2022-2023学年贵州省毕节市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年贵州省毕节市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={2,0,x}，B={2,x2}且A∩B=B，则x的取值集合为( )
A. {0,1}B. {l}C. {−1,0,1}D. {− 2,1, 2}
2.复数z满足(z+1)i=1−i，则z的共轭复数的虚部是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.f(x)是定义在[−8,8]上的偶函数，且f(4)>f(2)，则下列各式一定成立的是( )
A. f(0)f(3)C. f(−2)f(1)
4.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为( )
A. 38B. 39C. 40D. 41
5.长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为1，1， 3，那么这个球体的体积为( )
A. 5 5π3B. 5πC. 6πD. 5 5π6
6.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥n，则n//αB. 若α⊥β，m//α，m//n，则n//β
C. 若m⊥α，n//α，则m⊥nD. 若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n//β
7.已知向量a=(λ,1)，b=(−1,μ)，若2a+3b=(−3,8)，则cs=( )
A. 1010B. − 1010C. −3 1010D. 3 1010
8.设α∈R，则“2kπ−π4<α<2kπ+π4，k∈Z”是“ 2csα−cs2α<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=x2+6,x≤0,2x−1,x>0,，若f(x)=15，则x的值可以为( )
A. −3B. 3C. 7D. 8
10.如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的( )
A. 表面积为12 3
B. 表面积为3 3
C. 体积为2 6
D. 体积为2 3
11.在等腰直角△ABC中，C=π2，AB=3 2，D是AC的中点，若点P为线段AB的三等分点，则DP⋅CP的值可能为( )
A. 1B. 2C. 52D. 72
12.已知函数f(x)=|lnx|，若m>n>0，且f(m)=f(n)，则( )
A. m+n=2B. mn=1C. 2m+1n≥2 2D. 1m+2n>3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=lgx+1lgx，则f(100)=______.
14.已知x>0，则 3−4x−3x的最大值为______.
15.某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2，16.76，5至12月降水量的均值、方差分别为83.4，15.44，则该地2022年全年降水量的均值为______，方差为______.
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈，规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：m)(在水面下则h为负数)，则h与时间t之间的关系为h(t)=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).
①A=2.4，ω=π10，φ=−π6，K=1.2；
②点P第一次到达最高点需要的时间为103s；
③在转动的一个周期内，点P在水中的时间是403s；
④若h(t)在[0,a]上的值域为[0,3.6]，则a的取值范围是[203,403]；
其中所有正确结论的序号是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(2x+π6)−2 3sinxcsx+1.
(Ⅰ)求f(π3)的值；
(Ⅱ)若f(α2)=2− 22，α∈(−π2,π2)，求α的值.
18.(本小题12分)
某市政府为了鼓励居民节约用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个合理的居民用电量标准x(单位：kW⋅h)，月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用电量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用电量(单位：kW⋅h)，将数据按照[0,50),[50,100),…，[300,350]分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；
(Ⅱ)已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用电量不低于200kW⋅h的人数，并说明理由；
(Ⅲ)若该市政府希望使88%的居民每月的用电量不超过标准xkW⋅h，估计x的值，并说明理由.
19.(本小题12分)
已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3b+c(sinA− 3csA)=0.
(Ⅰ)求C的值；
(Ⅱ)若c=1，求△ABC面积的最大值.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB=3，AD=2，侧面PAD是等腰三角形，且PA=PD= 2，侧面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证：AP⊥平面PCD；
(Ⅱ)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(11−4x−12)x.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(Ⅲ)求证：f(x)<0.
22.(本小题12分)
某地区上年度水价为3.8元/吨，年用水量为m吨，本年度计划将水价下降到3.55元/吨至3.75元/吨之间，而用户期望水价为3.4元/吨.经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比(比例系数为k).该地区的用水成本价为3.3元/吨.
(Ⅰ)写出本年度水价下调后水务部门的收益y(单位：元)关于实际水价x(单位：元/吨)的函数解析式；(收益=实际水量x(实际水价一成本价))
(Ⅱ)设k=0.2m，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A∩B=B，所以B⊆A，所以x2∈A，
若x2=0，则x=0，与互异性矛盾，
若x2=x，则x=0(舍)或x=1，
x=1经检验满足题意，
综上x的所有取值为：1.
故选：B.
根据集合的包含关系分类讨论求解．
本题主要考查了集合交集运算与集合包含关系的转化，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：(z+1)i=1−i，
则z+1=1−ii=−1−i，
故z=−2−i，z−=−2+i，
所以z的共轭复数的虚部是1.
故选：A.
根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据条件得不出f(x)在[−8,8]上的单调性，
∴不能比较f(0)和f(8)的大小，f(4)和f(3)的大小，f(3)和f(1)的大小，
∵f(4)>f(2)，f(x)为偶函数，
∴f(−2)=f(2)故选：C.
根据条件得不出f(x)的单调性，但f(−2)=f(2)，从而可得出一定成立的是f(−2)本题考查了偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：将8场比赛得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
75%×8=6，
故这组数据的第75百分位数为38+402=39.
故选：B.
根据已知条件，将8场比赛得分从小到大排列，再结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，
所以球的直径为2R= 1+1+3= 5，
故该球的体积为V=43πR3=5 56π.
故选：D.
根据长方体的体对角线长是其外接球的直径，由此求出球的半径，利用球的体积公式即可求解．
本题考查了长方体的外接球，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n//α，故A错误；
若α⊥β，m//α，m//n，则n⊂β或n//β或n与β相交，故B错误；
若m⊥α，n//α，则m⊥n，故C正确；
若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊂β或n//β或n与β相交，故D错误．
故选：C.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：2a+3b=2(λ,1)+3(−1,μ)=(2λ−3,3μ+2)=(−3,8)，
∴2λ−3=−33μ+2=8，解得：λ=0μ=2，
∴a=(0,1),b=(−1,2)，
∴a+b=(−1,3)，
∴cs=a⋅(a+b)|a||a+b|=0×(−1)+1×3 02+12⋅ (−1)2+32=3 1010.
故选：D.
由平面向量的坐标运算求出λ，μ，再由平面向量夹角的计算公式直接计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算和夹角，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，若 2csα−cs2α<1，即 2csα−cs2α−1= 2csα−cs2α<0，
变形可得：csα<0或csα> 22，
又由−1≤csα≤1，则−1≤csα<0或 22若“2kπ−π4<α<2kπ+π4，k∈Z”，则 22反之，若 2csα−cs2α<1，即−1≤csα<0或 22故“2kπ−π4<α<2kπ+π4，k∈Z”是“ 2csα−cs2α<1”的充分不必要条件．
故选：A.
根据题意，求“ 2csα−cs2α<1”成立时csα的范围，由此结合充分必要条件的定义分析可得答案．
本题考查充分必要条件的判定，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：∵函数f(x)=x2+6,x≤0,2x−1,x>0,，若f(x)=15，
∴x≤0x2+6=15 或x>02x−1=15，
解得x=−3或x=8.
故选：AD.
由题意，利用分段函数的解析式，分类讨论，求出x的值．
本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，圆形铁片的半径为4，其中△ABC为正三角形，
则有BCsinA=2×4=8，变形可得BC=4 3，
则△ABC的面积S=12×4 3×4 3× 32=12 3，即该正三棱锥的表面积为12 3，A正确，B错误；
所得正三棱锥的棱长为12BC=2 3，
其正三棱锥的底面面积S′=12×2 3×2 3× 32=3 3，其高h=2 2，
则该正三棱锥的体积V=13S′h=2 6，C正确，D错误．
故选：AC.
根据题意，由正弦定理求出BC的长，进而可得△ABC的面积，由此可得正三棱锥的表面积，分析可得正三棱锥的棱长，由此求出正三棱锥的体积，由此分析选项可得答案．
本题考查棱锥的体积和表面积的计算，涉及棱锥的结构特征，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
等腰直角△ABC中，C=π2，AB=3 2，
所以AC=BC=3，
因为D是AC的中点，所以D(32,0)，
又因为点P为线段AB的三等分点，
所以P(1,2)或P(2,1)，
当P(1,2)时，DP=(−12,2)，CP=(1,2)，
所以DP⋅CP=−12+4=72，
当P(2,1)时，DP=(12,1)，CP=(2,1)，
所以DP⋅CP=1+1=2.
故选：BD.
建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算DP⋅CP的值即可．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：因为f(x)=|lnx|，
若f(m)=f(n)(m>1>n>0)，
则lnm=−lnn，即lnm+lnn=0，
所以mn=1，B对，
m+n≥2 mn=2(当且仅当m=n=1时取等号)，但m>n，即等号不成立，A错，
2m+1n≥2 2mn=2 2，当且仅当m=2n= 2时等号成立，C对，
1m+2n≥2 2mn=2 2，当且仅当n=2m= 2时等号成立，此时m= 22，不符合题意，
由1m+2n=2m+1m在m>1为增函数，可得1m+2m>3，故D正确．
故选：BCD.
由已知结合对数函数的性质及对数的运算性质可得mn=1，代入整理可求结论．
本题主要考查了对数函数的性质及对数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】52
【解析】解：因为f(x)=lgx+1lgx，
则f(100)=lg100+1lg100=2+12=52.
故答案为：52.
由已知结合对数的运算性质即可直接求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】−3 3
【解析】解：因为x>0，
则 3−4x−3x= 3−(4x+3x)≤ 3−2 4x⋅3x=−3 3，
当且仅当4x=3x，即x= 32时取等号．
故答案为：−3 3.
由已知利用基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】80 39
【解析】解：根据题意，某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2，16.76，5至12月降水量的均值、方差分别为83.4，15.44，
则该地2022年全年降水量的均值x−=4×73.2+8×83.412=80，
其方差S2=412×[16.76+(73.2−80)2]+812×[15.44+(83.4−80)2]=39.
故答案为：80；39.
根据题意，由总体的平均数、方差公式计算可得答案．
本题考查总体的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．
16.【答案】①④
【解析】【分析】
本题主要考查的是匀速圆周运动的数学模型，属中档题．
根据题意得出h(t)的解析式，而后逐个分析即可．
【解答】
解：对于①，由题意知A=2.4，K=1.2，
根据几何关系可得P0与x轴正方向的夹角为−π6，即φ=−π6，ω=3×2π60=π10，①正确；
对于②，盛水筒第一次到达最高点所需时间为(π6+π2)÷π10=203s，②错误；
对于③，转动一周盛水筒在水中的时间为(π−2×π6)÷π10=203s，③错误；
对于④，t∈[0,a]，(π10t−π6)∈[−π6,π10×a−π6]，
令π2≤π10a−π6≤7π6，得203≤a≤403，④正确．
故答案为：①④．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=sin(2x+π6)−2 3sinxcsx+1
=sin2xcsπ6+cs2xsinπ6− 3sin2x+1
=12cs2x− 32sin2x+1
=cs(2x+π3)+1，
所以f(π3)=csπ+1=0.
(Ⅱ)因为f(α2)=cs(α+π3)+1=2− 22，
所以cs(α+π3)=− 22，
因为−π2<α<π2，
所以−π6<α+π3<5π6，
所以α+π3=3π4，
所以α=5π12.
【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=cs(2x+π3)+1，即可求解．
(Ⅱ)由题意可求cs(α+π3)=− 22，可求−π6<α+π3<5π6，进而可求α的值．
本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，50×(0.0006+a+0.0036+0.0060+0.0044+a+0.0006)=1，
解得a=0.0024；
(Ⅱ)样本居民中月均用电量不低于200kW⋅h的频率为50×(0.0044+0.0024+0.0006)=0.64，
用样本估计总体，所以估计全市居民中月均用电量不低于200kW⋅h的人数为60×0.64=38.4(万人)；
(Ⅲ)因为50×(0.0006+0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)=0.85<0.88，
50×(0.0006+a+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)=0.97>0.88
所以x∈[250,300),则0.85+(x−250)×0.0024=0.88，
解得x=262.5.
【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值；
(Ⅱ)先求出样本中月均用电量不低于200kW⋅h的频率，用样本估计总体，即可求出结果；
(Ⅲ)由频率分布直方图可知，x∈[250,300),则0.85+(x−250)×0.0024=0.88，从而求出x的值．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由正弦定理可得b=2RsinB，c=2RsinC，(R为△ABC外接圆半径)，
所以 3b+c(sinA− 3csA)=0可化为 3sinB+sinC(sinA− 3csA)=0，
即 3sin(A+C)+sinAsinC− 3sinCcsA=0，
即 3sinAcsC+sinAsinC=0，
∵sinA≠0，∴tanC=− 3，
又C∈(0,π)，∴C=2π3；
(2)即余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
即3ab≤1，当且仅当a=b时取等号，
所以S△ABC=12absinC≤12×13× 32= 312，
所以△ABC的面积的最大值为 312.
【解析】(1)利用正弦定理，边转角得到tanC，再利用角的范围，即可求C；
(2)由余弦定理可得c2=a2+b2+ab，由基本不等式求出ab的范围，即可求出△ABC的面积的最大值．
本题考查了正、余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】(Ⅰ)证明：在△APD中，AD=2，PA=PD= 2，
∴AD2=AP2+DP2，∴AP⊥DP，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
AD⊥CD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面APD，∴CD⊥AP，
∵CD∩DP=D，∴AP⊥平面PCD；
(Ⅱ)解：取AD的中点为M，连接PM，∵PA=PD，所以PM⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，过点M作MG⊥BC，垂足为G，连接PG，
∴BC⊥平面PMG，∴∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
在直角△PMG中，PM=12AD=1，MG=3，∴PG= 10，
∴sin∠PGM=PMPG=1 10= 1010，
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值为 1010.
【解析】(Ⅰ)证明CD⊥平面APD即可；(Ⅱ)∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，由此即可得．
本题考查线面垂直，面面垂直，二面角，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)令1−4x≠0，
解得x≠0，
则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}；
(Ⅱ)函数f(x)为偶函数，证明如下：
函数的定义域关于原点对称，
且f(−x)−f(x)=(11−4−x−12)(−x)−(11−4x−12)x=−(4x4x−1−12)x−(11−4x−12)x
=−x4x4x−1+12x−x1−4x+12x=x(1−4x4x−1+14x−1)=0，
所以f(−x)=f(x)，
则函数f(x)为偶函数；
(Ⅲ)证明：由于f(x)为偶函数，则只需证明当x>0时，f(x)<0即可，
当x>0时，4x>1，1−4x<0，
则11−4x−12<0，
则(11−4x−12)x<0，即f(x)<0，
由于f(x)关于y轴对称，
则当x<0时，f(x)<0，
综上，f(x)<0.
【解析】(Ⅰ)令1−4x≠0，求得x的范围，即可得到定义域；
(Ⅱ)判断f(x)与f(−x)的关系即可得到奇偶性；
(Ⅲ)根据对称性，只需证明当x>0时，f(x)<0即可，利用不等式的性质容易得证．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)：设下调后的水价为x元/kw⋅h，依题意知用水量增至kx−3.4+a，
供水局的收益为：y=(kx−3.4+a)(x−3.3)，(3.55≤x≤3.75).
(2)依题意有(0.2ax−3.4+a)(x−3.3)≥[a×(3.8−3.3)](1+20%)3.55≤x≤3.75，
整理得x2−7.1x+12.6≥03.55≤x≤3.75，
解此不等式得3.60≤x≤3.75，
答：当水价最低定为3.6x元/kw⋅h仍可保证供水局的收益比上年至少增长20%.
【解析】(1)先根据题意设下调后的水价为x元/kw⋅h，依题意知用电量增至kx−3.4+a，即可计算收益；
(2)依题意：“水价最低定为多少时仍可保证供水局的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即可得解．
本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，属于中档题．