C的坐标，结合AD=2DB，AM=2MO，求出D,M的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）设Px,y，根据S△OMP=12OM⋅y=3，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵C0,3，
∴正方形OABC的边长为3，
∴A−3,0,B−3,3，
∵AD=2DB，AM=2MO，
∴D−3,2，M−1,0，
将D−3,2代入反比例函数y=kx中，得k=−6，
∴反比例函数的表达式为y=−6x．
将−3,2 −1,0分别代入y=ax+b中得：−3a+b=2，−a+b=0，解得a=−1,b=−1,
∴一次函数的表达式为y=−x−1．
（2）设Px,y，由题意知S△OMP=12OM⋅y=3，
∴y=6，解得：y=±6，
将y=6代入y=−6x中得x=−1，∴P1−1,6，
将y=−6代入y=−6x中得x=1，∴P21,−6．
故点P的坐标为P1−1,6或P21,−6．
【点睛】本题考查坐标与图形，求反比例函数和一次函数的解析式．解题的关键是根据正方形的性质，确定点D,M的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
19．（2022上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，AB=8,BC=6．对角线AC,BD相交于点E，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点E，分别与AB、CD交于点F、G．

(1)若OC=10，求k的值；
(2)若BF+BE=11，求反比例函数关系式．
【答案】(1)28
(2)y=36x
【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 E(7,4),然后把 E 点坐标代入 y=kx,可求得 k 的值;
（2）利用勾股定理计算出 AC=10,则 BE=EC= 5 ，所以 BF=6， 设 OB=t，则 F(t,6),E(t+3, 4)，利用反比例函数图象上点的坐标得到 6t=4 (t+3)，解得 t=6，从而得到反比例函数解析式为 y=36x；
【详解】（1）∵矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，AB=8,BC=6,OC=10，
∴B4,0,A4,8,C10,0,D10,8，
∵对角线AC,BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
如图，过E作EH⊥BC于点H，则H为BC的中点，

∴EH=12AB=4,
易得点E的坐标为7,4，把E7,4代人y=kx，得k=7×4=28．
（2）∵AC=AB2+BC2=62+82=10,
∴BE=EC=5，
∵BF+BE=11，
∴BF=6,
设OB=t，则Ft,6,Et+3,4，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点E、F，
∴6t=4t+3，解得t=6，
∴k=6t=36,
∴反比例函数关系式为y=36x．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数y=kx(k≠0) 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质
20．（2022上·广东清远·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是矩形，且OA=8，OC=6，CE:BE=1:3．反比例函数y=k1x（x>0）的图象分别交BC、AB于点E、点F ．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接EF、OE、OF，求△OEF的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得△EFP是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=12x
(2)452
(3)P1558,0，P2−52,0
【分析】（1）根据题意得到点E的坐标为(2,6)，根据待定系数法可得k的值，即可；
（2）求出点E与点F的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点P坐标为(a,0)，求出点E与点F的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=8，AB=OC=6，
∵CE:BE=1:3，
∴CE=14BC=2，BE=6，
所以点E的坐标为(2,6)，
点E在反比例函数上，代入y=k1x，得到k1=12，
故反比例函数解析式为y=12x；
（2）如图，
，
∵OA=8，
∴x=8时，y=32，
∴F8,32，
即，AF=32，BF=6−32=92，
∴S△OEF=S矩形−S△OCE−S△OFA−S△BEF
=6×8−12−12×6×92，
=452；
（3）如图，
，
设所求点P坐标为(a,0)，
∵F8,32，E(2,6)，
∴EF2=8−22+32−62=2254，
EP2=a−22+0−62=a2−4a+40，
FP2=a−82+0−322=a2−16a+2654，
当∠EFP=90°时，
EF2+FP2=EP2，
即，a2−16a+2654+2254=a2−4a+40，
解得，a=558，
故P1558,0；
当∠FEP=90°时，
FP2=EP2+EF2，
即，a2−16a+2654=a2−4a+40+2254，
解得，a=−52，
故P2−52,0，
综上所述；存在点P，坐标为P1558,0，P2−52,0．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键．
21．（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=4x的图象上．

(1)求点P的坐标；
(2)若OA=OB，求∠P的度数；
(3)如果直线AB的关系式为y=kx+12n，且0【答案】(1)P2，2
(2)22.5°
(3)存在，当k=−12时，MN+QN和是定值d=5
【分析】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得PC=PD=PE，设PC=PD=PE=aa>0，则Pa,a，代入反比例函数解析式求得a的值即可；
（2）由等腰直角三角形的性质求出∠BAD，再由角平分线的定义求得∠PAD和∠POA的度数，进而由三角形外角的性质求得结果；
（3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN+NQ的表达式，根据MN+NQ是定值求出k的值和MN+QN的值即可．
【详解】（1）解：过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1，

∵AP和OP分别是∠BAF和∠AOB的平分线，
∴PC=PD=PE，
设PC=PD=PE=aa>0，则Pa,a，
把Pa,a代入y=4x得：a2=4，
∴a=2（负值舍去），
∴P2,2；
（2）如图1，∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠BAD=135°，
∵AP和OP分别是∠BAF和∠AOB的平分线，
∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，
∴∠APO=∠PAD–∠POA=22.5°，
故答案为：22.5°；
（3）把y=1代入y=4x中，得x=4，
∴M4，1，

把y=1代入y=−nx中，得x=–n，
∴N−n，1，
把x=–n代入y=kx+12n中，得y=−kn+12n，
∴Q−n,−kn+12n，
当−kn+12n<1时，
∴MN+QN=(4+n)+1−−kn+12n=kn+12n+5=k+12n+5，
当k=−12时，MN+QN=5；
当−kn+12n>1时，
∴MN+QN=(4+n)+−kn+12n−1=−kn+32n+3=−k+32n+3，
当k=32时，MN+QN=3，但k<0，故此情况舍去，
综上：当k=−12时，MN+QN的和是定值d=5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
22．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为a,a．

(1)如图1，如果正方形的顶点B在直线y=12x上，求点A的坐标．
(2)如图2，若双曲线y=3x(x>0) 与此正方形的边有交点，求a的取值范围．
【答案】(1)1,1
(2)3≤a≤3+1
【分析】（1）根据坐标与图形性质得到点B坐标为a+1,a，代入y=12x求得a值即可；
（2）根据题意求得点C坐标为a−1,a−1，将点A、C坐标代入y=3x(x>0)求得a值，再根据图象可得a得取值范围．
【详解】（1）解：∵A点的坐标为a,a，
∴由题意，得点B坐标为a+1,a，
将a+1,a代入y=12x中，得a=12a+1，
解得a=1，
∴点A的坐标为1,1；
（2）∵A点的坐标为a,a，
∴由题意，得点C坐标为a−1,a−1，
当点C在双曲线y=3x(x>0)上时，则a−1=3a−1
解得a=3+1，
当点A在双曲线y=3x(x>0)上时，则a=3a，
解得a=3，
由图可知，若双曲线y=3x(x>0) 与此正方形的边有交点，则a的取值范围为3≤a≤3+1．
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，利用数形结合思想正确得到点B、C的坐标表示是解答的关键．
23．（2022下·陕西汉中·八年级统考期末）如图，一次函数y=k1x+bk1≠0与反比例函数y=k2xk2≠0的图象交于点A2,3，Ba,−1，设直线AB交x轴于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
【答案】(1)y=6x，y=12x+2
(2)P−2,−3
【分析】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，可得点B的坐标，再将A、B代入一次函数解析式，解方程即可；
（2）首先求出点C的坐标，由PC=PO，可知点P在OC的垂直平分线上，从而解决问题．
【详解】（1）解：将点A(2,3)代入y=k2x(k2≠0)得，k2=2×3=6，
∴y=6x，
将点B(a,−1)代入y=6x得，a=−6，
∴B(−6,−1)，
将点A(2,3)，B(−6,−1)代入y=k1x+b得，
2k1+b=3−6k1+b=−1，
解得k1=12b=2，
∴一次函数的解析式为y=12x+2；
（2）解：当y=0时，12x+2=0，
∴x=−4，
∴C(−4,0)，
∵PC=PO，
∴点P在OC的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为−2，
∴P(−2,−3)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
24．（2021下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在直线y=2x上，双曲线y=kx经过点A，且与边CD交于点E.

(1)若BC=4，求k的值和点E的坐标；
(2)连接AE、OE.
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)k=8,E6,43
(2)①18；②不存在，理由见解析
【分析】(1)根据AB=BC=4，设At,4，代入解析式y=2x确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据OC=OB+BC=t+4，代入反比例函数解析式计算即可.
(2)①设Am,2m，则k=xy=2m2，C3m,0,E3m,23m，根据题意，得S△AOE=S梯形ABCE，列出等式计算即可.
②假设AE⊥OA，证明△EAD≌△OABASA，利用反比例函数解析式建立等式证明即可.
【详解】（1）∵正方形ABCD，BC=4，y=kx,
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，
设At,4，则Ct+4,0,Et+4,kt+4，
At,4代入y=2x，得4=2t，
解得t=2，
故A2,4，
∴k=2×4=8，
∴E2+4,86即E6,43.
（2）①∵点A在直线y=2x上，
∴设Am,2m，
∵正方形ABCD，y=kx,
∴AB=BC=2m，∠ABC=∠BCD=90°，k=xy=2m2，
∴C3m,0,E3m,23m，
根据题意，得S△AOE=S梯形ABCE，
∴122m+23m×2m=24，
解得m=3,m=−3（舍去），故A3,6，
故k=xy=2m2=18；
②∵AE⊥OA，
∴ ∠OAB=90°−∠EAB，
∵正方形ABCD，
∴ AB=AD ∴∠EAD=90°−∠EAB，
∴∠EAD=∠OAB，
∵∠EAD=∠OABAD=AB∠EDA=∠OBA，
∴△EAD≌△OABASA，
∴OB=DE，
∵点A在直线y=2x上，
∴设Am,2m，
则OB=DE=m,AB=CD=2m，
∴OC=OB+BC=3m,EC=m，
∴设E3m,m，
∴设k=m×2m=3m×m，
∵ B、C两点在x轴的正半轴上，
∴m≠0，∴2=3，
这是不可能的，故不存在某一位置使得AE⊥OA.
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键.
25．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，A、B两点的坐标分别为(−2,0)，(0,3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y=kx的图象经过点C．

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数y=kx的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．
【答案】(1)C(3,1)，y=3x；
(2)(7,37)或(−5,−35)．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明△ABO≅△BCD(ASA)，进而可推算出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）设点P的坐标为(m,3m)，利用S△PCD=12×CD×m−1=9，建立关于m的方程解出m值即可．
【详解】（1）解：根据线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC可知：AB=BC，∠ABO+∠CBD=∠ABC=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OBC
又∵CD⊥OB
∴∠CDB=∠AOB=90°
∴ △ABO≅△BCD(ASA)，
∴CD=OB=3，BD=AO=2，
∴OD=OB−BD=1，
∴C(3,1)．
∵C(3,1)在y=kx上，k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x．
（2）设点P的坐标为(m,3m)，
∵S△PCD=12×CD×m−1=9，
∴ 32×m−1=9，即：m−1=6，
m1=7，m2=−5，
∴这样的P点坐标为(7,37)或(−5,−35)．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标．
26．（2022上·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数y=kxk<0的图像上一点，AP⊥y轴，垂足为P．

(1)联结AO，当S△APO=2时，求反比例函数的解析式；
(2)联结AO，若A−1,2，y轴上是否存在点M，使得S△APM=3S△APO，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点B在直线AP上，且PB=3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图像于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
【答案】(1)y=−4x
(2)存在，0,−4或0,8
(3)k=−6或k=−12
【分析】（1）连接AO，设Am,kmm<0，则AP=−m，OP=km，根据S△APO=12AP⋅OP即可求解；
（2）先计算S△APO，再根据S△APM=3S△APO即可求解；
（3）分类讨论B在AP延长线上和B在PA延长线上，即可求解．
【详解】（1）解：连接AO，如图：

设Am,kmm<0，则AP=−m，OP=km，
∴S△APO=12AP⋅OP=12−m⋅km=−k2，
又∵S△APO=2，
∴−k2=2，
∴k=−4，
∴反比例函数的解析式为y=−4x；
（2）解：如图：

∵A−1,2，
∴AP=1，OP=2，P0,2，
∴S△APO=12AP⋅OP=12×1×2=1，
∴S△APM=3S△APO=3×1=3，
∴12PM⋅AP=3，即12PM×1=3，
∴PM=6，
又∵P0,2，点M在y轴上，
∴点M的坐标为0,−4或0,8；
（3）解：设Am,kmm<0，则AP=−m，OP=km，
∴PB=3PA=−3m，
当B在AP延长线上时，如图：

B−3m,km，对于y=kx，当x=−3m时，y=k−3m=−k3m，
∴C−3m,−k3m，
∴BC=km−−k3m=4k3m，
∴S△PAC=12AP⋅BC=12×−m⋅4k3m=−23k，
∵△PAC的面积为4，
∴−23k=4，解得k=−6．
当B在PA延长线上时，如图：

易得：B′3m,km，C′3m,k3m，
∴B′C′=km−k3m=2k3m，
S△PAC′=12AP⋅B′C′=12×−m⋅2k3m=−13k，
∴−13k=4，k=−12，
综上：k=−6或k=−12．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题．熟记反比例函数的相关性质是解题关键．
27．（2023上·河南信阳·九年级校考期末）如图，已知An,−2，B−2,4是一次函数和反比例函数图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)观察图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
【答案】(1)y=−x+2，y=−8x
(2)6
(3)x<−2或0【分析】（1）设反比例函数解析式为：y=mx，把B−2,4代入反比例函数y=mx，得出m的值，再把An,−2代入y=mx求出n，设一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法即可求解；
（2）设直线AB与x轴交于点C，把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得x的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为：y2=mx，
∵B−2,4在反比例函数y2=mx的图象上，
∴m=−2×4=−8．
∴反比例函数的解析式为y=−8x．
∵An,−2在y=−8x上，
∴−2=−8n，即n=4，
∴A(4,−2)．
设一次函数的解析式y=kx+b，
∵y=kx+b经过A(4,−2)，B−2,4，
∴ −2k+b=44k+b=−2．
解之得k=−1b=2．
∴一次函数的解析式为y=−x+2．
（2）解：设C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，−x+2=0，
解得x=2，
∴点C(2,0)．
∴OC=2．
∵S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×OC×yA+12×OC×yB，
∴S△AOB=12×2×4+12×2×2=6．
（3）解：由图象可知当x<−2或0∴一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为：x<−2或0【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和x轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．
28．（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，已知点Aa,0，B0,b，且a、b满足a+1+(a+b+3)2=0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=kx经过C、D两点．

(1)a=________，b=________；
(2)求反比例函数表达式；
(3)点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标．
【答案】(1)a=−1，b=−2
(2)y=4x
(3)Q10,6；Q20,−6；Q30,2
【分析】（1）根据二次根式的非负性，平方数的非负性即可求解；
（2）E为AD中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为xD，设D1,t，根据中点坐标公式可用含t的式子表示出点D的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C的坐标，将点C,D代入反比例函数即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，图形结合，分类讨论，①当AB为边时：第一种情况：如图所示，若ABPQ为平行四边形，过点P作PK⊥y轴于点K；第二种情况：如图2所示，若ABQP为平行四边形；②当AB为对角线时：如图3所示；根据平行四边形的性质，全等三角形的性质等知识即可求解．
【详解】（1）解：在a+1+(a+b+3)2=0中，
∵a+1≥0,(a+b+3)2≥0，
∴a+1=0a+b+3=0，解得，a=−1b=−2，
∴a=−1，b=−2．
（2）解：由（1）可知，a=−1，b=−2，
∴A−1,0，B0,−2，
∵E为AD中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为xD，
∴xD+(−1)2=0，
∴xD=1，设D1,t，
又∵四边形ABCD是平行四边形，且AO=1，
如图所示，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥DF于点G，

∴DF∥y轴，
∴∠FDE=∠OEA=∠EBC，
∴∠ABO=∠CDG，且AB=CD，∠AOB=∠CGD=90°，
∴△AOB≌△CGD(AAS)，
∴CG=AO=1，DG=BO=2，
∴C2,t−2，
∵点D(1,t)，C(2,t−2)都在双曲线y=kx的图像上，
∴k=xy=t=2(t−2)，
∴t=2t−4，
∴t=4，
∴D1,4，
∵D1,4在双曲线y=kx上，
∴k=xy=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x．
（3）解：∵点P在双曲线y=4x上，点Q在y轴上，A−1,0，B0,−2，
∴设Q0,y，Px,4x，
①当AB为边时：
第一种情况：如图所示，若ABPQ为平行四边形，过点P作PK⊥y轴于点K，

∴∠PQK=∠ABO，∠PKQ=∠AOB=90°，PQ=AB，
∴△PQK≌△AOB(AAS)，
∴PQ=AO=1，即点P的横坐标为x=1，
∴P11,4，K(0,4)，
∴OB=QK=2，
∴Q10,6；
第二种情况：如图所示，若ABQP为平行四边形，

∵点B,Q在y轴上，且AP∥BQ，
∴AP∥y轴，
∴点P,A的横坐标相同，即x=−1，此时P2−1,−4，
∴AP=BQ=4，且B(0,−2)，
∴Q20,−6；
②当AB为对角线时：如图所示，

∵AP=BQ，且AP∥BQ，
∴点P,A的横坐标相同，即x=−1，
∴P3−1,−4，
∴AP=BQ=4，且B(0,−2)，
∴Q30,2；
综上所述Q10,6；Q20,−6；Q30,2．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形变换的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
29．（2022下·山西临汾·八年级校联考期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=ax(a≠0)的图像在第一象限交于点Am,4，在第三象限交于点B−4,n，与y轴交于点E，过点A作AC⊥x轴于点C，且△ACE的面积是12．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求△BCE的面积．
(3)请直接写出不等式kx+b>ax的解集．
【答案】(1)y=x−2；y=24x
(2)8
(3)−46
【分析】（1）如图所示，连接OA，可得S△ACE=S△AOC，可求出点A的坐标，可得反比例函数解析式，再求出点B的坐标，用待定系数法解一次函数解析式，由此即可求解；
（2）如图所示，过点B作BF⊥AC的延长线于点F，可求出S△ABC，由（1）可知S△ACE，根据S△BCE=S△ABC−S△AEC即可求解；
（3）根据一次函数与反比例函数的交点，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接OA，

∵AC⊥x轴于点C，点Am,4，
∴OC=m，AC=4，
∴S△ACE=S△AOC=12m×4=12，解得，m=6，
∴A(6,4)，
把点A代入反比例函数y=ax(a≠0)得，a6=4，解得，a=24，
∴反比例函数的表达式为y=24x，
∵点B−4,n在反比例函数y=24x的图像上，
∴24−4=−6，
∴n=−6，
∴A6,4，B−4,−6，
把A，B两点的坐标代入y=kx+b(k≠0)，得6k+b=4−4k+b=−6，解得k=1b=−2，
∴一次函数的表达式为y=x−2．
（2）解：如图所示，过点B作BF⊥AC的延长线于点F，

∵A6,4，B−4,−6，
∴AC=4，BF=6−(−4)=10，
∴S△ABC=12AC·BF=12×4×10=20，由（1）可知，S△ACE=12，
∴S△BCE=S△ABC−S△AEC=20−12=8．
（3）解：由（1）可知，一次函数解析式为y=x−2，反比例函数解析式为y=24x，A6,4，B−4,−6，
当x<−4时，kx+b当−4ax；
当0当x>6时，kx+b>ax；
综上所述，不等式kx+b>ax的解集为−46．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的综合，掌握几何图像面积求反例函数系数，待定系数法求一次函数解析式，图形结合分析不等式解集等知识是解题的关键．
30．（2022上·山东青岛·九年级校考期末）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数y1=kx在第一象限内的图象与直线y2=34x交于点D，且反比例函数y1=kx交BC于点E，AD=3．

(1)求D点的坐标及反比例函数的关系式；
(2)连接DE，若矩形的面积是27，求出△CDE的面积．
【答案】(1)D(4,3)，y=12x
(2)24326
【分析】（1）根据AD=3，得到点D的纵坐标为3，代入y=34x，解之，求得点D的坐标，再代入y=kx，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式，
（2）根据“矩形的面积是24”，结合AD=3，求得线段AB，线段CD的长度，得到点B，点C的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的坐标，根据“S△CDE=12CE×CD”，代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
点D的纵坐标为3，
把y=3代入y=34x得：34x=3，
解得：x=4，
即点D的坐标为：(4,3)，
把点D(4,3)代入y=kx得：
3=k4，
解得：k=12，
即反比例函数的关系式为：y=12x；
（2）设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：3m=27，
解得：m=9，
即点B，点C的横坐标为：4+9=13，
把x=13代入y=12x得：
y=1213，
即点E的坐标为：(13,1213)，
则线段CE的长度为2713，
∴S△CDE=12CE×CD
=12×2713×9
=24326．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：（1）正确掌握代入法和待定系数法，（2）正确掌握矩形和三角形的面积公式．
31．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数y=−4x的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“y=−4x的l镜像”．

(1)当OP=3时；
①点M−12,−2________“y=−4x的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“y=−4x的l镜像”与x轴交点坐标是_________；
(2)过y轴上的点Q(0,−1)作y轴垂线，与“y=−4x的l镜像”交于点B、C，若BQ=2CQ，求OP的长．
【答案】(1)①在；②−23，0
(2)OP的长为14或12
【分析】（1）①根据函数“y=−4x的l镜像”定义知：反比函数图象沿着直线l翻折前后部分关于直线l对称，当x=−12时，反比例函数值y=8，则点−12，8关于直线y=3对称点为−12，−2，得出点M在“y=−4x的l镜像”；②“ y=−4x的l镜像”与x轴交点纵坐标是0，根据直线l:y=3对称点在反比例函数y=−4x图象上纵坐标应为y=6时x=−23，“y=−4x的l镜像”与x轴交点坐标是−23，0．
（2）由过y轴上的点Q(0,−1)作y轴垂线，与“y=−4x的l镜像”交于点B、C知：点B，C纵坐标y=−1，点C(4,−1)，CQ=4，故BQ=8，点B坐标为(−8，−1)，点B关于直线l对称点坐标为(−8,12)，OP=1−122=14．当点B，C位置交换时，OP=12．
【详解】（1）解：①由反比例函数y=−4x知：当x=−12时，y=8．
∵OP=3且过点P作y轴的垂线l．
∴关于直线l:y=3对称点坐标为−12，−2．
由“y=−4x的t镜像”定义得：点M−12，−2在“y=−4x的t镜像”上．
故答案为：在．
②∵ “y=−4x的l镜像”与x轴相交点纵坐标为0．
∴关于直线l:y=3对称点在反比例函数y=−4x上点纵坐标为6．
∴y=6时，x=−23．
∴ “y=−4x的l镜像”与x轴交点坐标是−23，0．
故答案为：−23，0．
（2）解：如图，①∵过y轴上的点Q(0，−1)作y轴垂线，与“y=−4x的l镜像”交于点B、C．

∴点B，C纵坐标为−1．
∵点C在反比例函数y=−4x图象上．
∴点C坐标(4，−1)．
∴CQ=4．
∵BQ=2CQ．
∴BQ=8．
∴点B坐标为(−8，−1)．
∴当x=−8时，反比例函数y=−4x的值y=12．
∴点(−8，−1)与点−8，12关于直线l:y=−14对称．
由“y=−4x的t镜像”定义得：OP=14．
∴OP的长为14．
②当点B，C位置交换时，同理得OP的长为12．
∴OP的长为14或12．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
32．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kxk>0的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．

(1)若点B2,6．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②在y轴上取一点P，当△BCP的面积为5时，求点P的坐标；
(2)过点B作BD⊥x轴于点D，点E为AB中点，线段DE交y轴于点F，连接AF．若△AFD的面积为11，求k的值．
【答案】(1)①y=x+4,y=12x②0,9或0,−1
(2)k=22
【分析】（1）①根据点B2,6，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式即可；②设P0,m，根据S△BCP=12PC⋅xB求解即可；
（2）设B(n,kn)，进而表示出 A ,D,E点的坐标，设直线DE的解析式为y=ax+c，待定系数法求得DE的解析式，进而令x=0求得F的坐标，根据S△AFD=12AD⋅OF=11，即可求得k的值．
【详解】（1）解：①∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于B2,6，
将B2,6分别代入y=x+b，y=kx，
解得b=4,k=12
∴y=x+4,y=12x
②设P0,m，则：S△BCP=12PC⋅xB=5，
∵ y=x+4，令x=0，则y=4，即C(0,4)
∴PC=m−4
即12m−4×2=5
解得m=9或−1
∴点P的坐标为0,9或0,−1
（2）设B(n,kn)，
∵BD⊥x轴，则D(n,0)，
∵ A点在一次函数y=x+b上，则A(−b,0)，
∴AD=n+b，
∵E是AB的中点，则En−b2,k2n，
设直线DE的解析式为y=ax+c，
将点D(n,0)，En−b2,k2n代入得：
an+c=0a(n−b)2+c=k2n，
解得a=−knn+bc=kn+b，
∴直线DE的解析式为y=−kn(n+b)x+kn+b，
∵F点在y轴上，
令x=0，则y=kn+b，
∴F(0,kn+b)，
∴OF=kn+b，
∵S△AFD=12AD⋅OF=11
即12n+bkn+b=11
解得k=22．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．
33．（2023下·海南儋州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别相交于点A、点B，连接AB，以AB为边长作正方形ABCD．

(1)求正方形ABCD的面积；
(2)求点D的坐标；
(3)若双曲线y=kx在第二象限经过点D，过点C作CF⊥y轴于点F，交曲线于点E，求EF的长．
【答案】(1)20
(2)(−6，2)
(3)2
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，从而求出AB2，即正方形ABCD的面积；
（2）过点D作DM垂直x轴于点M，利用一线三直角模型证明△DAM≌△ABO，从而得到DM=AO=2，AM=BO=4，继而求出点D的坐标；
（3）同理可求出点C的坐标，利用点D的坐标求出双曲线的解析式，再令函数值是点C的纵坐标即可求出点E的坐标，从而求出EF．
【详解】（1）解：当x=0时，y=2x+4=4，
∴B0，4，OB=4．
又令y=2x+4=0，解得：x=−2，
∴A−2，0，OA=2．
又∵∠AOB=90°，
∴AB2=OA2+OB2=20，
即正方形ABCD的面积为20；
（2）过点D作DM垂直x轴于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AD=BA，
∴∠DAM+∠BAO=90°，
又∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵∠DAM=∠ABO，∠DMA=∠AOB=90°，AD=BA，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=2，AM=BO=4，
∴OM=OA+AM=6，
∴点D的坐标为(−6，2)
（3）同理可得：点C的坐标为(−4，6)
将点D的坐标代入y=kx得：2=k−6，
解得：k=−12
∴双曲线得解析式是：y=−12x，
令y=−12x=6，解得：x=−2，
即点E得坐标为−2，6
∵CF⊥y轴于点F，交曲线于点E，
∴EF=2．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的图象与坐标轴的交点问题等知识，构造一线三直角模型求解是解题的关键．
34．（2023下·重庆北碚·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C4,m，D−2,−4．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；
(2)点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F2,n，交y轴于点G，点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标；并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)y=x−2，y=8x
(2)E0,1
(3)H点坐标为2,5或−2,−1或2,3，见解析
【分析】（1）先确定C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设E0,t，t>0，则EB=t+2，再由SΔCDE=12×BE×4+2=9，求出t的值即可求E点坐标；
（3）先求平移后的直线解析式为y=x+2，则G0,2，设Hx,y，根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵点C4,m，D−2,−4在反比例函数图象上，
∴4m=−2×−4，
解得m=2，
∴C4,2，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴ −2k+b=−44k+b=2，
解得k=1b=−2，
∴一次函数的解析式为y=x−2；
（2）直线y=x−2与y轴的交点B0,−2，
设E0,t，t>0，
∴EB=t+2，
∴SΔCDE=12×BE×4+2=9，
∴3t+2=9，
解得t=1，
∴E0,1；
（3）设直线AB向上平移后的函数解析式为y=x−2+ℎ，
∵F2,n在反比例函数图象上，
∴n=4，
∴F2,4，
将F点代入y=x−2+ℎ，则ℎ=4，
∴平移后的直线解析式为y=x+2，
∴G0,2，
设Hx,y，
①当HE为平行四边形的对角线时，x=2，y+1=6，
∴H2,5；
②当HF为平行四边形的对角线时，x+2=0，y+4=3，
∴H−2,−1；
③当HG为平行四边形的对角线时，x=2，y+2=5，
∴H2,3；
综上所述：H点坐标为2,5或−2,−1或2,3．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
35．（2020上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y=kxx>0的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4,AD=3，

(1)求反比例函数y=kx的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使PC−PD的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−4x
(2)P点坐标为−6,0
【分析】（1）设点D的坐标为−4,mm>0，取OB中点E，连接CE，根据三角形的中位线定理，可得点C的坐标为−2,3+m2，根据点C、点D均在反比例函数y=kxx>0的函数图象上，得到k=−4m=−2⋅3+m2，进行求解即可；
（2）在x轴上任取一点P，连接PC、PD，则：PC−PD≤CD，当P、C、D共线时PC−PD的值最大．延长CD交x轴于点P，此时PC−PD的值最大，求出CD的解析式，求出CD与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：设点D的坐标为−4,mm>0，则点A的坐标为−4,3+m，取OB中点E，连接CE，

∵点C为AO的中点，点E为OB的中点；
∴CE∥AB，CE=12AB=3+m2,OE=12OB=2；
∵AB⊥x轴，
∴∠CEO=∠ABO=90°，
∴点C的坐标为−2,3+m2．
∵点C、点D均在反比例函数y=kxx>0的函数图象上，
∴k=−4m=−2⋅3+m2，解得：m=1．
∴k=−4，
∴反比例函数的解析式为y=−4x．
（2）存在—；在x轴上任取一点P，连接PC、PD，
∵PC−PD≤CD，当P、C、D共线时PC−PD的值最大．
∴延长CD交x轴于点P，此时PC−PD的值最大，

设直线CD的解析式为y=ax+b；
由（1）知：点C的坐标为−2,2，点D的坐标为−4,1
则：−2a+b=2−4a+b=1，解得：a=12b=3，
∴y=12x+3，
令y=0，得：12x+3=0，解得：x=−6；
∴P点坐标为−6,0．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
36．（2023下·吉林长春·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数y=kxk>0,x>0的图象与BC边相交于点M（点M不与点B重合），与AB边相交于点N．

(1)如图①，若点B的坐标为4,2，M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
(2)如图②，连接OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q．若k=1，MB=2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
【答案】(1)k=4,N4,1
(2)m=2n
【分析】（1）根据题意得到M2,2，然后利用待定系数法即可求得k，进一步求得点N的坐标；
（2）连接OM，设M的坐标为t,1t，B的坐标为B3t,1t，利用S△OBC=S△OMC+S△OBM=12⋅t⋅1t+12mn=32，进一步得到m与n的函数关系式．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为4,2，M为CB中点，矩形OABC，
∴M的坐标为2,2，
将M点的坐标代入y=kx得，k=2×2=4，
∴y=4x，
∴当x=4时，y=1，
∴N的坐标为4,1；
（2）由题意可得反比例函数为：y=1x，
连接OM，设M的坐标为t,1t，

∵MB=2CM，
∴B的坐标为B3t,1t ，
∴S△OBC=12×3t⋅1t=32，
∴S△OBC=S△OMC+S△OBM=12⋅t⋅1t+12mn=32，
∴mn=2，即m=2n．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的性质，求解反比例函数的解析式，熟练的利用图形面积公式建立关系式是解本题的关键．
37．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0，x<0）的图像经过点A−6,m,B−2,n两点．
(1)m与n的数量关系是( )
A．m=3n B．n=3m C．m+n=8 D．m−n=4
(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接OA、OB，则△AOB的面积为_____；
(3)若点M在反比例函数y=kxx<0的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B
(2)①P−3,0，反比例函数的表达式为y=−6x，②8
(3)存在，M−4,32或M−8,34
【分析】（1）把A−6,m,B−2,n分别代入y=kx得：k=−6m=−2n，即可解答；
（2）①过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，证明△ACP≌△PDBAAS，得出AC=PD=m，PC=BD=n，DO=2，CO=6，根据CO=CP+PD+DO， n=3m， 即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设AB所在直线函数表达式为y=k1x+b，直线AB交x轴于点C，
求出AB所在直线函数表达式为y=12x+4，再求出C−8,0，则OC=8，最后根据S△OAB=S△OBC−S△OAC即可求解；
（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设Mt,−6t,N0,s，A−6,1,B−2,3根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把A−6,m,B−2,n分别代入y=kx得：k=−6m,k=−2n，
∴−6m=−2n，整理得：n=3m，
故选：B．
（2）解：①过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACP=∠PDB=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合
∴∠APB=90°，AP=BP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△ACP和△PDB中
∠ACP=∠PDB∠1=∠2AP=BP，
∴△ACP≌△PDBAAS，
∴AC=PD,PC=BD，
∵A−6,m,B−2,n，
∴AC=PD=m，PC=BD=n，DO=2，CO=6，
∵CO=CP+PD+DO，
∴n+m+2=6，
∵n=3m，
∴m=1,n=3，
∴P−3,0,A−6,1,B−2,3，
∵反比例函数的表达式为y=kx过A−6,1，
∴k=−6，
∴反比例函数的表达式为y=−6x；
②设AB所在直线函数表达式为y=k1x+b，直线AB交x轴于点C，
将A−6,1,B−2,3代入得：
1=−6k1+b3=−2k1+b，解得：k1=12b=4，
∴AB所在直线函数表达式为y=12x+4，
把y=0代入得0=12x+4，
解得：x=−8，
∴C−8,0，则OC=8，
∴S△OAB=S△OBC−S△OAC=12OC⋅yB−12OC⋅yA=12×8×3−12×8×1=8，
故答案为：8．
（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，
∴设Mt,−6t,N0,s，A−6,1,B−2,3
∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，
①当AB为对角线时，
−6+−2=t，解得：t=−8，
∴M−8,34；
②当AM为对角线时，
−6+t=−2，解得：t=4，
∴M4,−32；
∵x<0，
∴M4,−32不符合题意，舍去
③当AN为对角线时，
−2+t=−6，解得：t=−4，
∴M−4,32
综上：存在，M−4,32或M−8,34．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质．
38．（2023下·山西晋城·八年级校联考期末）综合与探究
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x>0)的图象在第一象限内交于点A(1,4),B(4,a)，P为x轴负半轴上一动点，作直线PA，连接PB．

(1)求一次函数的表达式．
(2)若△ABP的面积为12，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以PB为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为y=−x+5；
(2)P−3，0；
(3)（-7，-4）或7，10．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式可求得k=4，进而可得B4，1，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）如图，设直线AB交x轴于H，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，设Px,0，根据三角形PAB的面积为12，建立方程求解即可得出x=−1，得出答案；
（3）利用待定系数法可得直线PA的解析式为y=2x+2，设Et,2t+2，F0,s，当PF、BE为平行四边形对角线时，PF与BE的中点重合；当PE，BF为平行四边形对角线时，PE与BF的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：把A1，4代入y=mx，得
m=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
∴B4，1，
把A1，4，B4，1代入y=kx+b得
k+b=44k+b=1
解得k=−1b=5，
∴一次函数解析式为y=−x+5；
（2）如图，设直线AB交x轴于H，过点A作MD⊥x轴于D，过点A作AE⊥x轴于E，

设Px,0，
∵A1，4，B4，1，
∴AD=4，BE=1，
在y=−x+5中，令y=0，得−x+5=0，
解得：x=5，
∴H5，0，
∴PH=5−x，
∴S△PAB=P△PAH−S△PBH
=12PH⋅AD−12PH⋅BE
=12PHAD−BE
=125−x×4−1
=325−x，
∵S△PAB=12，
∴325−x=12，
解得：x=−3，
∴P−3，0；
（3）存在；
设直线PA的解析式为y=mx+n，把P−3，0，B1，4坐标分别代入得：
−3m+n=0m+n=4，
解得m=1n=3，
∴直线PA的解析式为y=x+3，
设Et,t+3，F0,s，
又P−3，0，B4，1，
当PF、BE为平行四边形对角线时，PF与BE的中点重合，
∴−3=t+4s=t+3+1，
解得t=−7s=−3，
∴E−7，−4；
当PE，BF为平行四边形对角线时，PE与BF的中点重合，
∴−3+t=4t+3=s+1，
解得t=7s=9，
∴E7，10；
综上所述，点E的坐标为−7，−4或7，10．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解．
39．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵a−b2≥0,∴a−2ab+b≥0, ∴a+b≥2ab,（只有当a=b时，a+b=2ab）．

【获得结论】在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值2p．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0，只有当m=_______时，m+4m有最小值_______．
(2)已知点Q−4,−5是双曲线y=kx上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y=kx(x>0)上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
【答案】(1)2，4
(2)40
【分析】（1）根据阅材料可得，当m=4m时，m+4m取得最大值，据此即可求解；
（2）连接PQ，设P(x,20x)，根据四边形AQBP的面积=△AQP的面积+△QBP的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得当m=4m时，m=2，此时m+4m=4．
故答案为：2，4；
（2）解：连接PQ，
∵点Q−4,−5是双曲线y=kx上的点，
∴k=−4×−5=20，即y=20x，
设P(x,20x)，
∴S四边形AQBP=S△APQ+S△BPQ=12×5x+4+12×420x+5
=52x+40x+20≥252x×40x+20=40．
∴四边形AQBP的面积最小值为40．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及不等式的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键．