四川省遂宁市蓬溪县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省遂宁市蓬溪县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2，3，4，5B．1，3，6，12C．1.5，2，3.5，4D．4，5，8，10
5．下列说法中错误的是（ ）
A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨
B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件
C．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式
D．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是
6．用配方法解方程，配方正确的是( )
A． B．(C．D．
7．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( )
A．B．
C．D．
8．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．不能确定
9．如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，，点B，E分别在，上，，，的长（ ）
A．3B．4C．5D．10
11．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，是的中线，E，F分别是的中点，，则的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
13．如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
14．如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
15．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①③D．①②④
二、填空题
16．比较大小： （填，或）．
17．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为 .
18．已知方程的根为，则的值为 ．
19．在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 ．
20．如图．A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为 ．
21．如图，矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标是，过点A作交轴于，过点作轴交直线于，过点作直线交轴于，过点作轴交直线于，则的坐标是 ．
三、解答题
22．计算
(1)
(2)
23．用适当的方法解方程
(1)
(2)
24．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到．
(1)在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法）
(2)计算的面积；
(3)内有一点，内与点对应的点的坐标为__________．
25．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：
A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
(1)求小亮从中随机抽到卡片的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率．
26．已知，关于x的一元二次方程．
(1)若是该方程的一个根，求k的值及另一个根；
(2)若该方程有两个实数根，若，求k的值；
27．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2、3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
28．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求D到的距离．
(2)求古塔的高度（结果保留根）．
29．【初步探究】
（1）把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空： （“”或“”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为 ．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意利用二次根式有意义时根号内数的取值范围大于等于0即可得到本题答案．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：C
2．C
【分析】本题考查二次根式计算．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵已是最简不可计算，故A选项不正确；
∵，故B选项不正确；
∵，故C选项正确；
∵，故D选项不正确，
故选：C
3．B
【分析】本题考查了成比例线段，将化为代入即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了成比例线段，判定四条线段是否成比例，计算最长与最短线段的乘积，两较长线段的积，看是否相等即可．
【详解】解：∵，
∴长为2，3，4，5的线段不是成比例线段，故A不符合题意；
∵，
∴长为1，3，6，12的线段不是成比例线段，故B不符合题意；
∵，
∴长为1.5，2，3.5，4的线段不是成比例线段，故C不符合题意；
∵，
∴长为4，5，8，10的线段是成比例线段，故D符合题意；
故选D．
5．A
【分析】本题考查概率定义，事件分类，调查方式的选择，简单概率计算．根据选项逐一进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵“明天降雨的概率是”表示明天有可能性会降雨，故A选项不正确；
∵从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B选项正确；
∵为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，故C选项正确；
∵掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种可能性，出现向上一面点数是2可能性为1，故概率是，故D选项正确，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
移项得：，
配方法，方程左右同加得：，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程、构成三角形的条件，先求出一元二次方程的解，分类讨论：当等腰三角形的底边为2时，当等腰三角形的底边为4时，根据等腰三角形的定义及构成三角形的条件即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：，
解得：或，
当等腰三角形的底边为2时，则三边分别为：2，4，4，
，，
2，4，4能构成三角形，
则这个等腰三角形的周长为：，
当等腰三角形的底边为4时，则三边分别为：2，2，4，
，
2，2，4不能构成三角形，
综上所述，则这个等腰三角形的周长为10，
故选B．
9．C
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解．
【详解】解：两个相似三角形的周长之比为，
两个相似三角形的相似比是，
这两个三角形的面积之比为．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得出，从而求出，再由求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：D．
11．C
【分析】本题考查相似三角形判定．根据题意利用相似三角形判定定理即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴当或时，根据两组对应角相等判断，
∴当，根据对应边成比例，中间夹角相等即可判定，
∴ABD选项均可判定，
故选：C．
12．A
【分析】本题考查中线定义，中位线定理．根据题意利用中位线即可得到，再利用中线定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：A．
13．D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】解：过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴米，
∴米，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，作出辅助线，利用正切三角函数值求出的长，是解题的关键．
14．B
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵点P是的重心，
∴，
∴，，
∴的面积的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键．
15．A
【分析】由旋转性质得，可得，即可判断①；由正方形性质得，由角平分线和三角形全等得，继而可得，即可判断②；先证明，可得，根据，可得，继而，即可判断③；先证明，得到，即可判断④．
【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线性质，相似三角形性质与判定，直角三角形性质，等腰三角形性质与判定．
16．
【分析】本题主要考查无理数比较大小，根据被开方数越大，值越大即可求解，掌握无理数比较大小的方法，求一个数的算术平方根的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
17．2
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，这样的二次根式称为最简二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据最简二次根式和根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案为：．
18．6
【分析】解方程，将解得的代入即可解答．
【详解】解：，
对左边式子因式分解，可得
解得，，
将，代入，
可得原式，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
19．12或6．
【分析】此题可以分为当点D在边AB上时与当点D在边AB的延长线上时去分析，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CE的长．
【详解】解：如图①，当点D在边AB上时，
∵AB=6，AC=9，AD=2，
∴BD=AB-AD=6-2=4，
∵DE∥BC，
∴，
即：，
∴CE=6；
如图②，当点D在边AB的延长线上时，
∵AB=6，AC=9，AD=2，
∴BD=AB+AD=6+2=8，
∵DE∥BC，
∴，
即：，
∴CE=12；
∴CE的长为6或12．
故答案为：12或6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．
20．
【分析】本题考查旋转性质，三角函数求值，勾股定理．根据题意过点作，利用旋转性质可知，再利用勾股定理求得的长，继而得到本题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵将绕着点A逆时针旋转得到，
∴，
∵A、B、C三点在正方形网格线的交点处，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．/
【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意利用平行四边形性质及判定得到是平行四边形，从而推出，再由直线之间垂直和平行关系利用相似三角形判定得到，，，再利用相似三角形性质解得，继而观察图形寻找规律即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的坐标是，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
以此类推．．．，，
故答案为：．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的计算，特殊角三角函数值，二次根式，绝对值化简等．
（1）先将每项整理，再从左到右依次计算即可；
（2）先计算乘法，再将绝对值化简去括号，再从左到右依次计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
23．(1)或
(2)或
【详解】（1）解：，
移项得：，
因式分解得：，
即：，
∴或；
（2）解：，
，
，
，
∴或．
24．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了位似图形的性质，割补法求三角形的面积，坐标与图形：
（1）根据，，，和放大为原来的2倍得到，得点的各自坐标，再依次连接，即可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可求三角形的面积；
（3）根据，，，和放大为原来的2倍得到，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：
所以的面积为；
（3）解：依题意，，且相似比为2，
结合位似中心为点O，
故内有一点，内与点对应的点的坐标为．
25．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解；
（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可．
【详解】（1）（小亮抽到卡片）．
（2）列表如下：
或画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片的结果有1种，
所以，（两人都抽到卡片）．
【点睛】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，正确带入公式计算是解题的关键．
26．(1)，另一个根为
(2)
【分析】本题考查了根的判别式；
（1）把代入方程得到关于k的一次方程，然后解此一次方程即可；
（2）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后根据，代入计算即可．
【详解】（1）将代入得
解方程得：
故关于x的一元二次方程为：
则方程的另一个根为
故，另一个根为
（2）∵
∴
∵有两个实数根
∴
解之得：
故k的取值范围是且
∵，，
∴
∴，
或，
∵ 且，
∴不符合题意，舍去，
∴．
27．(1)2、3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握增减率模型和总利润=单件利润×数量，是解题的关键．增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯售价定为（元），
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元．
28．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可；
（2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，
∴．
（2）过点作，垂足为点．
由题意得，，
∵ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
由（1）知：，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴．
答：古塔的高度．
29．（1）；（2）结论成立，理由见解析；（3）或
【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，得出，即可证明；
（2）根据（1）的方法证明即可得出结论；
（3）分，，两种情况分别讨论，根据勾股定理以及全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形纸片如图①折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中结论成立，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形纸片如图①折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，当时，是直角三角形，
由折叠可得，，
∴，即点P，B'，D在一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴；
如图所示，当时，是直角三角形，过作于H，作于Q，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴．
综上所述，的长为或1．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠问题，掌握以上知识是解题的关键．
小刚
小亮