安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知抛物线，若数列满足，已知椭圆C，已知A，B是随机事件，若且，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后﹐用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为
A．1B．3C．D．
2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
3．如图为2021～2022年中国十大行业人工智能应用渗透率，则下列说法错误的是
A．2021年与2022年人工智能应用渗透率最低的行业都是教育
B．与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是金融行业
C．2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为56%
D．2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是42.5%
4．求值：
A．B．C．1D．
5．已知抛物线：与抛物线：，则
A．过与焦点的直线方程为B．与只有1个公共点
C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点D．不存在直线与和都相切
6．若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为
A．B．
C．D．
7．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）
A．1kgB．2kgC．3kgD．0.5kg
8．若数列满足：当2时，（），则数列的前28项和为
A．2048B．2046C．4608D．4606
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则
A．B．的最大值为8
C．的取值范围是D．的取值范围是
10．已知A，B是随机事件，若且，则
A．B．A，B相互独立C．D．
11．已知点，（）是函数（）图象上两点，则
A．对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等
B．若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则
C．若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是
D．若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中a的系数为 ．
13．已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为 ．
14．如图，已知正方体的棱长为2，点E，F，G，H分别为棱，，，的中点，且点E，F，G，H都在球O的表面上，点P是球O表面上的动点，当点P到平面的距离最大时，异面直线PE与GH所成角的余弦值的平方为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若△ABC的面积，，求a的值；
（2）若函数在区间上有零点，求t的取值范围．
16．（本小题满分15分）
我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
（1）求的值；
（2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
（3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
17．（本小题满分15分）
如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A–BCDE与一个三棱锥F–ADE拼接而成，正四棱锥A–BCDE的所有棱长均为，AF∥CD．
（1）在棱DE上找一点G，使得平面ABC⊥平面AFG，并证明你的结论；
（2）若，求直线DF与平面ABC所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）若上任意一点A关于直线的对称点为A＇，过A＇分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于P，Q，求证：为定值．
19．（本小题满分17分）
同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（mdm）（“|”为整除符号）．
（1）解同余方程（md3）；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
合肥一中2024届高三上学期期末质量检测卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A
，的实部与虚部相等，则，所以．故选A．
2．B
因为，，若，则，所以．故选B．
3．B
由图易得A正确；与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是电信和医疗行业，B错误；2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为，C正确；2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是，D正确．故选B．
4．D
，．故选D．
5．C
的焦点为，的焦点为，过与焦点的直线方程为，A错误；与有，2个公共点，B错误；与x轴平行的直线与有1个交点，与最多有2个交点，C正确；与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得，所以直线与和都相切，D错误．故选C．
6．C
由得，所以，由，得，所以（），排除AB，由，可排除D．故选C．
7．A
由题意可得惊鸟铃的体积约为长，所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．故选A．
8．B
满足的n的值共有k个，对应的数列的项也有k个，这k项的和为，设，数列的前28项和就是数列的前7项和，其和为．故选B．
9．CD
由椭圆定义得，，，A错误；，当时取等号，B错误；，，设，则，，，由，可得，C正确；，，D正确．故选CD．
10．ACD
因为，，因为，所以，A正确；因为，所以，，，B错误，C正确；，D正确．故选ACD．
11．ABD
设，，对于A，因为，要使，则，，x的值有无数个，A正确：对于B，存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，即存在，，使得，因为，，所以，，B正确；对于C，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则，即，所以在上是减函数，所以，，C错误；对于D，曲线在点A，B处的切线都过原点，则，整理得，同理可得，所以，D正确．故选ABD．
12．
，的展开式中x的系数即展开式中的系数，即．
13．或
因为，所以函数的图象关于直线对称，所以，即，，解得，，∵，∴，，因为在区间上单调，所以，解得．经检验，当时，，当时，均满足题意．
14．
点E，F，G，H都在球O的表面上，则球O是正方体的棱切球，球心为对角线的中点，半径为，取的中点，则点P为延长线与球O表面的交点时点P到平面的距离最大，此时，，．连接OE，则OE∥AC∥GH，∠PEO就是异面直线PE与GH所成角，因为，所以，所以异面直线PE与GH所成角的余弦值的平方为．
15．解：
∵△ABC中三边a，b，c的对角分别为A，B，C，
∴．
又∵，
∴，即，
∴．
（1）∵，
∴，
∴
，
∴．
（2）（），
，
∵，
∴在上为负，在上为正，
∴在）上为减函数，在上为增函数，
∴，
∴在上只有一个零点．
∴要使在上有零点，则t的取值范围是，
16．解：
（1），
所以．
（2）由（1）知，，
．
该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为
．
（3）每个零部件的质量分数在内的概率为，
由题意可知，
则，
设（），
则，
令，得，
所以当时，，
令，得，
所以当时，，
所以时，最大，故使最大的n的值为14．
17．解：
（1）当点G为DE中点时，平面AFG⊥平面ABC，证明如下：
因为四棱锥A–BCDE是正四棱锥，
所以，AG⊥DE．
在正方形BCDE中，DE∥BC，所以AG⊥BC，
在正方形BCDE中，CD⊥BC，因为AF∥CD，所以AF⊥BC，
因为，AF，平面AFG，
所以BC⊥平面AFG，
因为平面ABC，
所以平面ABC⊥平面AFG．
（2）连接BD，与CE交于点O，连接AO，因为四棱锥A–BCDE是正四棱锥，
所以OC，OD，OA两两垂直，以O为坐标原点，以直线OC，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，．
设平面ABC的法向量为，则有，得，
取，得，
设直线DF与平面ABC所成角为，
则，
故直线DF与平面ABC所成角的正弦值为．
18．
（1）解：双曲线的一条渐近线的方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，所以，，
，所以的一个焦点为，
点F到双曲线的一条渐近线的距离为，
所以，的方程为．
（2）证明：设，则，即，，
由题意，得，设，，不失一般性，设A＇P的斜率为，
则直线A＇P的方程为，与联立得
，
直线A＇Q的方程为，与联立得
，
所以，
故为定值．
19．解：
（1）由题意（md3），所以或（），即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
．
②（）．
因为，
所以
．