


2022-2023学年贵州省毕节市高一(下)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开1.设集合A={2,0,x},B={2,x2}且A∩B=B,则x的取值集合为( )
A. {0,1}B. {l}C. {−1,0,1}D. {− 2,1, 2}
2.复数z满足(z+1)i=1−i,则z的共轭复数的虚部是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.f(x)是定义在[−8,8]上的偶函数,且f(4)>f(2),则下列各式一定成立的是( )
A. f(0)
4.在一次篮球比赛中,某支球队共进行了8场比赛,得分分别为29,30,38,25,37,40,42,32,那么这组数据的第75百分位数为( )
A. 38B. 39C. 40D. 41
5.长方体的所有顶点都在一个球面上,长、宽、高分别为1,1, 3,那么这个球体的体积为( )
A. 5 5π3B. 5πC. 6πD. 5 5π6
6.已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,则下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α,m⊥n,则n//αB. 若α⊥β,m//α,m//n,则n//β
C. 若m⊥α,n//α,则m⊥nD. 若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n//β
7.已知向量a=(λ,1),b=(−1,μ),若2a+3b=(−3,8),则cs=( )
A. 1010B. − 1010C. −3 1010D. 3 1010
8.设α∈R,则“2kπ−π4<α<2kπ+π4,k∈Z”是“ 2csα−cs2α<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=x2+6,x≤0,2x−1,x>0,,若f(x)=15,则x的值可以为( )
A. −3B. 3C. 7D. 8
10.如图,一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥,则该正三棱锥的( )
A. 表面积为12 3
B. 表面积为3 3
C. 体积为2 6
D. 体积为2 3
11.在等腰直角△ABC中,C=π2,AB=3 2,D是AC的中点,若点P为线段AB的三等分点,则DP⋅CP的值可能为( )
A. 1B. 2C. 52D. 72
12.已知函数f(x)=|lnx|,若m>n>0,且f(m)=f(n),则( )
A. m+n=2B. mn=1C. 2m+1n≥2 2D. 1m+2n>3
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数f(x)=lgx+1lgx,则f(100)=______.
14.已知x>0,则 3−4x−3x的最大值为______.
15.某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2,16.76,5至12月降水量的均值、方差分别为83.4,15.44,则该地2022年全年降水量的均值为______,方差为______.
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图,将筒车抽象为一个几何图形(圆),筒车半径为2.4m,筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m,筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈,规定:盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间,且以水轮的圆心O为坐标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位:s),且此时点P距离水面的高度为h(单位:m)(在水面下则h为负数),则h与时间t之间的关系为h(t)=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).
①A=2.4,ω=π10,φ=−π6,K=1.2;
②点P第一次到达最高点需要的时间为103s;
③在转动的一个周期内,点P在水中的时间是403s;
④若h(t)在[0,a]上的值域为[0,3.6],则a的取值范围是[203,403];
其中所有正确结论的序号是__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(2x+π6)−2 3sinxcsx+1.
(Ⅰ)求f(π3)的值;
(Ⅱ)若f(α2)=2− 22,α∈(−π2,π2),求α的值.
18.(本小题12分)
某市政府为了鼓励居民节约用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一个合理的居民用电量标准x(单位:kW⋅h),月用电量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用电量分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月均用电量(单位:kW⋅h),将数据按照[0,50),[50,100),…,[300,350]分成7组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)已知该市有60万居民,估计全市居民中月均用电量不低于200kW⋅h的人数,并说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使88%的居民每月的用电量不超过标准xkW⋅h,估计x的值,并说明理由.
19.(本小题12分)
已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 3b+c(sinA− 3csA)=0.
(Ⅰ)求C的值;
(Ⅱ)若c=1,求△ABC面积的最大值.
20.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为矩形,且AB=3,AD=2,侧面PAD是等腰三角形,且PA=PD= 2,侧面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证:AP⊥平面PCD;
(Ⅱ)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(11−4x−12)x.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(Ⅲ)求证:f(x)<0.
22.(本小题12分)
某地区上年度水价为3.8元/吨,年用水量为m吨,本年度计划将水价下降到3.55元/吨至3.75元/吨之间,而用户期望水价为3.4元/吨.经测算,下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比(比例系数为k).该地区的用水成本价为3.3元/吨.
(Ⅰ)写出本年度水价下调后水务部门的收益y(单位:元)关于实际水价x(单位:元/吨)的函数解析式;(收益=实际水量x(实际水价一成本价))
(Ⅱ)设k=0.2m,当水价最低定为多少时,仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%?
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:因为A∩B=B,所以B⊆A,所以x2∈A,
若x2=0,则x=0,与互异性矛盾,
若x2=x,则x=0(舍)或x=1,
x=1经检验满足题意,
综上x的所有取值为:1.
故选:B.
根据集合的包含关系分类讨论求解.
本题主要考查了集合交集运算与集合包含关系的转化,属于基础题.
2.【答案】A
【解析】解:(z+1)i=1−i,
则z+1=1−ii=−1−i,
故z=−2−i,z−=−2+i,
所以z的共轭复数的虚部是1.
故选:A.
根据已知条件,先求出z,再结合共轭复数和虚部的定义,即可求解.
本题主要考查共轭复数和虚部的定义,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】解:根据条件得不出f(x)在[−8,8]上的单调性,
∴不能比较f(0)和f(8)的大小,f(4)和f(3)的大小,f(3)和f(1)的大小,
∵f(4)>f(2),f(x)为偶函数,
∴f(−2)=f(2)
根据条件得不出f(x)的单调性,但f(−2)=f(2),从而可得出一定成立的是f(−2)
4.【答案】B
【解析】解:将8场比赛得分从小到大排列为:25,29,30,32,37,38,40,42,
75%×8=6,
故这组数据的第75百分位数为38+402=39.
故选:B.
根据已知条件,将8场比赛得分从小到大排列,再结合百分位数的定义,即可求解.
本题主要考查百分位数的定义,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】解:因为长方体的体对角线长是其外接球的直径,
所以球的直径为2R= 1+1+3= 5,
故该球的体积为V=43πR3=5 56π.
故选:D.
根据长方体的体对角线长是其外接球的直径,由此求出球的半径,利用球的体积公式即可求解.
本题考查了长方体的外接球,属于中档题.
6.【答案】C
【解析】解:若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n//α,故A错误;
若α⊥β,m//α,m//n,则n⊂β或n//β或n与β相交,故B错误;
若m⊥α,n//α,则m⊥n,故C正确;
若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n⊂β或n//β或n与β相交,故D错误.
故选:C.
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案.
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,是基础题.
7.【答案】D
【解析】解:2a+3b=2(λ,1)+3(−1,μ)=(2λ−3,3μ+2)=(−3,8),
∴2λ−3=−33μ+2=8,解得:λ=0μ=2,
∴a=(0,1),b=(−1,2),
∴a+b=(−1,3),
∴cs=a⋅(a+b)|a||a+b|=0×(−1)+1×3 02+12⋅ (−1)2+32=3 1010.
故选:D.
由平面向量的坐标运算求出λ,μ,再由平面向量夹角的计算公式直接计算即可.
本题考查平面向量的坐标运算和夹角,属于基础题.
8.【答案】A
【解析】解:根据题意,若 2csα−cs2α<1,即 2csα−cs2α−1= 2csα−cs2α<0,
变形可得:csα<0或csα> 22,
又由−1≤csα≤1,则−1≤csα<0或 22
故选:A.
根据题意,求“ 2csα−cs2α<1”成立时csα的范围,由此结合充分必要条件的定义分析可得答案.
本题考查充分必要条件的判定,涉及三角函数的恒等变形,属于基础题.
9.【答案】AD
【解析】解:∵函数f(x)=x2+6,x≤0,2x−1,x>0,,若f(x)=15,
∴x≤0x2+6=15 或x>02x−1=15,
解得x=−3或x=8.
故选:AD.
由题意,利用分段函数的解析式,分类讨论,求出x的值.
本题主要考查利用分段函数求函数的值,属于基础题.
10.【答案】AC
【解析】解:根据题意,圆形铁片的半径为4,其中△ABC为正三角形,
则有BCsinA=2×4=8,变形可得BC=4 3,
则△ABC的面积S=12×4 3×4 3× 32=12 3,即该正三棱锥的表面积为12 3,A正确,B错误;
所得正三棱锥的棱长为12BC=2 3,
其正三棱锥的底面面积S′=12×2 3×2 3× 32=3 3,其高h=2 2,
则该正三棱锥的体积V=13S′h=2 6,C正确,D错误.
故选:AC.
根据题意,由正弦定理求出BC的长,进而可得△ABC的面积,由此可得正三棱锥的表面积,分析可得正三棱锥的棱长,由此求出正三棱锥的体积,由此分析选项可得答案.
本题考查棱锥的体积和表面积的计算,涉及棱锥的结构特征,属于基础题.
11.【答案】BD
【解析】解:建立平面直角坐标系,如图所示:
等腰直角△ABC中,C=π2,AB=3 2,
所以AC=BC=3,
因为D是AC的中点,所以D(32,0),
又因为点P为线段AB的三等分点,
所以P(1,2)或P(2,1),
当P(1,2)时,DP=(−12,2),CP=(1,2),
所以DP⋅CP=−12+4=72,
当P(2,1)时,DP=(12,1),CP=(2,1),
所以DP⋅CP=1+1=2.
故选:BD.
建立平面直角坐标系,利用坐标表示向量,计算DP⋅CP的值即可.
本题考查了平面向量的数量积计算问题,是基础题.
12.【答案】BCD
【解析】解:因为f(x)=|lnx|,
若f(m)=f(n)(m>1>n>0),
则lnm=−lnn,即lnm+lnn=0,
所以mn=1,B对,
m+n≥2 mn=2(当且仅当m=n=1时取等号),但m>n,即等号不成立,A错,
2m+1n≥2 2mn=2 2,当且仅当m=2n= 2时等号成立,C对,
1m+2n≥2 2mn=2 2,当且仅当n=2m= 2时等号成立,此时m= 22,不符合题意,
由1m+2n=2m+1m在m>1为增函数,可得1m+2m>3,故D正确.
故选:BCD.
由已知结合对数函数的性质及对数的运算性质可得mn=1,代入整理可求结论.
本题主要考查了对数函数的性质及对数的运算性质,属于基础题.
13.【答案】52
【解析】解:因为f(x)=lgx+1lgx,
则f(100)=lg100+1lg100=2+12=52.
故答案为:52.
由已知结合对数的运算性质即可直接求解.
本题主要考查了函数值的求解,属于基础题.
14.【答案】−3 3
【解析】解:因为x>0,
则 3−4x−3x= 3−(4x+3x)≤ 3−2 4x⋅3x=−3 3,
当且仅当4x=3x,即x= 32时取等号.
故答案为:−3 3.
由已知利用基本不等式即可直接求解.
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于基础题.
15.【答案】80 39
【解析】解:根据题意,某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2,16.76,5至12月降水量的均值、方差分别为83.4,15.44,
则该地2022年全年降水量的均值x−=4×73.2+8×83.412=80,
其方差S2=412×[16.76+(73.2−80)2]+812×[15.44+(83.4−80)2]=39.
故答案为:80;39.
根据题意,由总体的平均数、方差公式计算可得答案.
本题考查总体的平均数、方差的计算,注意平均数、方差的计算公式,属于基础题.
16.【答案】①④
【解析】【分析】
本题主要考查的是匀速圆周运动的数学模型,属中档题.
根据题意得出h(t)的解析式,而后逐个分析即可.
【解答】
解:对于①,由题意知A=2.4,K=1.2,
根据几何关系可得P0与x轴正方向的夹角为−π6,即φ=−π6,ω=3×2π60=π10,①正确;
对于②,盛水筒第一次到达最高点所需时间为(π6+π2)÷π10=203s,②错误;
对于③,转动一周盛水筒在水中的时间为(π−2×π6)÷π10=203s,③错误;
对于④,t∈[0,a],(π10t−π6)∈[−π6,π10×a−π6],
令π2≤π10a−π6≤7π6,得203≤a≤403,④正确.
故答案为:①④.
17.【答案】解:(Ⅰ)因为f(x)=sin(2x+π6)−2 3sinxcsx+1
=sin2xcsπ6+cs2xsinπ6− 3sin2x+1
=12cs2x− 32sin2x+1
=cs(2x+π3)+1,
所以f(π3)=csπ+1=0.
(Ⅱ)因为f(α2)=cs(α+π3)+1=2− 22,
所以cs(α+π3)=− 22,
因为−π2<α<π2,
所以−π6<α+π3<5π6,
所以α+π3=3π4,
所以α=5π12.
【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=cs(2x+π3)+1,即可求解.
(Ⅱ)由题意可求cs(α+π3)=− 22,可求−π6<α+π3<5π6,进而可求α的值.
本题考查了三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
18.【答案】解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,50×(0.0006+a+0.0036+0.0060+0.0044+a+0.0006)=1,
解得a=0.0024;
(Ⅱ)样本居民中月均用电量不低于200kW⋅h的频率为50×(0.0044+0.0024+0.0006)=0.64,
用样本估计总体,所以估计全市居民中月均用电量不低于200kW⋅h的人数为60×0.64=38.4(万人);
(Ⅲ)因为50×(0.0006+0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)=0.85<0.88,
50×(0.0006+a+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024)=0.97>0.88
所以x∈[250,300),则0.85+(x−250)×0.0024=0.88,
解得x=262.5.
【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,即可求出a的值;
(Ⅱ)先求出样本中月均用电量不低于200kW⋅h的频率,用样本估计总体,即可求出结果;
(Ⅲ)由频率分布直方图可知,x∈[250,300),则0.85+(x−250)×0.0024=0.88,从而求出x的值.
本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于中档题.
19.【答案】解:(1)由正弦定理可得b=2RsinB,c=2RsinC,(R为△ABC外接圆半径),
所以 3b+c(sinA− 3csA)=0可化为 3sinB+sinC(sinA− 3csA)=0,
即 3sin(A+C)+sinAsinC− 3sinCcsA=0,
即 3sinAcsC+sinAsinC=0,
∵sinA≠0,∴tanC=− 3,
又C∈(0,π),∴C=2π3;
(2)即余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,
即3ab≤1,当且仅当a=b时取等号,
所以S△ABC=12absinC≤12×13× 32= 312,
所以△ABC的面积的最大值为 312.
【解析】(1)利用正弦定理,边转角得到tanC,再利用角的范围,即可求C;
(2)由余弦定理可得c2=a2+b2+ab,由基本不等式求出ab的范围,即可求出△ABC的面积的最大值.
本题考查了正、余弦定理及均值不等式的应用,属于中档题.
20.【答案】(Ⅰ)证明:在△APD中,AD=2,PA=PD= 2,
∴AD2=AP2+DP2,∴AP⊥DP,
又∵侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,
AD⊥CD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面APD,∴CD⊥AP,
∵CD∩DP=D,∴AP⊥平面PCD;
(Ⅱ)解:取AD的中点为M,连接PM,∵PA=PD,所以PM⊥AD,
又∵侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PM⊥平面ABCD,过点M作MG⊥BC,垂足为G,连接PG,
∴BC⊥平面PMG,∴∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,
在直角△PMG中,PM=12AD=1,MG=3,∴PG= 10,
∴sin∠PGM=PMPG=1 10= 1010,
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值为 1010.
【解析】(Ⅰ)证明CD⊥平面APD即可;(Ⅱ)∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,由此即可得.
本题考查线面垂直,面面垂直,二面角,属于中档题.
21.【答案】解:(Ⅰ)令1−4x≠0,
解得x≠0,
则函数f(x)的定义域为{x|x≠0};
(Ⅱ)函数f(x)为偶函数,证明如下:
函数的定义域关于原点对称,
且f(−x)−f(x)=(11−4−x−12)(−x)−(11−4x−12)x=−(4x4x−1−12)x−(11−4x−12)x
=−x4x4x−1+12x−x1−4x+12x=x(1−4x4x−1+14x−1)=0,
所以f(−x)=f(x),
则函数f(x)为偶函数;
(Ⅲ)证明:由于f(x)为偶函数,则只需证明当x>0时,f(x)<0即可,
当x>0时,4x>1,1−4x<0,
则11−4x−12<0,
则(11−4x−12)x<0,即f(x)<0,
由于f(x)关于y轴对称,
则当x<0时,f(x)<0,
综上,f(x)<0.
【解析】(Ⅰ)令1−4x≠0,求得x的范围,即可得到定义域;
(Ⅱ)判断f(x)与f(−x)的关系即可得到奇偶性;
(Ⅲ)根据对称性,只需证明当x>0时,f(x)<0即可,利用不等式的性质容易得证.
本题考查函数性质的综合运用,考查运算求解能力,属于基础题.
22.【答案】解:(1):设下调后的水价为x元/kw⋅h,依题意知用水量增至kx−3.4+a,
供水局的收益为:y=(kx−3.4+a)(x−3.3),(3.55≤x≤3.75).
(2)依题意有(0.2ax−3.4+a)(x−3.3)≥[a×(3.8−3.3)](1+20%)3.55≤x≤3.75,
整理得x2−7.1x+12.6≥03.55≤x≤3.75,
解此不等式得3.60≤x≤3.75,
答:当水价最低定为3.6x元/kw⋅h仍可保证供水局的收益比上年至少增长20%.
【解析】(1)先根据题意设下调后的水价为x元/kw⋅h,依题意知用电量增至kx−3.4+a,即可计算收益;
(2)依题意:“水价最低定为多少时仍可保证供水局的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系,解此不等式即可得解.
本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识,考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,属于中档题.
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